Supòsit 10

Un supòsit de física moderna que enllaça la quantització de l'energia lluminosa (efecte fotoelèctric) amb la llei estadística de la desintegració radioactiva. Tots dos fenòmens trenquen amb la física clàssica i permeten discutir una idea alternativa habitual de l'alumnat: pensar que apujar la intensitat de la llum sempre arranca electrons, o que un nucli "sap" quan li toca desintegrar-se.

Enunciat

Part A — Efecte fotoelèctric. Una superfície metàl·lica el treball d' extracció de la qual és $W_0 = 2{,}30\ \mathrm{eV}$ s'il·lumina amb llum monocromàtica de longitud d'ona $\lambda = 400\ \mathrm{nm}$.

Part B — Desintegració radioactiva. Es disposa d'una mostra de iode-131, emissor $\beta^-$ amb període de semidesintegració $T_{1/2} = 8{,}0\ \text{dies}$, que conté inicialment $N_0 = 6{,}0\times 10^{18}$ nuclis.

Dades: $h = 6{,}63\times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$; $c = 3{,}00\times 10^{8}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$; $e = 1{,}60\times 10^{-19}\ \mathrm{C}$; $m_e = 9{,}11\times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$; $1\ \mathrm{eV} = 1{,}60\times 10^{-19}\ \mathrm{J}$.

Es demana:

• a) L'energia de cada fotó incident i justificar si es produeix emissió d' electrons.
• b) L'energia cinètica màxima dels fotoelectrons i la seua velocitat màxima.
• c) La freqüència llindar, la longitud d'ona llindar i el potencial de frenada.
• d) La constant de desintegració $\lambda$ i l'activitat inicial $A_0$ de la mostra.
• e) El nombre de nuclis sense desintegrar i l'activitat al cap de $24\ \text{dies}$.
• f) El temps necessari perquè l'activitat es reduïsca al $10\,\%$ de la inicial.

Resolució

a) Energia del fotó i condició d'emissió

L'energia d'un fotó ve fixada per la seua freqüència, no per la intensitat del feix:

$$E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6{,}63\times 10^{-34}\cdot 3{,}00\times 10^{8}}{400\times 10^{-9}} = 4{,}97\times 10^{-19}\ \mathrm{J}$$

Expressada en electronvolts, $E = 4{,}97\times 10^{-19}/1{,}60\times 10^{-19} = 3{,}11\ \mathrm{eV}$. Com que $E = 3{,}11\ \mathrm{eV} > W_0 = 2{,}30\ \mathrm{eV}$, sí que hi ha emissió fotoelèctrica: cada fotó lliura energia suficient per a arrancar un electró.

b) Energia cinètica màxima i velocitat màxima

Per l'equació d'Einstein de l'efecte fotoelèctric, $E = W_0 + E_{c,\text{màx}}$:

$$E_{c,\text{màx}} = E - W_0 = (4{,}97 - 3{,}68)\times 10^{-19} = 1{,}29\times 10^{-19}\ \mathrm{J} = 0{,}81\ \mathrm{eV}$$

on $W_0 = 2{,}30\cdot 1{,}60\times 10^{-19} = 3{,}68\times 10^{-19}\ \mathrm{J}$. La velocitat màxima s'obté tractant l'electró de forma clàssica:

$$v_{\text{màx}} = \sqrt{\frac{2\,E_{c,\text{màx}}}{m_e}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}29\times 10^{-19}}{9{,}11\times 10^{-31}}} = 5{,}33\times 10^{5}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

Comprovació (validesa del model clàssic). El quocient $v_{\text{màx}}/c = 1{,}8\times 10^{-3}$ és molt inferior a la unitat, de manera que l'ús de $E_c = \tfrac{1}{2}mv^2$ està justificat i no cal tractament relativista.

c) Freqüència llindar, longitud d'ona llindar i potencial de frenada

La freqüència llindar és aquella per a la qual el fotó aporta just $W_0$:

$$\nu_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{3{,}68\times 10^{-19}}{6{,}63\times 10^{-34}} = 5{,}55\times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$$ $$\lambda_0 = \frac{c}{\nu_0} = \frac{3{,}00\times 10^{8}}{5{,}55\times 10^{14}} = 5{,}40\times 10^{-7}\ \mathrm{m} = 540\ \mathrm{nm}$$

