Supuesto 27

Contexto del enunciado

La Tomografía por Emisión de Positrones (TEP/PET) usa la radiactividad para diagnosticar tumores. Se inyecta por vía intravenosa F-18, un isótopo radiactivo que viaja alojado en moléculas de glucosa (fluorodesoxiglucosa, FDG). El F-18 se desintegra emitiendo un positrón; este choca con un electrón y ambos se aniquilan emitiendo 2 fotones que detecta el aparato. El F-18 se obtiene en un ciclotrón, que combina campo eléctrico y campo magnético para acelerar partículas positivas hasta velocidades muy altas que, al impactar contra núcleos atómicos, generan núcleos radiactivos.

Cuestión 1 — El ciclotrón

Enunciado

a) Describa un ciclotrón y explique cómo funciona. b) Sea un ciclotrón en cuyo centro se inyectan protones con velocidad despreciable que, después de varias vueltas, adquieren una energía de 18 MeV. Si el campo magnético es de 1,8 T y se desprecia el efecto relativista, determine: b.1) el tiempo que tardan en recorrer una semicircunferencia; b.2) la variación de energía cinética al pasar de una «de» a la otra si se someten a una diferencia de potencial de $3\cdot 10^{4}\ \mathrm{V}$; b.3) el número de vueltas antes de salir y la velocidad de salida.

Datos: $m_p = 1{,}7\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}$; $q_p = +1{,}6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$; $e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$.

Supuesto 1

Esquema del ciclotrón: dos «des» semicirculares separadas por el hueco acelerador

B

«de» 1

«de» 2

hueco: ΔV alterna

salida

Solución

a) Descripción y funcionamiento. Un ciclotrón consta de dos electrodos huecos semicirculares —las «des»— situados en el vacío, entre los polos de un electroimán que crea un campo magnético $\vec B$ perpendicular al plano de las des. Entre ambas hay un hueco estrecho al que se aplica una diferencia de potencial alterna.

El funcionamiento reposa en una propiedad notable. Dentro de una «de» no hay campo eléctrico (es una jaula de Faraday) y solo actúa la fuerza magnética, que obliga a la partícula a describir una semicircunferencia de radio $r = mv/(qB)$. El tiempo que tarda en recorrerla es

$$t_{1/2} = \frac{\pi r}{v} = \frac{\pi m}{qB}$$

independiente de la velocidad y del radio: aunque la partícula vaya cada vez más rápida, describe círculos cada vez más grandes y tarda siempre lo mismo. Esa es la clave del invento: basta con aplicar una tensión alterna de frecuencia fija (la frecuencia ciclotrón $f = qB/2\pi m$) para que, cada vez que la partícula llega al hueco, el campo eléctrico esté orientado en el sentido correcto y la acelere. La trayectoria resultante es una espiral de radio creciente; al alcanzar el radio máximo, la partícula se extrae y se dirige al blanco. (El límite del diseño es precisamente el efecto relativista: cuando $\gamma$ deja de ser 1, el periodo aumenta y la partícula se desincroniza; de ahí los sincrociclotrones.)

b.1) Tiempo de la semicircunferencia.

$$t_{1/2} = \frac{\pi m}{qB} = \frac{\pi\cdot 1{,}7\cdot 10^{-27}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}8} = 1{,}85\cdot 10^{-8}\ \mathrm{s}$$

b.2) Ganancia de energía por paso. En el hueco, el trabajo del campo eléctrico es

$$\Delta E_c = q\,\Delta V = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 3\cdot 10^{4} = 4{,}8\cdot 10^{-15}\ \mathrm{J} = 3\cdot 10^{4}\ \mathrm{eV} = 30\ \mathrm{keV}$$

Trabajando en electronvoltios el cálculo es inmediato: un protón que atraviesa 30 kV gana, por definición, 30 keV.

b.3) Número de vueltas y velocidad final. En cada vuelta completa la partícula cruza el hueco dos veces, ganando $2\times 30 = 60\ \mathrm{keV}$ por vuelta. Para llegar a 18 MeV:

$$N = \frac{18\cdot 10^{6}\ \mathrm{eV}}{6\cdot 10^{4}\ \mathrm{eV/vuelta}} = 300\ \text{vueltas}$$

Y de $E_c = \tfrac12 mv^2$, con $E_c = 18\ \mathrm{MeV} = 2{,}88\cdot 10^{-12}\ \mathrm{J}$:

$$v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 2{,}88\cdot 10^{-12}}{1{,}7\cdot 10^{-27}}} = 5{,}82\cdot 10^{7}\ \mathrm{m/s}$$

que es $0{,}19\,c$. Conviene señalar que con esa velocidad $\gamma = 1{,}02$, así que despreciar la corrección relativista introduce un error de en torno al 2 %: la hipótesis del enunciado es razonable pero no gratuita.

Cuestión 2 — Reacciones nucleares

Enunciado

Escriba y ajuste las dos reacciones nucleares a las que se hace referencia en la introducción.

