Examen de Física i Química — Comunitat Valenciana 2025: qüestionari i problemes resolts

La segona prova de la primera part de l'oposició de Física i Química de la Comunitat Valenciana de 2025 combinava un qüestionari de 30 preguntes tipus test (amb penalització: cada 3 respostes mal resten una de ben resposta) i quatre problemes de desenvolupament: equilibri àcid-base d'un tampó carbònic, equilibri heterogeni de Boudouard, dinàmica d'una partícula sobre una esfera i un problema de relativitat i física nuclear amb el ⁶⁰Co. A baix tens l'enunciat i la resolució comentada de tot.

Font de l'enunciat. Document oficial de la convocatòria de 2025 de la Comunitat Valenciana, «Segona prova de la primera part de l'oposició a professores de Física i Química». L'original és bilingüe (valencià i castellà); ací se'n reprodueix la versió en valencià. Les solucions són d'elaboració pròpia, no provenen de cap criteri de correcció oficial ni de cap acadèmia. Hi ha una versió en castellà d'esta mateixa pàgina.

Qüestionari

Instruccions originals. «Recorde que cada 3 qüestions mal respostes, restaran el valor d'una ben resposta.» És a dir, cada encert suma 1, cada errada resta 1/3 i deixar en blanc no penalitza: només convé respondre a l'atzar si es descarten almenys dues opcions.

1. Quina informació essencial proporciona una Fitxa de Dades de Seguretat (FDS) sobre un producte químic? — A) Preu i proveïdor. B) Propietats físiques i químiques, riscos per a la salut, mesures de seguretat i procediments d'emergència. C) Data de caducitat i número de lot. D) Instruccions per a un experiment concret.

Resposta: B. La FDS (antiga HDSM) és el document normalitzat —16 seccions segons el Reglament REACH— que recull perillositat, manipulació, EPI i actuació davant emergències.

2. Tres mesures d'un volum: 10,1 ml, 9,9 ml i 10,0 ml. Millor estimació i incertesa? — A) 10,0 ± 0,0. B) 10,0 ± 0,1. C) 10,0 ± 0,2. D) 10,0 ± 0,3.

Resposta: B. La mitjana és 10,0 ml i la semidispersió $(10{,}1-9{,}9)/2 = 0{,}1\ \mathrm{ml}$; la desviació típica porta al mateix ordre. Es descarta la incertesa nul·la d'A.

3. Principi fonamental de la cromatografia. — A) Punts de fusió. B) Reactivitat. C) Distribució diferencial entre una fase estacionària i una de mòbil. D) Grandària (membrana).

Resposta: C. La separació es deu al diferent repartiment de cada component entre la fase mòbil i l'estacionària; D descriu la diàlisi.

4. Es valoren 25,0 ml de HCl amb NaOH 0,1 M i es gasten 20,0 ml (reacció 1:1). Concentració del HCl. — A) 0,08. B) 0,125. C) 0,1. D) 0,05.

Resposta: A. $c = \dfrac{0{,}1\cdot 20{,}0}{25{,}0} = 0{,}08\ \mathrm{M}$.

5. Indicador per a una valoració on el punt d'equivalència és a pH lleugerament àcid (≈5). — A) Fenolftaleïna (8,2–10,0). B) Blau de bromotimol (6,0–7,6). C) Taronja de metil (3,1–4,4). D) Timolftaleïna (9,3–10,5).

Resposta: C. Dels quatre, el taronja de metil és l'únic de la zona àcida; el seu viratge (acaba en 4,4) és el més pròxim a 5 i queda dins del salt brusc de pH en l'equivalència. L'ideal seria el roig de metil (4,4–6,2), que no s'ofereix. (Pregunta discutible: vegeu la nota de revisió.)

6. Estudiant la hibridació sp² del carboni, quina molècula NO podríem representar? — A) Etilè. B) Metanal. C) Benzè. D) Metanol.

Resposta: D. En etilè, metanal i benzè el carboni és sp² (enllaços dobles / aromàtic). En el metanol el carboni és sp³.

7. Retirant reactius perillosos del laboratori de secundària, quin podríem deixar? — A) Àcid fluorhídric. B) Benzè. C) Formaldehid. D) Magnesi en pols.

Resposta: D. HF (molt corrosiu/tòxic), benzè i formaldehid són cancerígens. El magnesi en pols, amb les precaucions d'inflamabilitat, és d'ús escolar habitual.

