Supuesto 30

Enunciado

Se tiene una lente de vidrio biconvexa ($n = 1{,}5$) con una potencia de 2,5 dioptrías, y el radio de una de las caras es de 60 cm. Determine:

a) El radio del otro lado (considere la lente como delgada). (0,25 p) b) La posición de la imagen obtenida al colocar un objeto de 3 cm de alto a una distancia de 50 cm de la lente. (0,25 p) c) El tamaño de la imagen anterior y su aumento. ¿Cómo es la imagen obtenida? (0,25 p) d) Realice el trazado de rayos. (0,35 p) e) Si se coloca otra lente divergente del mismo vidrio junto a la anterior, con una potencia de 4 dioptrías, ¿cuál será la potencia del sistema? (0,15 p)

Solución

a) El otro radio. Ecuación del constructor de lentes (convenio DIN, luz de izquierda a derecha):

$$P = \frac{1}{f'} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$ $$2{,}5 = 0{,}5\left(\frac{1}{0{,}60} - \frac{1}{R_2}\right) \;\Longrightarrow\; \frac{1}{R_2} = 1{,}667 - 5 = -3{,}333$$ $$\boxed{R_2 = -0{,}30\ \mathrm{m}}$$

(oficial: −0,3 m). El signo negativo es la comprobación de que la lente es biconvexa: en este convenio, la primera cara convexa tiene $R_1 > 0$ y la segunda $R_2 < 0$. Si hubiera salido positivo, sería un menisco.

b) Posición de la imagen. $f' = 1/2{,}5 = 0{,}40$ m y $s = -0{,}50$ m:

$$\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{s'} = 2{,}5 - 2{,}0 = 0{,}5 \;\Longrightarrow\; \boxed{s' = 2{,}0\ \mathrm{m}}$$

(oficial: 2 m). El objeto está entre $f$ y $2f$ (50 cm frente a una focal de 40 cm), así que ya se sabe de antemano qué va a salir: imagen real, invertida y mayor, más allá de $2f'$.

c) Tamaño y naturaleza.

$$\beta' = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s} = \frac{2{,}0}{-0{,}50} = \boxed{-4} \;\Longrightarrow\; y' = -4\cdot 3 = \boxed{-12\ \mathrm{cm}}$$

(oficiales: $A = -4$, $y' = -12$ cm). La imagen es real ($s' > 0$, se forma con rayos que convergen de verdad y se puede recoger en una pantalla), invertida ($\beta' < 0$) y mayor ($|\beta'| > 1$). Es exactamente la configuración de un proyector.

d) Trazado de rayos.

Galicia 2024 · Problema 4

Trazado de rayos de la lente convergente

e) Sistema de dos lentes en contacto. Con el convenio DIN, la potencia de una lente divergente es negativa, y las potencias de lentes delgadas en contacto se suman:

$$P_{\text{total}} = P_1 + P_2 = 2{,}5 - 4{,}0 = \boxed{-1{,}5\ \mathrm{D}}$$

(oficial: −1,5 D). El sistema resultante es divergente, con $f' = -0{,}67$ m. El dato de que la segunda lente es «del mismo vidrio» es irrelevante aquí: ya nos dan su potencia.