Solución

La introducción menciona tres procesos nucleares; los dos que pide el enunciado son la desintegración y la aniquilación, aunque conviene añadir también la producción en el ciclotrón:

1) Producción del F-18 (por bombardeo de agua enriquecida en $\ce{^18O}$ con los protones acelerados; es la reacción $^{18}\mathrm{O}(p,n)^{18}\mathrm{F}$):

$$\ce{^18_8O + ^1_1H -> ^18_9F + ^1_0n}$$

2) Desintegración $\beta^+$ del F-18 (emisión de positrón y neutrino electrónico):

$$\ce{^18_9F -> ^18_8O + ^0_{+1}e + \nu_e}$$

3) Aniquilación positrón-electrón, que produce los dos fotones detectados:

$$\ce{^0_{+1}e + ^0_{-1}e -> 2\gamma}$$

En los tres casos se comprueban las dos leyes de conservación: número másico (arriba) y número atómico o carga (abajo). En la aniquilación, la energía de cada fotón es $E = m_ec^2 = 511\ \mathrm{keV}$, y salen en direcciones opuestas para conservar el momento lineal: precisamente esa emisión en coincidencia y a 180º es lo que permite al escáner PET reconstruir la línea en la que ocurrió el suceso.

Cuestión 3 — Pérdida de actividad durante el transporte

Enunciado

A las 4:00 se genera una sustancia radiactiva con actividad $3\cdot 10^{10}\ \mathrm{Bq}$ en un ciclotrón de Madrid. Tarda 30 minutos en llegar al aeropuerto, el vuelo a Gran Canaria dura 3 horas y desde el aeropuerto al Hospital transcurren 45 minutos. Calcule en tanto por ciento cuánto ha disminuido la actividad al llegar a destino, sabiendo que el periodo de semidesintegración del F-18 es 1,83 horas.

Solución

El tiempo total de transporte es

$$t = 0{,}5 + 3 + 0{,}75 = 4{,}25\ \mathrm{h}$$

La actividad decae con la misma ley exponencial que el número de núcleos:

$$\frac{A}{A_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{4{,}25/1{,}83} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2{,}32} = 0{,}200$$ $$\text{Disminución} = (1 - 0{,}200)\cdot 100 = \boxed{80{,}0\ \%}$$

Solo llega a Gran Canaria una quinta parte de la actividad inicial ($6\cdot 10^{9}\ \mathrm{Bq}$). Este número es justamente el argumento del supuesto: con un periodo de menos de dos horas, cada traslado largo obliga a producir cinco veces más dosis de la necesaria, y por eso los ciclotrones se instalan junto a los hospitales que hacen PET. Es, además, un excelente ejemplo de que la semivida corta del F-18 es a la vez su virtud (menos dosis para el paciente) y su limitación logística.

Intervención didáctica (orientación)

Contexto del enunciado: IES de ciudad populosa, Física de 2.º de Bachillerato, alumnado orientado a la PAU y a ingenierías. El centro participa en la RED CANARIA-InnovAS (eje STEAM), no tiene laboratorio pero sí aulas de informática, ordenador y videoproyector en el aula. Grupo de 28, con un alumno TEA, otro de altas capacidades con talento matemático (ALCAIN), otro absentista y tres con la Física y Química de 1.º pendiente. Se piden 4 sesiones cuyo producto final sea una campaña de concienciación sobre la relevancia de la radiactividad en la salud y el problema de que no haya ciclotrón en los hospitales canarios.

Elementos que una buena respuesta debería concretar:

• Secuencia de 4 sesiones, por ejemplo: (1) reto inicial a partir del cálculo del 80 % de pérdida de actividad —el propio problema resuelto arriba— como anclaje; (2) simulación en el aula de informática (PhET, simuladores de desintegración) para construir la ley exponencial; (3) búsqueda documentada y contraste de fuentes sobre PET y ciclotrones en España; (4) producción y evaluación de la campaña.
• La ausencia de laboratorio no es un obstáculo: el enunciado la menciona a propósito. Hay que apoyarse en simulaciones y datos reales (series de actividad, mapas de instalaciones PET), lo que además encaja con el eje STEAM y con la orientación a ingenierías del grupo.
• Atención a la diversidad, perfil a perfil: anticipación y guiones visuales para el alumno con TEA, evitando la sobrecarga sensorial de la campaña; tareas de ampliación con modelización matemática (ajuste exponencial, semivida efectiva biológica) para el alumno ALCAIN; materiales y entregas asíncronas accesibles para el alumnado absentista; y actividades de refuerzo de los saberes de 1.º (cinemática de la desintegración, unidades) para los tres con la materia pendiente, aprovechando que la recuperación puede integrarse en el propio proyecto.
• Producto final y evaluación: rúbrica de la campaña (rigor científico, adecuación al público, uso de fuentes), coevaluación entre grupos y una prueba individual breve que garantice que el aprendizaje competencial no se diluye en el trabajo de equipo.
• Dimensión social: el supuesto pide explícitamente analizar un problema real del entorno (la insularidad y el acceso a la sanidad). Conectar con los ODS y con la comunidad educativa da sentido a la campaña.