8. Què contenen les bosses de fred instantani? — A) Dissolució de nitrat d'amoni. B) Nitrat d'amoni i aigua sense contacte. C) Dissolució de clorur de calci. D) Clorur de calci i aigua sense contacte.

Resposta: B. La dissolució del $\ce{NH4NO3}$ és endotèrmica; es guarda separat de l'aigua i es mescla en trencar la bossa interior. El $\ce{CaCl2}$ es dissol de manera exotèrmica (bosses de calor).

9. Sal fotocroma de les ulleres que s'enfosqueixen amb el sol. — A) Clorur de sodi. B) Bromur de metil. C) Iodur de plata. D) Clorur de cesi.

Resposta: C. Els halurs de plata es redueixen a plata metàl·lica amb la radiació UV; de les opcions, el iodur de plata és l'halur de plata.

10. Aliments que una marca no recomana cuinar en paper d'alumini. — A) Verdures rostides. B) Carns a la graella. C) Peixos amb suc de llima. D) Llegums cuits.

Resposta: C. El medi àcid (suc de llima) ataca l'alumini i afavoreix la seua migració a l'aliment.

11. Tipus de reacció en la producció industrial de polietilè. — A) Addició. B) Substitució. C) Eliminació. D) Condensació.

Resposta: A. L'etilè polimeritza per addició (obertura del doble enllaç), sense pèrdua d'àtoms, a diferència de la policondensació (niló, polièsters).

12. Amb E°(Pb²⁺|Pb)=−0,13; E°(Cu²⁺|Cu)=+0,34; E°(Zn²⁺|Zn)=−0,7; E°(Al³⁺|Al)=−1,66; E°(Fe²⁺|Fe)=−0,44 V, quina reacció redox NO seria espontània? — A) Oxidació del zinc per Cu²⁺. B) Reducció del Cu²⁺ per alumini. C) Oxidació del ferro per Cu²⁺. D) Reducció del Pb²⁺ per coure.

Resposta: D. $E^\circ_\text{pila} = E^\circ_\text{càtode} - E^\circ_\text{ànode}$. En D, $\ce{Cu + Pb^2+}$ dóna $-0{,}13 - 0{,}34 = -0{,}47\ \mathrm{V} < 0$: no espontània. Les altres tres són positives (el coure no redueix el plom, però sí a l'inrevés).

13. En el mètode «Batch» de biodièsel, quin compost reacciona amb la matèria primera? — A) Triglicèrids. B) Aldehids. C) Alcohols. D) Èters.

Resposta: C. La transesterificació fa reaccionar els triglicèrids (la matèria primera) amb un alcohol (metanol) per a donar els èsters metílics (biodièsel) i glicerina.

14. Actuació correcta davant un vessament d'àcid sulfúric concentrat. — A) Neutralitzar amb bicarbonat sòdic lentament. B) Abocar aigua sobre l'àcid. C) Paper absorbent sense protecció. D) Ignorar si és poc.

Resposta: A. Es neutralitza amb un carbonat/bicarbonat de manera controlada. Afegir aigua a àcid concentrat provoca projeccions per la calor de dilució (mai «aigua a l'àcid»).

15. Estratègia que redueix errors sistemàtics en calorimetria. — A) Calorímetre sense tapa. B) Mesurar només inicial i final. C) Calibratge previ del calorímetre. D) No agitar.

Resposta: C. Calibrar (determinar la constant del calorímetre) corregeix el biaix sistemàtic de les pèrdues; A, B i D l'augmenten.

16. Minimitzar errors sistemàtics en espectroscòpia UV-Vis. — A) Calibrar amb un blanc abans de cada sèrie. B) Mateix volum sense importar la concentració. C) No netejar les cubetes. D) Posar el zero només a l'inici del dia.

Resposta: A. El blanc descompta l'absorbància del dissolvent i la cubeta.

17. Reduir errors sistemàtics en la mesura de densitat per picnometria. — A) Picnòmetre calibrat a 0 °C. B) No assecar-lo. C) Mesurar la massa amb balança analítica calibrada. D) Omplir per damunt de l'aforament.

Resposta: C. L'instrument calibrat elimina el biaix; B i D introdueixen error, i A ignora que el picnòmetre es calibra a la temperatura de treball.

