Supuesto 31

Enunciado

Un bloque de 2 kg y un cilindro de 8 kg están unidos por un hilo inextensible y sin masa, que descansa sobre una polea situada en la unión de dos planos inclinados de 30º y 60º respectivamente. Considere la polea sin masa. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es $\mu = 2/\sqrt{3}$. El cilindro parte del reposo y rueda sin deslizar con rozamiento despreciable recorriendo 1 m desde el inicio.

• a) Determine el momento de inercia del cilindro respecto a su eje central suponiendo que su radio es $R$, longitud $L$ y su densidad es uniforme. (3 puntos)
• b) Calcule la velocidad del bloque tras haber recorrido 1 m por su plano. (3 puntos)
• c) En ese instante, el cilindro penetra en una zona embarrada. Sin suponer fricción con el barro, calcula la distancia que recorre el bloque hasta parar. (4 puntos)

Dato: aceleración de la gravedad $9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$.

Problema 4

Montaje: bloque en el plano de 30º y cilindro en el de 60º

2 kg

8 kg

30º

60º

plano rugoso (μ)

zona embarrada

polea sin masa

Solución

a) Momento de inercia del cilindro

Para un cilindro macizo y homogéneo de masa $M$, radio $R$ y longitud $L$, la densidad es $\rho = M/(\pi R^2 L)$. Descomponemos el sólido en capas cilíndricas de radio $r$, espesor $\mathrm{d}r$ y volumen $\mathrm{d}V = 2\pi r L\,\mathrm{d}r$:

$$I = \int r^2\,\mathrm{d}m = \int_0^R r^2\,\rho\,2\pi r L\,\mathrm{d}r = 2\pi\rho L\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r = 2\pi\rho L\frac{R^4}{4} = \frac{\pi\rho L R^4}{2}$$

y sustituyendo $\rho$:

$$\boxed{\,I = \tfrac{1}{2}MR^2\,} = \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot R^2 = 4R^2\ \mathrm{kg\,m^2}$$

El resultado no depende de la longitud $L$: al girar en torno a su eje, cada elemento de masa contribuye solo por su distancia al eje, independientemente de su posición longitudinal.

b) Velocidad tras recorrer 1 m

Conviene resolverlo por conservación de la energía, porque el hilo obliga a que bloque y cilindro compartan el módulo de la velocidad $v$, y la condición de rodadura sin deslizamiento liga la rotación con la traslación, $\omega = v/R$. La energía cinética del cilindro es entonces

$$E_c = \tfrac{1}{2}m_2v^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2 = \tfrac{1}{2}m_2v^2 + \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}m_2R^2\right)\frac{v^2}{R^2} = \tfrac{3}{4}m_2v^2$$

El cilindro (8 kg) desciende 1 m a lo largo del plano de 60º mientras el bloque (2 kg) asciende 1 m por el de 30º venciendo el rozamiento. El rozamiento del rodamiento es despreciable, y sobre el bloque actúa $F_r = \mu m_1 g\cos 30^\circ$. Nótese que el dato está elegido para simplificar:

$$\mu\cos 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \;\Longrightarrow\; F_r = m_1 g = 19{,}6\ \mathrm{N}$$

Balance energético para $d = 1\ \mathrm{m}$:

$$m_2 g\,d\,\mathrm{sen}\,60^\circ - m_1 g\,d\,\mathrm{sen}\,30^\circ - \mu m_1 g\,d\cos 30^\circ = \tfrac{1}{2}m_1v^2 + \tfrac{3}{4}m_2v^2$$ $$9{,}8\left(8\cdot 0{,}866 - 2\cdot 0{,}5 - 2\right)\cdot 1 = 9{,}8\cdot 3{,}93 = 38{,}5\ \mathrm{J}$$ $$38{,}5 = \left(\tfrac{1}{2}\cdot 2 + \tfrac{3}{4}\cdot 8\right)v^2 = 7\,v^2 \;\Longrightarrow\; v = \sqrt{5{,}50} = 2{,}35\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

Equivalentemente, la aceleración constante del sistema es $a = v^2/(2d) = 2{,}75\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, que se obtiene también dividiendo la fuerza neta (38,5 N) entre la masa efectiva $m_1 + m_2 + I/R^2 = 2 + 8 + 4 = 14\ \mathrm{kg}$.

c) Distancia recorrida hasta detenerse

Hipótesis de trabajo. La redacción del apartado es ambigua («sin suponer fricción con el barro»). Lo interpretamos en el sentido de que el barro detiene al cilindro al penetrar en él, con lo que el hilo deja de tirar (queda flojo, ya que un hilo solo transmite tracción) y el bloque continúa subiendo por inercia. Es la lectura que hace el apartado no trivial y coherente con «la distancia que recorre el bloque hasta parar».

A partir de ese instante el bloque sube libre, frenado por la gravedad y por el rozamiento, ambos dirigidos ahora hacia abajo del plano:

$$a' = g\left(\mathrm{sen}\,30^\circ + \mu\cos 30^\circ\right) = 9{,}8\,(0{,}5 + 1) = 14{,}7\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$ $$d' = \frac{v^2}{2a'} = \frac{5{,}50}{2\cdot 14{,}7} = 0{,}187\ \mathrm{m} \approx 19\ \mathrm{cm}$$

¿Volverá a bajar? No. Para que el bloque deslizase de nuevo haría falta $\mathrm{tg}\,30^\circ > \mu$, y aquí $\mathrm{tg}\,30^\circ = 0{,}577 < \mu = 1{,}155$: la fuerza de rozamiento estático basta para mantenerlo en reposo. El bloque se detiene definitivamente 19 cm más arriba.