Supuesto 11

Un supuesto de física moderna que enlaza la cuantización de la energía luminosa (efecto fotoeléctrico) con la ley estadística de la desintegración radiactiva. Ambos fenómenos rompen con la física clásica y permiten discutir una idea alternativa habitual del alumnado: pensar que subir la intensidad de la luz siempre arranca electrones, o que un núcleo “sabe” cuándo le toca desintegrarse.

Enunciado

Parte A — Efecto fotoeléctrico. Una superficie metálica cuyo trabajo de extracción es $W_0 = 2{,}30\ \mathrm{eV}$ se ilumina con luz monocromática de longitud de onda $\lambda = 400\ \mathrm{nm}$.

Parte B — Desintegración radiactiva. Se dispone de una muestra de yodo-131, emisor $\beta^-$ con periodo de semidesintegración $T_{1/2} = 8{,}0\ \text{días}$, que contiene inicialmente $N_0 = 6{,}0\times 10^{18}$ núcleos.

Datos: $h = 6{,}63\times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$; $c = 3{,}00\times 10^{8}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$; $e = 1{,}60\times 10^{-19}\ \mathrm{C}$; $m_e = 9{,}11\times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$; $1\ \mathrm{eV} = 1{,}60\times 10^{-19}\ \mathrm{J}$.

Se pide:

• a) La energía de cada fotón incidente y justificar si se produce emisión de electrones.
• b) La energía cinética máxima de los fotoelectrones y su velocidad máxima.
• c) La frecuencia umbral, la longitud de onda umbral y el potencial de frenado.
• d) La constante de desintegración $\lambda$ y la actividad inicial $A_0$ de la muestra.
• e) El número de núcleos sin desintegrar y la actividad al cabo de $24\ \text{días}$.
• f) El tiempo necesario para que la actividad se reduzca al $10\,\%$ de la inicial.

Resolución

a) Energía del fotón y condición de emisión

La energía de un fotón viene fijada por su frecuencia, no por la intensidad del haz:

Expresada en electronvoltios, $E = 4{,}97\times 10^{-19}/1{,}60\times 10^{-19} = 3{,}11\ \mathrm{eV}$. Como $E = 3{,}11\ \mathrm{eV} > W_0 = 2{,}30\ \mathrm{eV}$, sí hay emisión fotoeléctrica: cada fotón entrega energía suficiente para arrancar un electrón.

b) Energía cinética máxima y velocidad máxima

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, $E = W_0 + E_{c,\text{máx}}$:

donde $W_0 = 2{,}30\cdot 1{,}60\times 10^{-19} = 3{,}68\times 10^{-19}\ \mathrm{J}$. La velocidad máxima se obtiene tratando el electrón de forma clásica:

Comprobación (validez del modelo clásico). El cociente $v_{\text{máx}}/c = 1{,}8\times 10^{-3}$ es muy inferior a la unidad, de modo que el uso de $E_c = \tfrac{1}{2}mv^2$ está justificado y no hace falta tratamiento relativista.

c) Frecuencia umbral, longitud de onda umbral y potencial de frenado

La frecuencia umbral es aquella para la que el fotón aporta justo $W_0$:

Esto confirma el apartado a) desde el punto de vista de la longitud de onda: $\lambda = 400\ \mathrm{nm} < \lambda_0 = 540\ \mathrm{nm}$, y solo las longitudes de onda menores que la umbral producen emisión. El potencial de frenado es el que anula la corriente, $eV_0 = E_{c,\text{máx}}$:

d) Constante de desintegración y actividad inicial

La desintegración del yodo-131 es un proceso $\beta^-$:

La constante de desintegración se relaciona con el periodo por $\lambda = \ln 2 / T_{1/2}$. Pasando el periodo a segundos, $T_{1/2} = 8{,}0\cdot 86400 = 6{,}91\times 10^{5}\ \mathrm{s}$:

La actividad inicial es $A_0 = \lambda N_0$:

e) Núcleos y actividad tras 24 días

Como $24\ \text{días} = 3\,T_{1/2}$, conviene usar la forma de la ley exponencial en número de semividas, $N = N_0\,(1/2)^{t/T_{1/2}}$:

La actividad, proporcional al número de núcleos, se reduce en el mismo factor:

f) Tiempo para caer al 10 % de la actividad

Partiendo de $A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}$ e imponiendo $A/A_0 = 0{,}10$:

Comprobación (orden de magnitud). Ese tiempo equivale a $t/T_{1/2} = 26{,}6/8{,}0 = 3{,}32$ semividas, y $(1/2)^{3{,}32} = 0{,}10$, coherente con el $10\,\%$ buscado. Además, $26{,}6\ \text{días}$ queda entre $3\,T_{1/2}$ (12,5 %) y $4\,T_{1/2}$ (6,25 %), como debe ser.

Comentario didáctico

Este supuesto integra los temas de física cuántica (Tema 30) y física nuclear (Tema 35) del temario. El efecto fotoeléctrico es idóneo para desmontar la intuición clásica: aumentar la intensidad no arranca electrones si la frecuencia no supera la umbral, porque la energía llega “empaquetada” en fotones y es la frecuencia —no el número de fotones— la que fija la energía individual. La desintegración radiactiva, por su parte, introduce el carácter estadístico y espontáneo del núcleo: la ley exponencial no describe un reloj interno, sino la probabilidad constante por unidad de tiempo de que cada núcleo se desintegre. Trabajar los dos bloques con comprobaciones cruzadas —el criterio de energía frente al de longitud de onda en la Parte A, y el conteo de semividas frente al cálculo exponencial en la Parte B— permite al opositor mostrar rigor y ofrece al alumnado una estrategia de autoevaluación transferible a cualquier problema numérico.