18. Minimitzar errors sistemàtics en conductivitat de dissolucions. — A) Calibrar la cel·la amb patrons. B) Elèctrodes sense netejar. C) Sense control tèrmic. D) No corregir per temperatura.

Resposta: A. La constant de cel·la es fixa amb dissolucions patró (KCl); la conductivitat depèn molt de T, així que B, C i D són fonts de biaix.

19. Factor que introdueix errors sistemàtics en espectroscòpia Raman si no es controla. — A) Fluorescència de la mostra. B) Filtres de pas llarg. C) Correcció del fons. D) Làser estable.

Resposta: A. La fluorescència solapa un fons intens al feble senyal Raman; B, C i D són precisament mesures correctores.

20. Bloc de 3 kg en repòs sobre un pla de 30°, μₑ=0,6 i μd=0,4. Mòdul de l'acceleració. — A) 1,51 m/s². B) 0. C) −0,19 m/s². D) Cap.

Resposta: B. La component que empeny, $mg\,\mathrm{sen}\,30^\circ = 14{,}7\ \mathrm{N}$, és menor que el fregament estàtic màxim $\mu_e mg\cos 30^\circ = 15{,}3\ \mathrm{N}$: el bloc no llisca, $a = 0$.

21. A l'EEI (400 km d'altura), la gravetat en N/kg val. — A) 8,7. B) 9,8. C) 3,7. D) 0.

Resposta: A. $g = g_0\left(\dfrac{R_T}{R_T+h}\right)^2 = 9{,}8\left(\dfrac{6371}{6771}\right)^2 \approx 8{,}7\ \mathrm{N/kg}$. La ingravidesa és aparent (caiguda lliure orbital), no $g = 0$.

22. Massa lligada a una corda que gira en un pla vertical (MCU): on és màxima la tensió? — A) Al punt més baix. B) Constant. C) Al més alt. D) Depèn de ω.

Resposta: A. A baix, $T = m\dfrac{v^2}{r} + mg$; a dalt, $T = m\dfrac{v^2}{r} - mg$. La tensió és màxima a baix.

23. S'estudia la reflexió total interna si… — A) La llum va de l'aire a l'aigua. B) De l'aigua a l'aire amb qualsevol angle. C) De l'aigua a l'aire amb angle major que el límit. D) Totes falses.

Resposta: C. Només hi ha reflexió total passant de medi més refringent a menys (aigua→aire) i superant l'angle límit.

24. En un oscil·lador harmònic ideal, quan s'igualen energia potencial elàstica i cinètica? — A) $x = A/\sqrt{2}$. B) $x = A/2$. C) No poden igualar-se. D) $t = T/4$.

Resposta: A. $\tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{1}{2}k(A^2 - x^2) \Rightarrow x^2 = A^2/2 \Rightarrow x = A/\sqrt{2}$.

25. La dispersió Rayleigh… — A) És per a partícules majors que λ. B) És major per a λ curtes (blau) i menor per a llargues (roig). C) Explica l'arc de Sant Martí. D) Totes certes.

Resposta: B. La intensitat $\propto 1/\lambda^4$: dispersa més el blau (per això el cel és blau). A és falsa (Rayleigh exigeix partícules molt menors que λ) i l'arc de Sant Martí és refracció.

26. Imant de neodimi que cau dins d'un tub d'alumini. — A) Cau en caiguda lliure. B) Es frena per inducció. C) Es frena només pel pol nord. D) S'accelera.

Resposta: B. El flux variable indueix corrents de Foucault en l'alumini que, per la llei de Lenz, s'oposen al moviment: l'imant es frena.

27. Assenyaleu la frase FALSA. — A) Una càrrega en moviment crea camp magnètic. B) El corrent induït provoca un flux de sentit contrari a l'inicial. C) El canvi de flux indueix corrent. D) El corrent crea camp magnètic.

Resposta: B. La llei de Lenz diu que el corrent induït s'oposa a la variació del flux, no al flux inicial: si el flux disminueix, el corrent induït el reforça. B és la falsa.

28. En una campana de buit a pressió molt baixa… — A) Podem bullir aigua a temperatura ambient. B) Comprovar la llei de Charles amb un globus. C) Certes A i B. D) Disminuir el pes d'un objecte a la bàscula.

