Tema 30

La teoria quàntica és el marc conceptual que descriu el comportament de la matèria i la radiació a escala atòmica i subatòmica. Nascuda en el trànsit del segle XIX al XX, va suposar la ruptura més profunda que ha experimentat la física des de Newton: va obligar a abandonar la idea que l'energia s'intercanvia de forma contínua i a acceptar que, en el món microscòpic, moltes magnituds només poden prendre valors discrets, "a salts". Junt amb la relativitat, constitueix un dels dos pilars de la física moderna i la base de gran part de la tecnologia actual —làsers, semiconductors, ressonància magnètica, energia nuclear—.

En el temari de l'especialitat ocupa un lloc central dins del bloc de física moderna, perquè explica l'origen de l'estructura de la matèria que s'estudia després (àtom, enllaç, espectroscòpia). El present tema recorre l'itinerari històric i conceptual complet: què és la teoria quàntica, quins problemes precursors la van motivar, per què la física clàssica no va poder resoldre'ls i quins fenòmens posteriors la van confirmar de manera inequívoca.

1. La teoria quàntica: significat i origen

A finals del segle XIX la física clàssica —mecànica newtoniana, electromagnetisme de Maxwell i termodinàmica— semblava un edifici pràcticament conclòs. No obstant això, un grapat de fenòmens resistia tota explicació. La solució va arribar el 1900, quan Max Planck, tractant d'ajustar la corba d'emissió del cos negre, va introduir una hipòtesi revolucionària: els oscil·ladors materials que emeten i absorbeixen radiació no poden tindre qualsevol energia, sinó únicament múltiples enters d'una quantitat elemental o quant:

$$E = n\,h\,\nu, \qquad n = 0, 1, 2, \dots$$

on $\nu$ és la freqüència de la radiació i $h$ és la constant de Planck,

$$h = 6{,}626 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}.$$

La petitesa de $h$ explica per què la quantització passa inadvertida en el món macroscòpic: els "salts" d'energia són tan minúsculs que l'energia sembla variar de forma contínua. Només a escala atòmica els seus efectes es tornen decisius.

La idea de quantització es va generalitzar ràpidament. El 1905 Einstein la va aplicar a la mateixa radiació (fotó); el 1913 Bohr la va estendre als nivells d'energia de l'àtom. Amb això va quedar establit el tret essencial de la teoria: energia, moment angular i altres magnituds estan quantitzades en els sistemes lligats. En la seua formulació madura (Heisenberg, Schrödinger, Dirac, 1925-1928), la mecànica quàntica descriu l'estat mitjançant una funció d'ona de caràcter probabilista, subjecta al principi d'incertesa de Heisenberg,

$$\Delta x \, \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}, \qquad \hbar = \frac{h}{2\pi},$$

que fixa un límit fonamental a la precisió amb què poden conéixer-se simultàniament posició i moment.

2. Problemes precursors

Quatre fenòmens experimentals, impossibles d'encaixar en la física clàssica, van actuar com a detonants de la revolució quàntica.

La radiació del cos negre

Un cos negre és un emissor i absorbent ideal de radiació. El seu espectre d'emissió —com es reparteix l'energia radiada entre les distintes freqüències— només depèn de la temperatura. Experimentalment es coneixien dues lleis:

$$\lambda_{\max}\, T = b, \qquad b = 2{,}898 \times 10^{-3}\ \mathrm{m\,K} \quad \text{(llei de Wien)}$$ $$M = \sigma\, T^4, \qquad \sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}} \quad \text{(llei de Stefan-Boltzmann)}$$

La llei del desplaçament de Wien indica que, en augmentar la temperatura, el màxim d'emissió es desplaça cap a longituds d'ona menors (per això un ferro passa del roig al blanc en escalfar-se). La llei de Stefan-Boltzmann dóna la potència total emesa per unitat de superfície. Cap teoria clàssica aconseguia deduir la forma completa de la corba espectral.

Planck ho va aconseguir aplicant la seua hipòtesi de quantització i va obtindre la llei de Planck per a la densitat espectral d'energia:

$$u(\nu, T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3}\,\frac{1}{e^{h\nu / k_B T} - 1},$$

amb $k_B = 1{,}381 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$. Aquesta expressió reprodueix la corba experimental en tot el rang de freqüències i conté com a casos límit les lleis de Wien i de Stefan-Boltzmann.

L'efecte fotoelèctric

Consisteix en l'emissió d'electrons per un metall quan s'il·lumina amb llum de freqüència suficient. Els fets experimentals desconcertaven:

• Existeix una freqüència llindar $\nu_0$ per davall de la qual no hi ha emissió, per intensa que siga la llum.
• L'energia cinètica dels electrons depèn de la freqüència, no de la intensitat.
• L'emissió és instantània.

