Tema 29

A finals del segle XIX la física clàssica —la mecànica newtoniana, l'electromagnetisme de Maxwell i la termodinàmica— constituïa un edifici d'una solidesa i un poder predictiu sorprenents. Molts científics consideraven que la descripció fonamental de la naturalesa estava pràcticament tancada. No obstant això, un conjunt de resultats experimentals i d'incoherències teòriques —les cèlebres "dos núvols" de què va parlar lord Kelvin el 1900— va esquerdar aquesta confiança i va donar lloc, en tot just tres dècades, a les dos grans revolucions de la física moderna: la teoria de la relativitat i la mecànica quàntica.

Aquest tema aborda la primera d'aquestes ruptures. S'estudien les limitacions que la física clàssica no va saber resoldre, la necessitat d'una nova mecànica relativista, els postulats amb què Einstein va reformular el problema el 1905 i algunes de les seues implicacions més revolucionàries, entre elles l'equivalència entre massa i energia. Ocupa un lloc de frontissa en el temari: tanca la física clàssica del moviment (bloc de mecànica) i obri la física del segle XX que es continua en els temes de física quàntica, atòmica i nuclear.

Limitacions de la física clàssica

Cap a 1900 la física reposava sobre tres pilars que semblaven definitius:

• La mecànica de Newton, que descrivia amb precisió el moviment dels cossos i del sistema solar.
• L'electromagnetisme de Maxwell, que unificava electricitat, magnetisme i òptica en un sol cos teòric.
• La termodinàmica i la teoria cinètica, que explicaven la calor i els processos macroscòpics.

Tanmateix, diversos fenòmens es resistien a aquest marc. Solen agrupar-se en dos grans blocs, segons cap a quina revolució van conduir.

El conflicte entre la mecànica i l'electromagnetisme

La mecànica newtoniana era compatible amb el principi de relativitat de Galileu: les lleis de la mecànica tenen la mateixa forma en tots els sistemes de referència inercials, relacionats entre si per les transformacions de Galileu. Per a dos sistemes $S$ i $S'$, amb $S'$ desplaçant-se a velocitat constant $v$ al llarg de l'eix $x$:

$$x' = x - v\,t, \qquad y' = y, \qquad z' = z, \qquad t' = t$$

D'aquestes es dedueix la llei clàssica de composició de velocitats, $u'_x = u_x - v$, i la invariància de l'acceleració, $a' = a$, que garanteix que $\vec{F} = m\vec{a}$ tinga forma idèntica en tots els sistemes inercials.

El problema va sorgir amb l'electromagnetisme. Les equacions de Maxwell prediuen que les ones electromagnètiques es propaguen en el buit amb una velocitat

$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\,\varepsilon_0}} \approx 3\times 10^{8}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

Aquesta velocitat apareix com una constant universal, sense referència a cap sistema. Però si s'apliquessen les transformacions de Galileu, la llum hauria de mesurar-se a $c \pm v$ segons l'observador, i les equacions de Maxwell canviarien de forma en passar d'un sistema inercial a un altre. Hi havia, per tant, una incompatibilitat de fons: o bé el principi de relativitat no valia per a l'electromagnetisme, o bé les transformacions de Galileu eren incorrectes.

L'èter i l'experiment de Michelson-Morley

La física del XIX va suposar que, com tota ona coneguda necessitava un medi, la llum es propagava en un medi hipotètic que omplia tot l'espai: l'èter luminífer. La velocitat $c$ seria la velocitat respecte a l'èter, i la Terra, en moure's per ell, hauria d'experimentar un "vent d'èter" detectable.

El 1887, Michelson i Morley van dissenyar un interferòmetre d'enorme sensibilitat per a mesurar la diferència de velocitat de la llum segons la direcció del moviment terrestre (uns $30\ \mathrm{km\,s^{-1}}$ en la seua òrbita). El resultat va ser nul: no es va observar cap desplaçament apreciable de les franges d'interferència. La velocitat de la llum semblava la mateixa en totes direccions, contra tota expectativa clàssica. Aquest resultat es va convertir en el primer dels "núvols" de Kelvin i en el desafiament experimental que la relativitat especial resoldria.