Resposta: A. En baixar la pressió, la de vapor de l'aigua s'assoleix a temperatura ambient i bull. B confon: un globus que s'infla en baixar la pressió il·lustra la llei de Boyle, no la de Charles.

29. Tub en U amb aigua i un líquid immiscible. — A) Podem determinar la densitat del líquid immiscible. B) Prenent la interfase com a origen, la branca del líquid menys dens serà menor que la del més dens. C) Podem destil·lar. D) Són falses A i C.

Resposta: A. Igualant pressions a la interfase, $\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$, s'obté la densitat desconeguda. B és falsa (el menys dens forma columna més alta) i C no té sentit.

30. En l'efecte fotoelèctric es demostra experimentalment… — A) Si la freqüència supera la llindar, hi ha efecte. B) A més intensitat, major potencial de tall. C) Hi ha retard entre il·luminació i corrent. D) Certes A i B.

Resposta: A. L'efecte depèn de la freqüència, no de la intensitat: el potencial de tall no canvia amb la intensitat (B falsa) i l'emissió és instantània (C falsa).

Problema 1 — pH d'un tampó carbònic

Enunciat

Calcular el pH resultant d'agregar 2 ml de HCl 0,1 M a 500 ml d'una dissolució 2 M de bicarbonat sòdic en aigua, sabent que el pKa de l'àcid carbònic és 6,4 mentre que el pKa de l'ió bicarbonat és 10,3.

Solució

Les quantitats en joc són $n(\ce{NaHCO3}) = 0{,}500\cdot 2 = 1{,}0\ \mathrm{mol}$ i $n(\ce{HCl}) = 0{,}002\cdot 0{,}1 = 2\cdot 10^{-4}\ \mathrm{mol}$. L'àcid fort protona el bicarbonat, $\ce{HCO3- + H+ -> H2CO3}$, formant $2\cdot 10^{-4}$ mol de $\ce{H2CO3}$ i deixant $0{,}9998\ \mathrm{mol}$ de $\ce{HCO3-}$.

La trampa del problema. La temptació és aplicar directament Henderson-Hasselbalch amb eixes quantitats:

$$\mathrm{pH} \overset{?}{=} pK_{a1} + \log\frac{[\ce{HCO3-}]}{[\ce{H2CO3}]} = 6{,}4 + \log\frac{0{,}9998}{0{,}0002} = 6{,}4 + 3{,}70 = 10{,}1$$

Este resultat és impossible: hem afegit un àcid i el pH eixiria més bàsic que el de la dissolució de partida. L'error és oblidar que el bicarbonat és una espècie amfòtera i que la dissolució 2 M ja conté $\ce{H2CO3}$ generat per la seua pròpia dispersió $\ce{2 HCO3- <=> H2CO3 + CO3^2-}$.

Punt de partida correcte. El pH d'una sal amfòtera és pràcticament independent de la concentració:

$$\mathrm{pH}_0 \approx \frac{pK_{a1} + pK_{a2}}{2} = \frac{6{,}4 + 10{,}3}{2} = 8{,}35$$

A eixe pH, la quantitat de $\ce{H2CO3}$ ja present és

$$\frac{[\ce{H2CO3}]}{[\ce{HCO3-}]} = \frac{[\ce{H+}]}{K_{a1}} = \frac{10^{-8{,}35}}{10^{-6{,}4}} = 10^{-1{,}95} = 0{,}011$$

és a dir $[\ce{H2CO3}] \approx 0{,}011\cdot 2 \approx 0{,}022\ \mathrm{M}$, que en 0,5 L són uns $0{,}011\ \mathrm{mol}$ de $\ce{H2CO3}$: més de cinquanta vegades els $2\cdot 10^{-4}\ \mathrm{mol}$ que aporta el HCl.

Conclusió. Afegir $2\cdot 10^{-4}$ mol d'àcid fort a un litre-equivalent de tampó amb capacitat d'~1 mol és una pertorbació menyspreable. Resolent el balanç complet (protònic, de massa i de càrrega) el pH passa de 8,346 a 8,346: el pH es manté en 8,35. El valor de la pregunta és, essencialment, el de la dissolució amfòtera de bicarbonat, i el missatge didàctic és que cal comparar sempre la quantitat d'àcid afegit amb la capacitat del tampó abans d'aplicar Henderson-Hasselbalch.

