Supuesto 24

Enunciado

Supongamos que estiramos con una misma tensión de 60,24 N las 4 cuerdas de un violín, que tienen 31,6 cm entre sus dos extremos fijos. Las frecuencias fundamentales de sus notas correspondientes son: SOL 196 Hz, RE 293,7 Hz, LA 440 Hz, MI 659,3 Hz.

a) Deduzca qué cuerda tiene una densidad lineal de 0,347 g/m. (0,5 puntos) b) Si se hace vibrar la cuerda RE, ¿a qué velocidad y en qué condiciones debería moverse un oyente para que percibiese «SOL»? (0,5 puntos) c) ¿Qué separación habrá entre dos personas que perciban 15 y 35 dB a partir de una misma nota emitida por una de las cuerdas? (1 punto)

Solución

a) Qué cuerda es. En una cuerda fija por los dos extremos, el modo fundamental tiene $\lambda = 2L$, y la velocidad de la onda transversal es $v = \sqrt{T/\mu}$:

$$f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{1}{2\cdot 0{,}316}\sqrt{\frac{60{,}24}{3{,}47\cdot 10^{-4}}} = \frac{416{,}7}{0{,}632} = 659{,}3\ \mathrm{Hz}$$ $$\boxed{\text{Es la cuerda MI}}$$

Merece la pena calcular las cuatro para ver el patrón, porque explica por qué las cuerdas graves de un violín son visiblemente más gruesas: a igual tensión y longitud, $\mu \propto 1/f^2$.

| Cuerda | $f_1$ (Hz) | $\mu$ (g/m) | | ------ | ---------- | ----------- | | SOL | 196,0 | 3,93 | | RE | 293,7 | 1,75 | | LA | 440,0 | 0,779 | | MI | 659,3 | 0,347 |

b) Efecto Doppler. El oyente debe percibir una frecuencia menor (196 < 293,7 Hz), así que tiene que alejarse de la fuente. Con la fuente en reposo y el observador moviéndose a $v_o$:

$$f' = f\,\frac{v - v_o}{v} \quad\Longrightarrow\quad v_o = v\left(1 - \frac{f'}{f}\right) = 340\left(1 - \frac{196}{293{,}7}\right)$$ $$\boxed{v_o = 113\ \mathrm{m/s}\ \text{alejándose en la dirección fuente-oyente}}$$

Es decir, unos 407 km/h: el resultado es físicamente correcto pero prácticamente absurdo, y conviene decirlo. La razón de fondo es que RE y SOL están separados por una quinta descendente (razón 3:2, que es $-7$ semitonos), un intervalo enorme; el Doppler solo produce desplazamientos así a velocidades comparables a una fracción apreciable de la del sonido. Nótese que la velocidad del sonido no aparece en los datos: se ha tomado $v = 340$ m/s.

c) Separación entre los dos oyentes.

$$\beta = 10\log\frac{I}{I_0} \quad\Longrightarrow\quad \Delta\beta = 35 - 15 = 20\ \mathrm{dB} \quad\Longrightarrow\quad \frac{I_2}{I_1} = 10^{2} = 100$$

Como una fuente puntual radia con $I \propto 1/r^2$:

$$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{I_2}{I_1}} = 10$$

El oyente que percibe 15 dB está diez veces más lejos que el que percibe 35 dB. Si ambos están alineados con la fuente, la separación entre ellos es

$$d = r_1 - r_2 = 9\,r_2$$

⚠️ El apartado está indeterminado tal como se enuncia. Para dar una separación en metros haría falta la potencia acústica de la fuente o alguna distancia de referencia, y el enunciado no da ninguna. Lo único determinado es la relación $r_1 = 10\,r_2$. A modo de ilustración: si el oyente cercano estuviera a 1 m, el lejano estaría a 10 m y los separarían 9 m.