L'altre núvol: els indicis de la física quàntica

Simultàniament, altres fenòmens escapaven a la física clàssica i anunciaven la segona revolució (desenvolupada en temes posteriors):

• La radiació del cos negre, la distribució espectral de la qual la física clàssica (llei de Rayleigh-Jeans) no podia explicar sense caure en la "catàstrofe ultraviolada"; Planck la va resoldre el 1900 introduint la quantització de l'energia, $E = h\,\nu$.
• L'efecte fotoelèctric, explicat per Einstein el 1905 mitjançant els quants de llum.
• L'estabilitat i els espectres discrets dels àtoms, incompatibles amb el model de l'electró orbitant segons l'electrodinàmica clàssica.

Convé distingir ambdós fronts: el conflicte amb l'electromagnetisme i l'èter va conduir a la relativitat, objecte d'aquest tema; els fenòmens quàntics van conduir a la mecànica quàntica.

Mecànica relativista

Es denomina mecànica relativista la reformulació de la mecànica que resulta d'exigir que les lleis físiques siguen compatibles amb l'electromagnetisme i amb la constància de la velocitat de la llum. La mecànica newtoniana no desapareix: queda com el límit de baixes velocitats ($v \ll c$) d'una teoria més general.

Els intents previs a Einstein

Abans de 1905, diversos físics van tractar de salvar la teoria de l'èter compatibilitzant les seues prediccions amb el resultat nul de Michelson-Morley:

• FitzGerald i Lorentz van proposar que els cossos es contrauen en la direcció del moviment respecte a l'èter en un factor $\sqrt{1 - v^2/c^2}$, just el que cal per a emmascarar el vent d'èter.
• Lorentz va formular a més un conjunt d'equacions de transformació entre sistemes —les transformacions de Lorentz— que deixaven invariants les equacions de Maxwell, encara que les interpretava com un artifici matemàtic lligat a l'èter.
• Poincaré va intuir el principi de relativitat i la impossibilitat de detectar el moviment absolut.

Aquests intents eren correctes en la seua forma matemàtica però conservaven l'èter i un temps absolut. Faltava una reinterpretació física profunda, que arribaria amb Einstein.

Les transformacions de Lorentz

Les transformacions que relacionen les coordenades d'un succés entre dos sistemes inercials, quan $S'$ es mou amb velocitat $v$ respecte a $S$ segons l'eix $x$, són:

$$x' = \gamma\,(x - v\,t), \qquad y' = y, \qquad z' = z, \qquad t' = \gamma\left(t - \frac{v\,x}{c^2}\right)$$

on el factor de Lorentz és

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}, \qquad \beta = \frac{v}{c}$$

El tret essencial —i revolucionari— és que el temps també es transforma i depèn de la posició: s'abandona el temps absolut de Newton. Per a $v \ll c$ es té $\gamma \to 1$ i les transformacions de Lorentz es redueixen a les de Galileu, la qual cosa garanteix que la mecànica clàssica continue sent vàlida en el món quotidià. La constant $c$ actua com una velocitat límit insuperable, ja que $\gamma$ es fa infinit quan $v \to c$.

Postulats de la relativitat especial

En el seu article de 1905 Sobre l'electrodinàmica dels cossos en moviment, Albert Einstein va resoldre el problema d'una manera radical: en lloc de defensar l'èter, el va eliminar i va elevar a principis dos fets experimentals. La teoria de la relativitat especial (o restringida, per limitar-se a sistemes inercials) descansa sobre dos postulats:

1. Principi de relativitat. Les lleis de la física tenen la mateixa forma en tots els sistemes de referència inercials. No existeix cap sistema privilegiat ni cap forma de detectar el moviment uniforme absolut. El principi de Galileu s'estén així a tota la física, inclòs l'electromagnetisme.

2. Constància de la velocitat de la llum. La velocitat de la llum en el buit, $c$, té el mateix valor en tots els sistemes inercials, amb independència del moviment de la font i de l'observador.