Problema 2 — Equilibri de Boudouard

Enunciat

S'introdueixen 0,1 mols de $\ce{CO2}$ en un matràs d'1 litre que conté carboni sòlid en excés, a 1000 ºC, fins que s'aconsegueix l'equilibri. En l'equilibri, la densitat del gas correspon a una massa molecular mitjana de 36 g/mol.

• a) Calcule la pressió d'equilibri i el valor de $K_p$. (30 %)
• b) Si s'introdueix heli (inert) fins que la pressió total es duplica, quina serà la quantitat de CO en l'equilibri? I si, en canvi, es duplica el volum introduint heli per a mantindre constant la pressió total, què ocorre amb la quantitat de CO? (25 %)
• c) Si en a) hi haguera realment 1,2 g de carboni sòlid, quants mols de $\ce{CO2}$ haurien d'haver-se introduït perquè en l'equilibri només quedaren traces de carboni? (20 %)
• d) Si $K_p$ es duplica en augmentar la temperatura 10 ºC, quina és l'entalpia estàndard de la reacció? (25 %)

Solució

La reacció és la de Boudouard: $\ce{C(s) + CO2(g) <=> 2 CO(g)}$.

a) Pressió d'equilibri i $K_p$

Siga $x$ l'avanç (mol de $\ce{CO2}$ que reaccionen). En l'equilibri hi ha $0{,}1 - x$ mol de $\ce{CO2}$ i $2x$ de CO. La massa molar mitjana és la massa total de gas entre els mols totals:

$$\bar M = \frac{(0{,}1-x)\cdot 44 + 2x\cdot 28}{0{,}1 + x} = 36 \;\Longrightarrow\; 4{,}4 + 12x = 3{,}6 + 36x \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{1}{30} = 0{,}0333\ \mathrm{mol}$$

Per tant $n(\ce{CO2}) = n(\ce{CO}) = 0{,}0667\ \mathrm{mol}$ (coherent: si $\bar M = 36 = \tfrac{44+28}{2}$ és que hi ha igual nombre de mols de cada gas) i $n_\text{total} = 0{,}1333\ \mathrm{mol}$. Amb $T = 1273\ \mathrm{K}$ i $V = 1\ \mathrm{L}$:

$$P = \frac{n_\text{total}RT}{V} = \frac{0{,}1333\cdot 0{,}082\cdot 1273}{1} = 13{,}9\ \mathrm{atm}$$ $$p_{\ce{CO}} = p_{\ce{CO2}} = 6{,}96\ \mathrm{atm}, \qquad K_p = \frac{p_{\ce{CO}}^2}{p_{\ce{CO2}}} = \frac{6{,}96^2}{6{,}96} = 6{,}96\ \mathrm{atm}$$

b) Addició d'heli: dos escenaris

A volum constant. L'heli és inert i no reacciona. A $V$ i $T$ fixos, les pressions parcials de $\ce{CO}$ i $\ce{CO2}$ només depenen dels seus mols ($p_i = n_i RT/V$), que no canvien per afegir He. El quocient $Q$ segueix igual a $K_p$: l'equilibri no es desplaça i $n(\ce{CO}) = 0{,}0667\ \mathrm{mol}$, sense canvi.

A pressió total constant duplicant el volum. Ara $V = 2\ \mathrm{L}$. En disposar de més volum, les pressions parcials dels gasos actius baixen i el sistema es desplaça cap al costat de més mols gasosos (2 CO enfront d'1 CO₂). Amb $K_p = 6{,}96$ i el nou volum:

$$K_p = \frac{(2x'RT/V)^2}{(0{,}1-x')RT/V} = \frac{RT}{V}\frac{4x'^2}{0{,}1-x'} \;\Longrightarrow\; \frac{4x'^2}{0{,}1-x'} = 0{,}1333$$ $$4x'^2 + 0{,}1333\,x' - 0{,}01333 = 0 \;\Longrightarrow\; x' = 0{,}0434\ \mathrm{mol} \;\Longrightarrow\; n(\ce{CO}) = 0{,}0869\ \mathrm{mol}$$

La quantitat de CO augmenta de 0,0667 a 0,0869 mol, com anticipa el principi de Le Châtelier en expandir el sistema.

