Supuesto 26

Enunciado

Se detecta una corriente de átomos de Cobalto-60 (⁶⁰Co) que se mueven al 80 % de la velocidad de la luz (0,8 c) respecto al laboratorio. El ⁶⁰Co sufre desintegración beta, $\ce{^60Co -> ^60Ni + e- + \overline{\nu}_e}$. La vida media del ⁶⁰Co en reposo es 5,27 años. Masas atómicas: ⁶⁰Co = 59,933819 u, ⁶⁰Ni = 59,930789 u, e⁻ = 0,00054858 u ($1\ \mathrm{u} = 931{,}5\ \mathrm{MeV/c^2}$).

• a) Factor de Lorentz $\gamma$ a 0,8 c. (10 %)
• b) Cómo afecta a la vida media observada ($\tau$) frente a la propia ($\tau_0$). (15 %)
• c) Energía de desintegración (valor Q) en MeV. (25 %)
• d) Suponiendo el ⁶⁰Co en reposo y el ⁶⁰Ni con velocidad despreciable, energía cinética y velocidad del electrón emitido en el laboratorio. (30 %)
• e) Masa relativista del ⁶⁰Co a 0,8 c. (20 %)

Solución

a) Factor de Lorentz

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}8^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{1}{0{,}6} = 1{,}667$$

b) Dilatación de la vida media

El tiempo propio del ⁶⁰Co (en su marco de reposo) se dilata en el laboratorio según $\tau = \gamma\,\tau_0$. Para el observador del laboratorio los átomos «viven más»:

$$\tau = 1{,}667\cdot 5{,}27 = 8{,}78\ \text{años}$$

Es la razón física por la que las partículas rápidas recorren distancias mucho mayores de las que permitiría su vida propia (el mismo efecto que explica la llegada de muones a la superficie).

c) Valor Q

Usando masas atómicas (que ya incluyen los electrones orbitales), en la desintegración β⁻ el electrón emitido queda contabilizado por el electrón extra del níquel ($Z$ pasa de 27 a 28), de modo que

$$Q = \big[M(\ce{^60Co}) - M(\ce{^60Ni})\big]c^2 = (59{,}933819 - 59{,}930789)\cdot 931{,}5 = 0{,}003030\cdot 931{,}5 = 2{,}82\ \mathrm{MeV}$$

(La masa del electrón dada en el enunciado no hay que restarla por separado: con masas atómicas se cancela automáticamente.)

d) Energía cinética y velocidad del electrón

Con la simplificación de que el ⁶⁰Ni no se lleva energía apreciable, la energía disponible es para el electrón (y el antineutrino). En el caso límite en que el electrón se lleva toda la energía —su energía máxima del espectro β— $E_c \approx Q = 2{,}82\ \mathrm{MeV}$. Su energía total es

$$E = E_c + m_e c^2 = 2{,}82 + 0{,}511 = 3{,}33\ \mathrm{MeV}, \qquad \gamma_e = \frac{E}{m_e c^2} = \frac{3{,}33}{0{,}511} = 6{,}52$$ $$v = c\sqrt{1 - \frac{1}{\gamma_e^2}} = c\sqrt{1 - \frac{1}{6{,}52^2}} = 0{,}988\,c$$

El electrón sale ultrarrelativista, a $\approx 0{,}99\,c$. (En realidad la energía se reparte con el antineutrino, así que 2,82 MeV es el extremo superior del espectro continuo de emisión β.)

e) Masa relativista

$$m = \gamma\,m_0 = 1{,}667\cdot 59{,}933819 = 99{,}9\ \mathrm{u}$$

Conviene matizar que la física moderna prefiere hablar de masa invariante (la masa en reposo $m_0$, la misma en todos los sistemas) y describir el aumento de inercia con la energía relativista $E = \gamma m_0 c^2$; la «masa relativista» $\gamma m_0$ es una forma clásica, hoy en desuso, de expresar ese mismo hecho.