El segon postulat explica de seguida el resultat nul de Michelson-Morley i fa innecessari l'èter. Però té un preu conceptual enorme: si $c$ és la mateixa per a tots, l'espai i el temps no poden ser absoluts. De l'exigència de coherència entre ambdós postulats es dedueixen —sense necessitat de l'èter— les transformacions de Lorentz.

La relativitat de la simultaneïtat

La primera conseqüència, i la més contraintuïtiva, és que la simultaneïtat és relativa: dos successos que ocorren alhora per a un observador poden no ser simultanis per a un altre que es moga respecte al primer. El mateix concepte d'"ara" comú a tot l'univers, que Newton donava per suposat, deixa de tindre sentit físic. El temps passa a formar, junt amb l'espai, una entitat única. Va ser Hermann Minkowski qui, el 1908, va formular geomètricament la teoria en un espai-temps de quatre dimensions, en què la magnitud invariant per a tots els observadors és l'interval:

$$(\Delta s)^2 = (c\,\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2$$

Algunes implicacions de la física relativista

Dels dos postulats es segueixen conseqüències que desafien el sentit comú però que estan hui sobradament confirmades per l'experiència.

Dilatació del temps

Un rellotge en moviment respecte a un observador marca el temps més a poc a poc. Si $\Delta t_0$ és el temps propi —el mesurat en el sistema on els dos successos ocorren en el mateix lloc—, el temps mesurat en un sistema en què eixe rellotge es mou amb velocitat $v$ és major:

$$\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

Els rellotges en moviment "endarrereixen". L'efecte només és apreciable a velocitats pròximes a $c$.

Contracció de la longitud

Correlativament, la longitud d'un objecte mesurada en la direcció del seu moviment resulta menor que la seua longitud pròpia $L_0$ (la mesurada en el seu sistema de repòs):

$$L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0\,\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

La dilatació del temps i la contracció de longituds són dues cares del mateix fenomen i expliquen, per exemple, l'observació dels muons atmosfèrics.

Composició relativista de velocitats

La llei d'addició de velocitats es modifica de manera que cap combinació pot superar $c$. Si un objecte es mou a velocitat $u'$ respecte a $S'$, la seua velocitat respecte a $S$ és:

$$u = \frac{u' + v}{1 + \dfrac{u'\,v}{c^2}}$$

Si $u' = c$, s'obté $u = c$ siga quin siga $v$, en coherència amb el segon postulat. Per a velocitats xicotetes, el terme $u'v/c^2$ és menyspreable i es recupera la suma galileana $u = u' + v$.

Moment i energia relativistes

Perquè la conservació del moment es mantinga en tots els sistemes inercials, la definició newtoniana $\vec{p} = m\vec{v}$ ha de generalitzar-se. El moment lineal relativista d'una partícula de massa (en repòs) $m$ és:

$$\vec{p} = \gamma\,m\,\vec{v} = \frac{m\,\vec{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

L'energia total de la partícula resulta ser

$$E = \gamma\,m\,c^2$$

Quan la partícula està en repòs ($v = 0$, $\gamma = 1$), conserva una energia

$$E_0 = m\,c^2$$

la cèlebre energia en repòs. L'energia cinètica relativista és la diferència entre ambdues:

$$K = (\gamma - 1)\,m\,c^2$$

que en el límit $v \ll c$ es redueix, mitjançant desenvolupament en sèrie, a l'expressió clàssica $K \approx \tfrac{1}{2}\,m\,v^2$. Moment i energia es relacionen per la important equació

$$E^2 = (p\,c)^2 + (m\,c^2)^2$$

que, per a partícules sense massa com el fotó ($m = 0$), dóna $E = p\,c$.

Equivalència massa-energia

La relació $E_0 = m c^2$ expressa que massa i energia són manifestacions d'una mateixa magnitud: la massa és una forma concentrada d'energia i pot convertir-se en altres formes, i viceversa. Com que $c^2$ és enorme, una massa minúscula equival a una energia colossal. Aquesta equivalència és la base de:

• El defecte de massa i l'energia d'enllaç dels nuclis.
• L'energia alliberada en la fissió i la fusió nuclears, i en el Sol.
• Els processos de creació i aniquilació de parells partícula-antipartícula.