c) Quant $\ce{CO2}$ per a consumir quasi tot el carboni

$1{,}2\ \mathrm{g}$ de carboni són $0{,}1\ \mathrm{mol}$. «Només traces» significa que el carboni es consumeix quasi del tot però queda una mica de sòlid, de manera que l'equilibri (i $K_p$) segueixen vigents. Consumir 0,1 mol de C implica que reaccionen 0,1 mol de $\ce{CO2}$ i es formen 0,2 mol de CO:

$$p_{\ce{CO}} = 0{,}2\cdot\frac{RT}{V} = 20{,}9\ \mathrm{atm}, \qquad p_{\ce{CO2}} = \frac{p_{\ce{CO}}^2}{K_p} = \frac{20{,}9^2}{6{,}96} = 62{,}6\ \mathrm{atm}$$ $$n(\ce{CO2})_\text{eq} = \frac{p_{\ce{CO2}}V}{RT} = \frac{62{,}6}{104{,}4} = 0{,}60\ \mathrm{mol}$$

Com que en l'equilibri queden 0,60 mol de $\ce{CO2}$ i n'han reaccionat 0,10, calia introduir

$$n_0(\ce{CO2}) = 0{,}60 + 0{,}10 = \boxed{0{,}70\ \mathrm{mol}}$$

d) Entalpia estàndard

De l'equació de Van't Hoff, amb $K_p$ que es duplica de $T_1 = 1273\ \mathrm{K}$ a $T_2 = 1283\ \mathrm{K}$:

$$\ln\frac{K_2}{K_1} = -\frac{\Delta H^\circ}{R}\left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right) \;\Longrightarrow\; \Delta H^\circ = \frac{R\ln 2}{\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}} = \frac{8{,}314\cdot 0{,}693}{6{,}13\cdot 10^{-6}} = +9{,}4\cdot 10^{5}\ \mathrm{J\,mol^{-1}}$$

és a dir $\Delta H^\circ \approx +940\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}$, positiva (reacció endotèrmica, coherent amb que $K_p$ crega amb $T$). Convé assenyalar que eixe valor és molt superior al real de la reacció de Boudouard ($\approx +172\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}$): que $K_p$ es duplique en només 10 K a 1273 K és una hipòtesi de l'enunciat que exigeix una entalpia enorme.

Problema 3 — Partícula que rellisca sobre una esfera

Enunciat

Un punt material de massa $M$ es mou sense fregament i sota l'acció de la gravetat sobre una esfera de radi $R$, secundada sense possibilitat de desplaçar-se sobre un pla horitzontal. Parteix del repòs des d'un punt infinitesimalment pròxim al més alt de l'esfera.

• a) Mòdul de la velocitat en funció de l'altura a terra $h$ i de l'angle $\theta$ amb la vertical (abans de deixar el contacte). (20 %)
• b) Mòdul del moment angular. (15 %)
• c) Angle al qual perd el contacte. (25 %)
• d) Amb fregament, l'angle seria més gran o més xicotet? (10 %)
• e) Distància entre el punt d'impacte al pla i el punt de contacte de l'esfera amb el pla, si $R = 3\ \mathrm{m}$. (20 %)
• f) Com canviarien c i e si la massa fóra una esfera de radi $r = 0{,}1\ \mathrm{m}$ que roda ($I = \tfrac{2}{5}Mr^2$)? (10 %)

Problema 3

Desenganxada en θ i trajectòria parabòlica fins al terra (R = 3 m)

θ

inici

desenganxada

contacte

impacte

paràbola

Solució

a) Velocitat

L'esfera té el centre a altura $R$; el punt més alt és a $2R$. En un angle $\theta$ mesurat des de la vertical, la partícula és a altura $h = R + R\cos\theta = R(1+\cos\theta)$, havent baixat $\Delta h = 2R - h = R(1-\cos\theta)$. Com que no hi ha fregament, es conserva l'energia:

$$\tfrac{1}{2}Mv^2 = Mg\,\Delta h \;\Longrightarrow\; v = \sqrt{2gR(1-\cos\theta)} = \sqrt{2g(2R - h)}$$

b) Moment angular

Respecte al centre de l'esfera, la velocitat és tangent a la circumferència (perpendicular al radi $R$), de manera que

$$L = M v R = M R\sqrt{2gR(1-\cos\theta)}$$

c) Angle de desenganxada

La partícula abandona la superfície quan la força normal s'anul·la. La component radial del pes és la que aporta la força centrípeta:

$$Mg\cos\theta - N = \frac{Mv^2}{R}; \qquad N = 0 \;\Longrightarrow\; v^2 = gR\cos\theta$$

