Supuesto 38

Enunciado

(1,5 puntos) Una varilla conductora de masa $m$, longitud $L$ y resistencia eléctrica $R$ desciende deslizando sin rozamiento desde el reposo por unos carriles conductores paralelos que forman un ángulo $\alpha$ con la horizontal. Los carriles se cierran en su parte inferior por un conductor paralelo. En la región existe un campo magnético uniforme $B$, perpendicular al plano horizontal (suelo). Determine la expresión matemática de:

• a) (0,75p) La corriente inducida en el circuito, en función de la velocidad de la varilla, y razone su sentido.
• b) (0,75p) La velocidad de la varilla una vez alcanzado el régimen de movimiento uniforme.

Solución

a) Corriente inducida

El detalle decisivo es que $\vec B$ es vertical, no perpendicular al plano inclinado. El flujo que atraviesa el circuito es el que corresponde a la proyección horizontal del área encerrada. Si la varilla ha recorrido una distancia $s$ sobre el plano, el área en el plano inclinado es $Ls$ y su proyección horizontal, $Ls\cos\alpha$:

$$\Phi = B\,L\,s\,\cos\alpha$$

Aplicando la ley de Faraday, con $v = \mathrm{d}s/\mathrm{d}t$:

$$\varepsilon = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = -B\,L\,v\cos\alpha \;\Longrightarrow\; \boxed{\,I = \frac{B\,L\,v\cos\alpha}{R}\,}$$

Sentido. Al descender la varilla el área encerrada crece, y con ella el flujo. Por la ley de Lenz, la corriente inducida circula en el sentido que genera un flujo opuesto al aumento, es decir, horario visto desde arriba si el flujo entrante crece hacia arriba (y al revés en caso contrario). La consecuencia física importante es que la fuerza magnética sobre la varilla se opone siempre al movimiento: frena la caída.

b) Velocidad límite

Sobre la varilla, recorrida por la corriente $I$ y situada en el campo vertical $B$, aparece una fuerza $\vec F = I\vec L\times\vec B$ de módulo $ILB$ y dirección horizontal (perpendicular a la varilla). Su componente a lo largo del plano, que es la que se opone al deslizamiento, vale $ILB\cos\alpha$. El régimen uniforme se alcanza cuando esa componente iguala a la componente del peso:

$$mg\,\mathrm{sen}\,\alpha = I\,L\,B\cos\alpha = \frac{B^2L^2v\cos^2\alpha}{R}$$ $$\boxed{\,v_\text{límite} = \frac{m\,g\,R\,\mathrm{sen}\,\alpha}{B^2L^2\cos^2\alpha}\,}$$

Obsérvese la coherencia dimensional y los límites: si $B\to 0$ o $R\to\infty$ no hay frenado y la velocidad límite diverge (caída libre por el plano); y si $\alpha\to 90^\circ$ el campo vertical deja de cortar el circuito ($\cos\alpha\to 0$) y tampoco hay frenado.