Supuesto 22

Enunciado

Un cuerpo cilíndrico y macizo de masa $m = 5$ kg y radio $r = 0{,}1$ m se desplaza sin deslizarse a lo largo de una pista que incluye un rizo circular (looping) de radio $R = 5$ m, como muestra la figura. Desde el punto (1), el cilindro se lanza con una velocidad inicial de 10 m/s.

a) Determina el ángulo de inclinación máximo que debe tener la rampa por la que se lanza el cilindro, de forma que no haya deslizamiento, considerando que el coeficiente de fricción estático entre la superficie y el cilindro es de $\mu = 0{,}5$. (6 puntos) b) Escribe la expresión que representa la energía mecánica del cilindro en función de la altura y su velocidad. (3 puntos) c) Calcula la altura mínima desde el punto (1) para que el cilindro logre pasar por el punto más alto del looping sin perder contacto con la pista. (5 puntos) d) Utilizando la altura obtenida en el punto anterior, determina la aceleración centrípeta y la fuerza normal en el punto (3) del recorrido. (6 puntos)

(Datos: $g = 9{,}8$ m·s⁻²)

Baleares 2026 · B2

Rampa y looping

Solución

a) Ángulo máximo sin deslizamiento. Para un cilindro macizo, $I = \tfrac{1}{2}mr^2$. Planteando a la vez la segunda ley de Newton para la traslación y para la rotación sobre una rampa de ángulo $\theta$:

$$mg\sin\theta - F_r = ma, \qquad F_r\,r = I\alpha = \tfrac{1}{2}mr^2\cdot\frac{a}{r}$$

De la segunda, $F_r = \tfrac{1}{2}ma$; sustituyendo en la primera, $a = \tfrac{2}{3}g\sin\theta$ y por tanto $F_r = \tfrac{1}{3}mg\sin\theta$. La condición de rodadura sin deslizamiento es $F_r \le \mu N = \mu mg\cos\theta$:

$$\tfrac{1}{3}\tan\theta \le \mu \quad\Longrightarrow\quad \tan\theta \le 3\mu = 1{,}5$$ $$\boxed{\theta_{\max} = \arctan(1{,}5) = 56{,}3°}$$

Fíjate en que ni la masa ni el radio intervienen: solo la geometría del cuerpo (el factor $I/mr^2$) y $\mu$. Para una esfera maciza el límite sería $\tan\theta \le 3{,}5\mu$, y para un aro $\tan\theta \le 2\mu$.

b) Energía mecánica. Rodar sin deslizar impone $v = \omega r$, así que la energía cinética tiene parte de traslación y parte de rotación:

$$E_m = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2 + mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}mr^2\right)\frac{v^2}{r^2} + mgh$$ $$\boxed{E_m = \tfrac{3}{4}mv^2 + mgh}$$

El coeficiente es $3/4$ y no $1/2$: un 50 % más de energía cinética para la misma velocidad que un cuerpo que desliza. Es el error clásico de este problema.

c) Altura mínima. En el punto más alto del looping, la condición límite para no perder el contacto es que la normal se anule y que la gravedad sola haga de fuerza centrípeta:

$$mg = \frac{mv_{\text{alto}}^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{alto}} = \sqrt{gR} = \sqrt{9{,}8\cdot 5} = 7{,}00\ \mathrm{m/s}$$

Conservando la energía mecánica entre (1), a la altura $H$ y con $v_1 = 10$ m/s, y el punto más alto, a la altura $2R$:

$$\tfrac{3}{4}mv_1^2 + mgH = \tfrac{3}{4}mv_{\text{alto}}^2 + mg(2R)$$ $$H = \frac{\tfrac{3}{4}(49) + 9{,}8\cdot 10 - \tfrac{3}{4}(100)}{9{,}8} = \frac{36{,}75 + 98 - 75}{9{,}8} = \boxed{6{,}10\ \mathrm{m}}$$

Sin la velocidad inicial de lanzamiento harían falta $H = 2{,}75R = 13{,}75$ m; los 10 m/s de salida regalan más de la mitad.

d) Punto (3): aceleración centrípeta y normal. El punto (3) es el lateral del looping, a la altura $h = R = 5$ m. Aplicando otra vez la conservación entre (1) y (3):

$$\tfrac{3}{4}v_1^2 + gH = \tfrac{3}{4}v_3^2 + gR \quad\Longrightarrow\quad v_3^2 = \frac{75 + 59{,}75 - 49}{0{,}75} = 114{,}3\ \mathrm{m^2/s^2}$$ $$v_3 = 10{,}7\ \mathrm{m/s}, \qquad a_c = \frac{v_3^2}{R} = \frac{114{,}3}{5} = \boxed{22{,}9\ \mathrm{m/s^2}}$$

Ahora viene la parte fina. En el punto (3) el centro del looping queda horizontalmente respecto del cilindro, de modo que la normal es horizontal y el peso es tangencial: no tiene componente centrípeta. Por tanto la normal debe aportar toda la fuerza centrípeta ella sola:

$$N = m\,a_c = 5\cdot 22{,}9 = \boxed{114\ \mathrm{N}}$$

Compáralo con el punto más alto, donde la normal sería cero, y con el más bajo, donde valdría $N = mg + mv^2/R$. La aceleración centrípeta es de $2{,}3\,g$: quien fuese dentro lo notaría.

Nota sobre el radio. Se ha trabajado con $R = 5$ m para el centro de masas del cilindro, como hace el enunciado. En rigor el centro describe una circunferencia de radio $R - r = 4{,}9$ m, lo que daría $v_{\text{alto}} = 6{,}93$ m/s y $H = 5{,}82$ m. Con $r/R = 2\ \%$ la diferencia es menor que el error de los datos, pero conviene hacer constar la aproximación.