Einstein (1905) ho va explicar postulant que la llum està formada per quants d'energia o fotons de valor $E = h\nu$. Un fotó cedeix tota la seua energia a un electró; una part s'inverteix a arrancar-lo (treball d'extracció $W$) i la resta queda com a energia cinètica:

$$h\nu = W + E_{k,\max}, \qquad E_{k,\max} = h\nu - W.$$

La freqüència llindar compleix $\nu_0 = W/h$. Mesurant el potencial de frenat $V_0$ que deté els electrons s'obté una recta el pendent de la qual és $h$:

$$e\,V_0 = h\nu - W.$$

Aquest treball, que li va valdre el Nobel a Einstein, va consolidar la naturalesa corpuscular de la llum.

Els espectres atòmics

Els gasos enrarits, en excitar-se, emeten llum només en línies discretes de freqüències característiques de cada element (espectres d'emissió), i absorbeixen aquestes mateixes línies (espectres d'absorció). Per a l'hidrogen, les longituds d'ona s'ajustaven empíricament a la fórmula de Rydberg:

$$\frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right), \qquad R_H = 1{,}097 \times 10^{7}\ \mathrm{m^{-1}},$$

amb $n_1 < n_2$ enters. L'existència d'espectres discrets era incomprensible per a un àtom clàssic. Bohr (1913) ho va resoldre quantitzant el moment angular de l'electró, $L = n\hbar$, la qual cosa condueix a nivells d'energia discrets:

$$E_n = -\frac{13{,}6}{n^2}\ \mathrm{eV}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots$$

Les línies espectrals corresponen a salts entre nivells, amb emissió o absorció d'un fotó d'energia $h\nu = E_{n_2} - E_{n_1}$.

La calor específica dels sòlids

La llei clàssica de Dulong i Petit predeia una calor específica molar constant, $C = 3R \approx 25\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$, independent de la temperatura. Tanmateix, s'observava que $C$ disminueix i tendeix a zero en baixar la temperatura. Einstein (1907) i després Debye van aplicar la quantització de l'energia de vibració dels àtoms de la xarxa i van reproduir aquesta caiguda, estenent l'èxit de la teoria quàntica a l'estat sòlid.

3. Límits de la física clàssica per a resoldre'ls

El fracàs de la física clàssica davant d'aquests fenòmens no va ser accidental, sinó estructural: els seus principis conduïen a prediccions qualitativament errònies.

En el cos negre, aplicar l'equipartició de l'energia als modes del camp electromagnètic (teorema clàssic) condueix a la llei de Rayleigh-Jeans:

$$u_{RJ}(\nu, T) = \frac{8\pi \nu^2}{c^3}\,k_B T.$$

Aquesta expressió ajusta bé les baixes freqüències, però divergeix en créixer $\nu$: l'energia radiada total seria infinita. És l'anomenada catàstrofe ultraviolada, el més cèlebre dels fracassos clàssics. La llei de Planck l'evita perquè el factor $1/(e^{h\nu/k_B T}-1)$ "congela" els modes d'alta freqüència: quan $h\nu \gg k_B T$ la probabilitat d'excitar un quant d'eixa energia és menyspreable. En el límit oposat $h\nu \ll k_B T$, la llei de Planck es redueix a la de Rayleigh-Jeans, la qual cosa mostra que la física clàssica és un cas límit de la quàntica.

En l'efecte fotoelèctric, la teoria ondulatòria clàssica predeia que l'energia dels electrons havia de créixer amb la intensitat (amplitud) de la llum i que, amb llum feble, l'emissió requeriria un temps apreciable d'acumulació d'energia. L'existència d'una freqüència llindar i la instantaneïtat eren inexplicables sense el concepte de fotó.

En els espectres atòmics, el model planetari de Rutherford era inestable segons l'electromagnetisme clàssic: un electró accelerat radia energia de forma contínua i hauria de precipitar-se sobre el nucli en $\sim 10^{-11}\ \mathrm{s}$, emetent un espectre continu. Ni l'estabilitat de l'àtom ni el caràcter discret de les línies cabien en la teoria clàssica.

En la calor específica, l'equipartició imposava un valor constant $3R$, incompatible amb l'anul·lació observada a baixa temperatura.

El denominador comú de tots aquests límits és la hipòtesi de continuïtat de l'energia. Només renunciant-hi —quantitzant— es restableix l'acord amb l'experiment.

4. Fenòmens que corroboren la teoria quàntica

Una vegada formulada, la teoria quàntica va ser confirmada per experiments dissenyats per a posar a prova les seues prediccions més audaces.

