Supuesto 20

Enunciado

Suponemos que la temperatura de la atmósfera disminuye linealmente 6,5 ºC/km desde 15 ºC a nivel del mar hasta 11 km, y luego permanece constante hasta 20 km. Para la presión a nivel del mar tomamos $p_0 = 100\ \mathrm{kPa}$.

• a) (6p) Represente las variaciones de presión con la altura de 0 a 20 km (se puede despreciar la variación de $g$).
• b) (2p) El barómetro de un avión mide 50 kPa. ¿A qué altura vuela?
• c) (2p) Estime la masa total de la atmósfera. ¿A qué altura se tiene ya la mitad de esa masa?

Datos: $g_0 = 9{,}80\ \mathrm{N/kg}$, $R_T = 6370\ \mathrm{km}$, $R = 8{,}31\ \mathrm{J/(mol\,K)}$, $M_m(\text{aire}) = 28{,}8\ \mathrm{g/mol}$.

Solución

a) Ley barométrica en los dos tramos

Partimos de la ecuación fundamental de la hidrostática para un gas ideal:

$$\frac{\mathrm{d}p}{p} = -\frac{M g}{R\,T(h)}\,\mathrm{d}h$$

Troposfera ($0 \le h \le 11\ \mathrm{km}$), con $T(h) = T_0 - Lh$, $L = 6{,}5\cdot 10^{-3}\ \mathrm{K/m}$ y $T_0 = 288{,}15\ \mathrm{K}$. Integrando:

$$p(h) = p_0\left(\frac{T_0 - Lh}{T_0}\right)^{\frac{Mg}{RL}}, \qquad \frac{Mg}{RL} = \frac{0{,}0288\cdot 9{,}80}{8{,}31\cdot 6{,}5\cdot 10^{-3}} = 5{,}23$$

En la tropopausa, $T = 216{,}65\ \mathrm{K}$ y $p(11\ \mathrm{km}) = 22{,}5\ \mathrm{kPa}$.

Estratosfera ($11 \le h \le 20\ \mathrm{km}$), isoterma a 216,65 K, donde la ley es exponencial con altura de escala $H = RT/(Mg) = 6{,}38\ \mathrm{km}$:

$$p(h) = p(11\ \mathrm{km})\;e^{-\frac{h-11\ \mathrm{km}}{H}} \;\Longrightarrow\; p(20\ \mathrm{km}) = 5{,}5\ \mathrm{kPa}$$

Ejercicio B.3a

Presión atmosférica frente a la altura (0–20 km)

100

50

5,5

11

20

h (km)

p (kPa)

tropopausa

estratosfera isoterma

b) Altura del avión

Con $p = 50\ \mathrm{kPa}$ estamos claramente en la troposfera:

$$\left(\frac{T}{T_0}\right)^{5{,}23} = 0{,}50 \;\Longrightarrow\; \frac{T}{T_0} = 0{,}876 \;\Longrightarrow\; T = 252{,}4\ \mathrm{K}$$ $$h = \frac{T_0 - T}{L} = \frac{288{,}15-252{,}35}{6{,}5\cdot 10^{-3}} = 5{,}5\cdot 10^{3}\ \mathrm{m} = 5{,}5\ \mathrm{km}$$

c) Masa de la atmósfera y altura de la mitad

La presión a nivel del mar es, por definición, el peso de toda la columna de aire por unidad de área. Por tanto:

$$M_\text{atm} = \frac{p_0\,A}{g} = \frac{p_0\cdot 4\pi R_T^2}{g} = \frac{10^{5}\cdot 4\pi(6{,}37\cdot 10^{6})^2}{9{,}80} = 5{,}2\cdot 10^{18}\ \mathrm{kg}$$

muy próximo al valor aceptado ($5{,}15\cdot 10^{18}\ \mathrm{kg}$). Y aquí viene lo elegante: como la presión mide directamente el peso de la columna que queda por encima, la altura que deja debajo la mitad de la masa es precisamente donde $p = p_0/2 = 50\ \mathrm{kPa}$, es decir la misma que la del apartado b: 5,5 km. Dicho de otro modo, la mitad de la atmósfera está por debajo de la cota del Mont Blanc.