Supuesto 34

Enunciado

El éter dimetílico se descompone siguiendo el proceso $\ce{CH3-O-CH3 -> CH4 + CO + H2}$, de primer orden, y cuya constante de velocidad a una temperatura dada vale $1{,}35\cdot 10^{-3}$ s⁻¹.

a) Determine justificadamente la expresión de la presión parcial de una sustancia gaseosa de la descomposición del éter dimetílico. (1 punto) b) Determine la presión total al cabo de 215 s, si la presión inicial es $5{,}065\cdot 10^{4}$ Pa y se parte de una muestra de éter puro. (1 punto)

Solución

a) Presiones parciales. A $V$ y $T$ constantes, la presión parcial de cada gas es proporcional a sus moles, así que la ley integrada de primer orden se puede escribir directamente en presiones:

$$p_{\text{éter}}(t) = p_0\,e^{-kt}$$

La presión de éter descompuesta hasta el instante $t$ es $p_0 - p_0e^{-kt} = p_0(1 - e^{-kt})$. Y como la estequiometría es 1:1:1:1, cada uno de los tres productos aparece en esa misma cantidad:

$$\boxed{p(\ce{CH4}) = p(\ce{CO}) = p(\ce{H2}) = p_0\left(1 - e^{-kt}\right)}$$

b) Presión total. Por la ley de Dalton, sumando el éter que queda y los tres productos:

$$p_{\text{total}} = p_0e^{-kt} + 3p_0(1 - e^{-kt}) = p_0\left(3 - 2e^{-kt}\right)$$

Con $kt = 1{,}35\cdot 10^{-3}\cdot 215 = 0{,}2903$ y $e^{-kt} = 0{,}7481$:

$$p_{\text{total}} = 5{,}065\cdot 10^{4}\,(3 - 1{,}4962) = \boxed{7{,}62\cdot 10^{4}\ \mathrm{Pa}}$$

es decir 0,752 atm partiendo de 0,500 atm. Desglose: quedan $3{,}79\cdot 10^{4}$ Pa de éter (el 74,8 % sin reaccionar) y hay $1{,}28\cdot 10^{4}$ Pa de cada producto.

Dos comprobaciones de sentido físico que conviene explicitar:

1. La presión crece porque cada molécula de éter genera tres moléculas de gas; el límite cuando $t\to\infty$ es $3p_0 = 1{,}52\cdot 10^{5}$ Pa, y a los 215 s se lleva recorrido la mitad del camino.
2. El periodo de semirreacción es $t_{1/2} = \ln 2/k = 513$ s, bastante mayor que los 215 s, lo que es coherente con que aún quede casi el 75 % del éter.

Este montaje —seguir una reacción midiendo la presión total en lugar de valorar alícuotas— es un método experimental estándar precisamente cuando $\Delta n_{\text{gas}} \ne 0$, y sirve para determinar $k$ representando $\ln(3p_0 - p_{\text{total}})$ frente a $t$.