Igualant amb $v^2 = 2gR(1-\cos\theta)$:

$$2gR(1-\cos\theta) = gR\cos\theta \;\Longrightarrow\; \cos\theta = \tfrac{2}{3} \;\Longrightarrow\; \theta = 48{,}2^\circ$$

Notablement, no depèn de $R$, $M$ ni $g$.

d) Efecte del fregament

Amb fregament la partícula arriba a cada angle amb menys velocitat. La condició de desenganxada $v^2 = gR\cos\theta$ s'assoleix llavors més tard, quan $\theta$ és major (i $\cos\theta$ menor): el fregament fa que la massa es mantinga enganxada a l'esfera fins a un angle major que 48,2°.

e) Punt d'impacte ($R = 3\ \mathrm{m}$)

En la desenganxada, amb $\cos\theta = 2/3$ i $\mathrm{sen}\,\theta = \sqrt5/3 = 0{,}745$:

• Altura: $h = R(1+\cos\theta) = 3\cdot\tfrac{5}{3} = 5\ \mathrm{m}$.
• Distància horitzontal a l'eix: $x_0 = R\,\mathrm{sen}\,\theta = 2{,}24\ \mathrm{m}$.
• Rapidesa: $v = \sqrt{2gR(1-\cos\theta)} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 3\cdot\tfrac{1}{3}} = 4{,}43\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, dirigida $\theta$ per davall de l'horitzontal: $v_x = v\cos\theta = 2{,}95$, $v_y = -v\,\mathrm{sen}\,\theta = -3{,}30\ \mathrm{m\,s^{-1}}$.

Tir parabòlic fins a $y = 0$:

$$0 = 5 - 3{,}30\,t - 4{,}9\,t^2 \;\Longrightarrow\; t = 0{,}728\ \mathrm{s}, \qquad x = x_0 + v_x t = 2{,}24 + 2{,}95\cdot 0{,}728 = 4{,}39\ \mathrm{m}$$

Com que el punt de contacte de l'esfera és just davall del centre, la distància demanada és $\boxed{4{,}39\ \mathrm{m}}$.

f) Si la massa fóra una esfera que roda

En rodar sense lliscar, l'energia es reparteix entre translació i rotació, $Mg\Delta h = \tfrac{1}{2}Mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2 = \tfrac{7}{10}Mv^2$, i el centre de l'esfera descriu un cercle de radi $R+r$. La condició de desenganxada $v^2 = g(R+r)\cos\theta$ combinada amb l'energia dóna:

$$\tfrac{10}{7}(1-\cos\theta) = \cos\theta \;\Longrightarrow\; \cos\theta = \tfrac{10}{17} = 0{,}588 \;\Longrightarrow\; \theta = 54{,}0^\circ$$

L'angle de desenganxada augmenta (de 48,2° a 54,0°), perquè part de l'energia es «gasta» en rotació i la velocitat de translació creix més a poc a poc. Amb $r = 0{,}1\ \mathrm{m} \ll R$ l'efecte sobre l'altura i l'abast del punt e és menut (el radi efectiu passa de 3 a 3,1 m), però en desenganxar-se més tard i més avall el punt d'impacte es desplaça lleugerament; recalculant amb $\cos\theta = 10/17$ i $R+r = 3{,}1\ \mathrm{m}$, la distància resulta de l'ordre de $4{,}3\ \mathrm{m}$.

Problema 4 — Relativitat i desintegració del ⁶⁰Co

Enunciat

Es detecta un corrent d'àtoms de Cobalt-60 (⁶⁰Co) que es mouen al 80 % de la velocitat de la llum (0,8 c) respecte al laboratori. El ⁶⁰Co pateix desintegració beta, $\ce{^60Co -> ^60Ni + e- + \overline{\nu}_e}$. La vida mitjana del ⁶⁰Co en repòs és 5,27 anys. Masses atòmiques: ⁶⁰Co = 59,933819 u, ⁶⁰Ni = 59,930789 u, e⁻ = 0,00054858 u ($1\ \mathrm{u} = 931{,}5\ \mathrm{MeV/c^2}$).

