Supuesto 24

Enunciado

Tenemos dos esferas homogéneas, A y B, que están suspendidas de los extremos de una varilla rígida, horizontal, de longitud 30 cm y de masa despreciable. La varilla puede girar en torno a un pivote situado entre ellas. La esfera A tiene un volumen tres veces mayor que la esfera B y una densidad 4 veces mayor que la del agua. La esfera B tiene una densidad 6 veces mayor que la del agua.

a) Determina la posición del pivote en el aire respecto a la esfera A para que el sistema esté en equilibrio. (6 puntos) b) Si el sistema se sumerge completamente en agua, determina la posición del pivote para que se mantenga en equilibrio. (6 puntos) c) ¿Qué relación deben cumplir las densidades de las dos esferas para que la posición del punto de equilibrio no cambie cuando el sistema pase de estar en el aire a estar completamente sumergido en un fluido? (8 puntos)

(Datos: $\rho_{\text{agua}} = 1000$ kg·m⁻³)

Solución

Llamemos $V_B = V$ y $\rho_w$ a la densidad del agua. Del enunciado, $V_A = 3V$, $\rho_A = 4\rho_w$ y $\rho_B = 6\rho_w$, de modo que las masas son

$$m_A = \rho_A V_A = 12\rho_w V, \qquad m_B = \rho_B V_B = 6\rho_w V \quad\Longrightarrow\quad m_A = 2m_B$$

La esfera A es menos densa pero más grande, y gana: pesa el doble.

a) Pivote en el aire. Condición de equilibrio de momentos respecto del pivote, con $d_A + d_B = 0{,}30$ m:

$$m_A g\,d_A = m_B g\,d_B \quad\Longrightarrow\quad 2d_A = 0{,}30 - d_A$$ $$\boxed{d_A = 0{,}10\ \mathrm{m} = 10\ \mathrm{cm}} \qquad (d_B = 20\ \mathrm{cm})$$

El pivote está más cerca de la esfera pesada, como debe ser.

b) Pivote sumergido en agua. Ahora, sobre cada esfera actúa además el empuje de Arquímedes $E = \rho_w V g$ hacia arriba. Lo que cuenta es el peso aparente:

$$P'_A = (\rho_A - \rho_w)V_A\,g = (4-1)\rho_w\cdot 3V g = 9\rho_w V g$$ $$P'_B = (\rho_B - \rho_w)V_B\,g = (6-1)\rho_w\cdot V g = 5\rho_w V g$$

La relación ha pasado de $12{:}6 = 2{,}00$ a $9{:}5 = 1{,}80$: la esfera A, al ser más voluminosa, recibe mucho más empuje y pierde ventaja. Imponiendo de nuevo el equilibrio, $9d_A = 5(0{,}30 - d_A)$:

$$14\,d_A = 1{,}5 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{d_A = 0{,}107\ \mathrm{m} = 10{,}7\ \mathrm{cm}}$$

$(d_B = 19{,}3$ cm$)$. El pivote debe alejarse 7 mm de la esfera A. Conviene insistir en que ambas esferas se hunden ($\rho > \rho_w$): el empuje no las levanta, solo aligera el peso aparente.

c) Condición para que el pivote no cambie. Escribamos las dos condiciones con símbolos. En el aire, $d_A/d_B = \rho_B V_B/(\rho_A V_A)$; sumergido en un fluido de densidad $\rho_f$, $d_A/d_B = (\rho_B - \rho_f)V_B/[(\rho_A - \rho_f)V_A]$. Para que el pivote no se mueva, ambas expresiones deben coincidir. Los volúmenes se cancelan y queda

$$\frac{\rho_B}{\rho_A} = \frac{\rho_B - \rho_f}{\rho_A - \rho_f} \;\Longrightarrow\; \rho_A\rho_B - \rho_B\rho_f = \rho_A\rho_B - \rho_A\rho_f \;\Longrightarrow\; \rho_A\rho_f = \rho_B\rho_f$$ $$\boxed{\rho_A = \rho_B}$$

Las dos esferas deben tener la misma densidad, sean cuales sean sus volúmenes y sea cual sea el fluido. La lectura física es elegante: si las densidades coinciden, el empuje reduce el peso aparente de cada esfera en la misma proporción, y una proporción común no altera el equilibrio de momentos. Si difieren, la esfera menos densa es siempre la más perjudicada.