Això confirma l'apartat a) des del punt de vista de la longitud d'ona: $\lambda = 400\ \mathrm{nm} < \lambda_0 = 540\ \mathrm{nm}$, i només les longituds d'ona menors que la llindar produeixen emissió. El potencial de frenada és el que anul·la el corrent, $eV_0 = E_{c,\text{màx}}$:

$$V_0 = \frac{E_{c,\text{màx}}}{e} = \frac{1{,}29\times 10^{-19}}{1{,}60\times 10^{-19}} = 0{,}81\ \mathrm{V}$$

d) Constant de desintegració i activitat inicial

La desintegració del iode-131 és un procés $\beta^-$:

$${}^{131}_{53}\mathrm{I} \to\ {}^{131}_{54}\mathrm{Xe} + {}^{\ \ 0}_{-1}\mathrm{e} + \bar{\nu}_e$$

La constant de desintegració es relaciona amb el període per $\lambda = \ln 2 / T_{1/2}$. Passant el període a segons, $T_{1/2} = 8{,}0\cdot 86400 = 6{,}91\times 10^{5}\ \mathrm{s}$:

$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{6{,}91\times 10^{5}} = 1{,}00\times 10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}}$$

L'activitat inicial és $A_0 = \lambda N_0$:

$$A_0 = 1{,}00\times 10^{-6}\cdot 6{,}0\times 10^{18} = 6{,}0\times 10^{12}\ \mathrm{Bq}$$

e) Nuclis i activitat després de 24 dies

Com que $24\ \text{dies} = 3\,T_{1/2}$, convé usar la forma de la llei exponencial en nombre de semivides, $N = N_0\,(1/2)^{t/T_{1/2}}$:

$$N = N_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3} = \frac{6{,}0\times 10^{18}}{8} = 7{,}5\times 10^{17}\ \text{nuclis}$$

L'activitat, proporcional al nombre de nuclis, es redueix en el mateix factor:

$$A = A_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3} = \frac{6{,}0\times 10^{12}}{8} = 7{,}5\times 10^{11}\ \mathrm{Bq}$$

f) Temps per a caure al 10 % de l'activitat

Partint de $A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}$ i imposant $A/A_0 = 0{,}10$:

$$t = \frac{\ln(A_0/A)}{\lambda} = \frac{\ln 10}{\lambda} = \frac{2{,}303}{1{,}00\times 10^{-6}} = 2{,}30\times 10^{6}\ \mathrm{s} \approx 26{,}6\ \text{dies}$$

Comprovació (ordre de magnitud). Aquest temps equival a $t/T_{1/2} = 26{,}6/8{,}0 = 3{,}32$ semivides, i $(1/2)^{3{,}32} = 0{,}10$, coherent amb el $10\,\%$ buscat. A més, $26{,}6\ \text{dies}$ queda entre $3\,T_{1/2}$ (12,5 %) i $4\,T_{1/2}$ (6,25 %), com ha de ser.

Comentari didàctic

Aquest supòsit integra els temes de física quàntica (Tema 30) i física nuclear (Tema 35) del temari. L'efecte fotoelèctric és idoni per a desmuntar la intuïció clàssica: augmentar la intensitat no arranca electrons si la freqüència no supera la llindar, perquè l'energia arriba "empaquetada" en fotons i és la freqüència —no el nombre de fotons— la que fixa l'energia individual. La desintegració radioactiva, per la seua banda, introdueix el caràcter estadístic i espontani del nucli: la llei exponencial no descriu un rellotge intern, sinó la probabilitat constant per unitat de temps que cada nucli es desintegre. Treballar els dos blocs amb comprovacions creuades —el criteri d'energia enfront del de longitud d'ona en la Part A, i el recompte de semivides enfront del càlcul exponencial en la Part B— permet a l'opositor mostrar rigor i ofereix a l'alumnat una estratègia d' autoavaluació transferible a qualsevol problema numèric.