L'efecte Compton

El 1923, Arthur Compton va estudiar la dispersió de raigs X per electrons lliures i va observar que la radiació dispersada tenia una longitud d'ona major que la incident, dependent de l'angle. Tractant la col·lisió com un xoc elàstic entre un fotó (amb energia $E = h\nu$ i moment $p = h/\lambda$) i un electró, i aplicant conservació d'energia i moment, va deduir:

$$\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}\,(1 - \cos\theta),$$

on $\theta$ és l'angle de dispersió i $\lambda_C = h/(m_e c) = 2{,}43 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}$ és la longitud d'ona Compton de l'electró. L'acord amb l'experiment va ser la prova definitiva que el fotó posseeix moment lineal i, per tant, de la naturalesa corpuscular de la radiació.

La hipòtesi de De Broglie i la difracció d'electrons

El 1924 Louis de Broglie va proposar una simetria audaç: si la llum, ondulatòria, té propietats corpusculars, la matèria ha de tindre propietats ondulatòries. A tota partícula de moment $p$ li va associar una longitud d'ona:

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}.$$

La predicció es va confirmar el 1927, quan Davisson i Germer —i de forma independent G. P. Thomson— van observar difracció d'electrons en incidir sobre un cristall, obtenint patrons d'interferència idèntics als d'una ona amb la longitud predita per De Broglie. Quedava així establida la dualitat ona-corpuscle com a propietat universal, base de la mecànica ondulatòria de Schrödinger i del microscopi electrònic.

L'experiment de Franck i Hertz

El 1914, Franck i Hertz van bombardejar vapor de mercuri amb electrons i van mesurar el corrent en funció de l'energia d'aquests. Van observar caigudes periòdiques de corrent cada $4{,}9\ \mathrm{eV}$: els electrons només cedien energia als àtoms en quantitats discretes. Va ser la confirmació directa de l'existència de nivells d'energia quantitzats en l'àtom, independent de l'espectroscòpia i en ple acord amb el model de Bohr.

Altres confirmacions

• L'experiment de Stern-Gerlach (1922) va revelar la quantització espacial del moment angular (espín) en desdoblar en dos un feix d'àtoms de plata.
• Els espectres de raigs X característics (llei de Moseley) van confirmar l'estructura de nivells interns.
• L'emissió estimulada predita per Einstein va fer possible el làser, i l'efecte túnel, la unió pn i la superconductivitat són manifestacions quàntiques tecnològicament centrals.

El conjunt d'aquestes evidències, acumulades en tot just tres dècades, va convertir la teoria quàntica en la descripció més precisa i contrastada de la naturalesa de què disposa la ciència.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE (Reial Decret 217/2022), els fonaments de la física quàntica s'aborden de forma qualitativa en tractar l'estructura atòmica en l'ESO —models atòmics, configuració electrònica, espectres com a empremta dels elements— i es reprenen amb major formalisme en 2n de Batxillerat dins de la física del segle XX (efecte fotoelèctric, dualitat, incertesa). És un contingut idoni per a desenvolupar la competència STEM i la comprensió de la naturalesa de la ciència (competència en consciència i expressió), mostrant com una crisi experimental força un canvi de paradigma.

Convé dissenyar situacions d'aprenentatge entorn de contextos reals —colors d'emissió de les làmpades, cèl·lules fotovoltaiques, codi de barres i làsers, anàlisi espectral en astronomia— que donen sentit físic a conceptes abstractes. Simulacions interactives (per exemple, les de tipus PhET) permeten "veure" l'efecte fotoelèctric o la difracció d'electrons.

Entre les idees prèvies i errors freqüents de l'alumnat destaquen: creure que la intensitat de la llum determina l'energia dels fotoelectrons (confusió entre nombre de fotons i energia per fotó); imaginar el fotó com una "boleta" clàssica en lloc d'un quant de camp; concebre les òrbites de Bohr com a trajectòries reals; o pensar que la quantització afecta també els objectes macroscòpics. El caràcter probabilista i la dualitat són conceptualment exigents: convé insistir que ni ona ni partícula clàssiques descriuen per si soles l'objecte quàntic, i evitar analogies que reforcen imatges deterministes.

Conclusió

La teoria quàntica va sorgir de la incapacitat de la física clàssica per a explicar la radiació del cos negre, l'efecte fotoelèctric, els espectres atòmics i la calor específica dels sòlids. L'arrel comuna d'aquests fracassos era suposar que l'energia varia de forma contínua; la hipòtesi de quantització de Planck, i la seua extensió per Einstein i Bohr, va restablir l'acord amb l'experiment. Fenòmens posteriors —l'efecte Compton, la difracció d'electrons que va confirmar la hipòtesi de De Broglie i l'experiment de Franck-Hertz— van corroborar de forma independent les seues prediccions i van consolidar la dualitat ona-corpuscle i l'existència de nivells discrets d'energia. Amb això va quedar fundada la física moderna, l'abast conceptual i tecnològic de la qual continua vigent i enllaça directament amb l'estudi de l'estructura atòmica, l'enllaç químic i la física nuclear que completen el bloc.