Supuesto 29

Enunciado

Un electrón (masa $9{,}11\cdot 10^{-31}$ kg $= 0{,}511$ MeV/c², carga $1{,}60\cdot 10^{-19}$ C) es acelerado desde el reposo hasta alcanzar una energía cinética de 2,50 MeV. Teniendo en cuenta la naturaleza relativista del problema, determine:

a) La velocidad del electrón, expresada como una fracción de la velocidad de la luz. (0,7 p) b) La distancia que recorre el electrón, medida en el sistema de referencia del laboratorio, en un tiempo de 1,0 ns del sistema de referencia en el que el electrón está en reposo. (0,55 p)

Dato: velocidad de la luz $c = 3{,}00\cdot 10^{8}$ m/s.

Solución

a) Velocidad. La energía cinética relativista es $E_c = (\gamma - 1)mc^2$, así que el factor de Lorentz sale directamente de comparar la energía cinética con la energía en reposo (que el enunciado regala ya en MeV, y por eso conviene trabajar en esas unidades sin pasar a julios):

$$\gamma = 1 + \frac{E_c}{mc^2} = 1 + \frac{2{,}50}{0{,}511} = 5{,}892$$ $$\frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{34{,}72}} = \boxed{0{,}985}$$

(oficial: 0,985). Aquí está la lección del problema: la energía cinética es casi cinco veces la energía en reposo, y aun así la velocidad se queda en el 98,5 % de $c$. El cálculo clásico $E_c = \tfrac{1}{2}mv^2$ daría $v = 3{,}13\,c$, es decir, un disparate.

b) Distancia en el laboratorio. El dato de 1,0 ns está medido «en el sistema de referencia en el que el electrón está en reposo»: es un tiempo propio $\tau$, medido por un único reloj que viaja con la partícula. En el laboratorio, ese intervalo se dilata:

$$t_{\text{lab}} = \gamma\,\tau = 5{,}892\cdot 1{,}0\cdot 10^{-9} = 5{,}89\cdot 10^{-9}\ \mathrm{s}$$ $$d = v\,t_{\text{lab}} = 0{,}9855\cdot 3{,}00\cdot 10^{8}\cdot 5{,}892\cdot 10^{-9} = \boxed{1{,}7\ \mathrm{m}}$$

(oficial: 1,7 m). Quien olvide dilatar el tiempo obtiene 0,30 m, casi seis veces menos. Se puede comprobar por el otro camino, el de la contracción de longitudes: en el sistema del electrón, el laboratorio pasa de largo durante 1,0 ns a 0,9855 c, recorriendo 0,296 m; esa longitud, vista desde el laboratorio, está contraída por $\gamma$, luego la real es $0{,}296\cdot 5{,}892 = 1{,}74$ m. ✔