• a) Factor de Lorentz $\gamma$ a 0,8 c. (10 %)
• b) Com afecta la vida mitjana observada ($\tau$) enfront de la pròpia ($\tau_0$). (15 %)
• c) Energia de desintegració (valor Q) en MeV. (25 %)
• d) Suposant el ⁶⁰Co en repòs i el ⁶⁰Ni amb velocitat menyspreable, energia cinètica i velocitat de l'electró emès al laboratori. (30 %)
• e) Massa relativista del ⁶⁰Co a 0,8 c. (20 %)

Solució

a) Factor de Lorentz

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}8^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{1}{0{,}6} = 1{,}667$$

b) Dilatació de la vida mitjana

El temps propi del ⁶⁰Co (en el seu marc de repòs) es dilata al laboratori segons $\tau = \gamma\,\tau_0$. Per a l'observador del laboratori els àtoms «viuen més»:

$$\tau = 1{,}667\cdot 5{,}27 = 8{,}78\ \mathrm{anys}$$

És la raó física per la qual les partícules ràpides recorren distàncies molt majors de les que permetria la seua vida pròpia (el mateix efecte que explica l'arribada de muons a la superfície).

c) Valor Q

Usant masses atòmiques (que ja inclouen els electrons orbitals), en la desintegració β⁻ l'electró emès queda comptabilitzat per l'electró extra del níquel ($Z$ passa de 27 a 28), de manera que

$$Q = \big[M(\ce{^60Co}) - M(\ce{^60Ni})\big]c^2 = (59{,}933819 - 59{,}930789)\cdot 931{,}5 = 0{,}003030\cdot 931{,}5 = 2{,}82\ \mathrm{MeV}$$

(La massa de l'electró donada a l'enunciat no cal restar-la a banda: amb masses atòmiques es cancel·la automàticament.)

d) Energia cinètica i velocitat de l'electró

Amb la simplificació que el ⁶⁰Ni no s'emporta energia apreciable, l'energia disponible és per a l'electró (i l'antineutrí). En el cas límit en què l'electró s'emporta tota l'energia —la seua energia màxima de l'espectre β— $E_c \approx Q = 2{,}82\ \mathrm{MeV}$. La seua energia total és

$$E = E_c + m_e c^2 = 2{,}82 + 0{,}511 = 3{,}33\ \mathrm{MeV}, \qquad \gamma_e = \frac{E}{m_e c^2} = \frac{3{,}33}{0{,}511} = 6{,}52$$ $$v = c\sqrt{1 - \frac{1}{\gamma_e^2}} = c\sqrt{1 - \frac{1}{6{,}52^2}} = 0{,}988\,c$$

L'electró ix ultrarelativista, a $\approx 0{,}99\,c$. (En realitat l'energia es reparteix amb l'antineutrí, així que 2,82 MeV és l'extrem superior de l'espectre continu d'emissió β.)

e) Massa relativista

$$m = \gamma\,m_0 = 1{,}667\cdot 59{,}933819 = 99{,}9\ \mathrm{u}$$

Convé matisar que la física moderna prefereix parlar de massa invariant (la massa en repòs $m_0$, la mateixa en tots els sistemes) i descriure l'augment d'inèrcia amb l'energia relativista $E = \gamma m_0 c^2$; la «massa relativista» $\gamma m_0$ és una forma clàssica, hui en desús, d'expressar eixe mateix fet.

Comentari global de l'exercici

El format valencià és molt diferent del de Madrid: un qüestionari llarg amb penalització que premia l'amplitud (des de seguretat al laboratori i fitxes FDS fins a l'efecte fotoelèctric) i quatre problemes que recorren els grans blocs —àcid-base, equilibri heterogeni, mecànica i física moderna—. Tres avisos útils:

1. La penalització canvia l'estratègia. Amb −1/3 per errada, respondre a cegues té esperança nul·la; només compensa arriscar quan es descarten dues opcions.
2. El problema 1 és una trampa clàssica. Aplicar Henderson-Hasselbalch sense pensar dóna un pH més bàsic després d'afegir àcid: cal reconéixer el caràcter amfòter del bicarbonat i comparar la quantitat d'àcid amb la capacitat del tampó.
3. Declarar els límits de validesa suma. En el problema 2d l'entalpia ix enorme enfront de la real, i en el 4d l'energia de l'electró és l'extrem de l'espectre β: assenyalar-ho demostra criteri físic.