Supuesto 18

Enunciado

Cuando una carga $q$ se mueve sobre la mediatriz de un segmento definido por dos cargas iguales $Q$, la fuerza a la que está sometida depende de la distancia al punto medio del segmento.

• a) (6p) Calcule la distancia que hace máxima esa fuerza y el valor de dicha fuerza.
• b) (4p) Calcule el trabajo electrostático sobre la carga $q$ al moverla desde el punto de máxima fuerza sobre la mediatriz hasta el punto medio del segmento. Interprete el signo.

Solución

a) Distancia y valor de la fuerza máxima

Situamos las cargas $Q$ en $(\pm a, 0)$ —el segmento mide $2a$— y la carga $q$ en $(0, y)$ sobre la mediatriz. Cada carga la atrae o repele con módulo $kQq/(a^2+y^2)$; por simetría las componentes horizontales se cancelan y solo sobreviven las verticales, cada una multiplicada por $\cos\beta = y/\sqrt{a^2+y^2}$:

$$F(y) = 2\,\frac{kQq}{a^2+y^2}\cdot\frac{y}{\sqrt{a^2+y^2}} = \frac{2kQq\,y}{(a^2+y^2)^{3/2}}$$

El máximo se obtiene derivando e igualando a cero:

$$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}y} = 2kQq\,\frac{(a^2+y^2)-3y^2}{(a^2+y^2)^{5/2}} = 0 \;\Longrightarrow\; a^2 = 2y^2 \;\Longrightarrow\; \boxed{\,y = \frac{a}{\sqrt2}\,}$$

Sustituyendo:

$$F_\text{máx} = \frac{2kQq\,(a/\sqrt2)}{\left(\frac{3a^2}{2}\right)^{3/2}} = \frac{4}{3\sqrt3}\,\frac{kQq}{a^2} = 0{,}770\,\frac{kQq}{a^2}$$

El comportamiento tiene sentido en los dos límites: en el punto medio ($y=0$) la fuerza es nula por simetría, y muy lejos ($y\to\infty$) tiende a cero como $1/y^2$; entre medias hay necesariamente un máximo.

b) Trabajo electrostático

El potencial creado por las dos cargas sobre la mediatriz es $V(y) = \dfrac{2kQ}{\sqrt{a^2+y^2}}$, de modo que

$$W_{i\to f} = q\left(V_i - V_f\right) = q\left(\frac{2kQ}{\sqrt{a^2 + a^2/2}} - \frac{2kQ}{a}\right) = \frac{kQq}{a}\left(\frac{2\sqrt6}{3} - 2\right)$$ $$W = -0{,}367\,\frac{kQq}{a}$$

Interpretación del signo. Para cargas del mismo signo (fuerza repulsiva), el trabajo de la fuerza electrostática es negativo: se está llevando la carga hacia las cargas fuentes, en contra de la repulsión, así que la energía potencial aumenta y debe ser un agente externo quien aporte esa energía. Consecuentemente, si se soltara la carga en el punto medio, el sistema devolvería espontáneamente ese trabajo acelerando $q$ a lo largo de la mediatriz. (Si $Q$ y $q$ tuvieran signos opuestos, todos los signos se invertirían y el trabajo electrostático sería positivo.)