Confirmacions experimentals

La relativitat especial és una de les teories millor comprovades de la física:

• Muons atmosfèrics. Es produeixen a gran altura i la seua vida mitjana és tan curta que, clàssicament, no haurien d'arribar al sòl; tanmateix es detecten en abundància gràcies a la dilatació del temps (o, en el seu sistema, a la contracció de la distància).
• Acceleradors de partícules. El comportament d'electrons i protons a velocitats pròximes a $c$ només es descriu amb la dinàmica relativista; l'energia necessària creix sense límit en acostar-se a $c$.
• Reaccions nuclears. El balanç energètic concorda amb precisió amb $E = m c^2$ a partir del defecte de massa.
• Sistema GPS. La sincronització dels rellotges dels satèl·lits requereix correccions relativistes (de relativitat especial per la seua velocitat i de relativitat general per la gravetat) sense les quals el posicionament acumularia errors de quilòmetres al dia.

Cal assenyalar que la relativitat especial es restringeix a sistemes inercials. Einstein la va generalitzar el 1915 amb la relativitat general, que incorpora la gravitació reinterpretant-la com una curvatura de l'espai-temps, i de la qual la relativitat especial és el cas local sense gravetat.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE (Reial Decret 217/2022), la física moderna s'introdueix de forma qualitativa en l'ESO i s'aborda amb major profunditat en 2n de Batxillerat, on la relativitat especial forma part del bloc de física del segle XX de la matèria de Física. És un contingut idoni per a mostrar la naturalesa de la ciència: com un resultat experimental inesperat (Michelson-Morley) i una incoherència teòrica obliguen a revisar conceptes tan bàsics com l'espai i el temps, il·lustrant el caràcter provisional i autocorrectiu del coneixement científic.

El tema contribueix de ple a la competència STEM i a la competència en comunicació, i es presta a situacions d'aprenentatge basades en experiments mentals (Gedankenexperiment), en l'anàlisi de dades de muons o en l'estudi del funcionament del GPS com a aplicació tecnològica quotidiana d'una teoria "abstracta".

Convé anticipar les idees prèvies i errors freqüents:

• Creure que la dilatació del temps o la contracció de longituds són "il·lusions" o efectes de la percepció, i no propietats reals de l'espai-temps.
• Interpretar $E = m c^2$ com si tota la massa es transformara sempre en energia, quan en les reaccions nuclears només ho fa una fracció molt xicoteta (el defecte de massa).
• Pensar que la relativitat "contradiu" Newton, en lloc de contindre-la com a cas límit per a $v \ll c$ (principi de correspondència).
• Confondre la relativitat especial (velocitats) amb la general (gravetat), o associar "relativitat" amb "tot és relatiu", quan la teoria es basa precisament en magnituds invariants ($c$, l'interval espaciotemporal).

L'ús de simulacions interactives, de gràfiques del factor $\gamma$ enfront de $v/c$ i de la discussió històrica del problema de l'èter resulta especialment eficaç per a fer accessible un contingut tan allunyat de la intuïció quotidiana.

Conclusió

La física clàssica, malgrat el seu èxit, no va poder conciliar la mecànica de Newton amb l'electromagnetisme de Maxwell ni explicar el resultat nul de l'experiment de Michelson-Morley. La resposta d'Einstein el 1905 no va consistir a corregir un detall, sinó a refundar els conceptes d'espai i temps a partir de dos postulats d'una simplicitat sorprenent: la relativitat de les lleis físiques i la constància de la velocitat de la llum. D'ells se segueixen les transformacions de Lorentz i conseqüències com la dilatació del temps, la contracció de les longituds, la composició relativista de velocitats i la nova dinàmica, que culmina en l'equivalència entre massa i energia, $E = m c^2$. La mecànica clàssica queda així reconeguda com un cas límit vàlid a baixes velocitats. Aquest canvi de paradigma, junt amb la mecànica quàntica, defineix la frontera entre la física clàssica i la física moderna, i prepara l'estudi de la física atòmica i nuclear dels temes següents.