Supuesto 13

Enunciado

Una barra conductora de longitud $l = 20$ cm, de masa $m = 10$ g y resistencia $R = 10$ ohmios, baja deslizando por unos raíles conductores que forman un ángulo $\theta = 30°$ con la horizontal. Los raíles se cierran en su parte inferior por un conductor paralelo a la barra. En toda la región existe un campo magnético uniforme, perpendicular al plano horizontal sobre el que se apoyan los raíles. La inducción magnética $B$ de dicho campo es igual a 1 tesla. Se observa que el movimiento primero es acelerado, convirtiéndose luego en uniforme.

a) Razónese físicamente por qué ocurre esto. (5 puntos) b) Calcule la velocidad de la varilla, la FEM inducida en sus extremos y la corriente que pasa por el circuito cuando el movimiento de la varilla es uniforme. (5 puntos)

Nota: se desprecia el rozamiento entre la barra y los raíles y la resistencia eléctrica de éstos y del conductor inferior, pero no así la de la barra.

Andalucía 2023 · Problema 1

Geometría del problema: B es vertical, no normal al plano

Solución

a) Por qué el movimiento acaba siendo uniforme. El razonamiento tiene tres eslabones:

1. Al bajar la barra, el área del circuito cerrado crece y con ella el flujo magnético.
2. Por la ley de Faraday-Lenz aparece una fem inducida $\varepsilon = -d\Phi/dt$ y, con ella, una corriente. La ley de Lenz garantiza el signo: el sistema se opone a la causa que lo produce, de modo que la fuerza magnética $\vec{F} = I\vec{l}\times\vec{B}$ sobre la barra frena el movimiento (si la favoreciera, tendríamos una máquina de movimiento perpetuo).
3. Esa fuerza de frenado es proporcional a $v$. Al principio $v$ es pequeña, la componente del peso gana y el movimiento se acelera; conforme $v$ crece, la fuerza magnética crece con ella hasta igualar a $mg\sin\theta$. En ese instante la aceleración se anula y el movimiento pasa a ser uniforme: es una velocidad límite, exactamente análoga a la de un paracaidista.

b) La sutileza geométrica: el campo es vertical. El enunciado dice «perpendicular al plano horizontal», no al plano inclinado. Es la clave del problema y donde se pierden la mayoría de los puntos. La normal a la superficie inclinada forma un ángulo $\theta$ con la vertical, así que el flujo solo captura la proyección del área:

$$\Phi = B\,A\cos\theta = B\,l\,x\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon = \frac{d\Phi}{dt} = B\,l\,v\cos\theta$$ $$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B\,l\,v\cos\theta}{R}$$

La fuerza magnética sobre la barra es $F = I\,l\,B$ y es horizontal (la corriente va a lo largo de la barra, horizontal, y $B$ es vertical). Su componente a lo largo del plano inclinado es $F\cos\theta$. Igualándola con la componente del peso:

$$mg\sin\theta = \frac{B^2l^2v\cos^2\theta}{R} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{v_{\lim} = \frac{mgR\sin\theta}{B^2l^2\cos^2\theta}}$$

Con los datos ($m = 0{,}010$ kg, $g = 9{,}8$ m/s², $R = 10\ \Omega$, $B = 1$ T, $l = 0{,}20$ m):

$$v_{\lim} = \frac{0{,}010\cdot 9{,}8\cdot 10\cdot 0{,}5}{1\cdot 0{,}04\cdot 0{,}75} = \boxed{16{,}3\ \mathrm{m/s}}$$ $$\varepsilon = B\,l\,v\cos\theta = 1\cdot 0{,}20\cdot 16{,}33\cdot 0{,}866 = \boxed{2{,}83\ \mathrm{V}}, \qquad I = \frac{2{,}83}{10} = \boxed{0{,}283\ \mathrm{A}}$$

Comprobación: $F_{\parallel} = I\,l\,B\cos\theta = 0{,}283\cdot 0{,}20\cdot 1\cdot 0{,}866 = 0{,}0490$ N, que es exactamente $mg\sin\theta = 0{,}0490$ N. ✔

Ojo con el $\cos^2\theta$. Si se toma (mal) $B$ normal al plano inclinado, sale $v = mgR\sin\theta/(B^2l^2) = 12{,}25$ m/s, un 25 % menos. El coseno aparece dos veces: una en el flujo y otra al proyectar la fuerza. Este mismo problema, con el mismo planteamiento, cayó también en Navarra 2025.