Tema 22

L'electromagnetisme assoleix la seua forma definitiva quan deixem d'estudiar per separat els camps elèctrics i magnètics estàtics i considerem què succeeix quan depenen del temps. Llavors ambdós camps deixen de ser independents: una variació temporal d'un genera l'altre. Aquesta interconnexió, sintetitzada en les quatre lleis de Maxwell, unifica l'electricitat, el magnetisme i l'òptica, i constitueix un dels majors èxits de la física clàssica. Aquest tema, situat en el bloc d'electromagnetisme del temari, tanca el recorregut que va de l'electrostàtica i la magnetostàtica cap als camps variables i prepara l'estudi posterior de les ones electromagnètiques.

Històricament, el treball experimental de Faraday i Henry sobre la inducció (cap a 1831) i la genialitat teòrica de Maxwell (1865), que va introduir el corrent de desplaçament i va predir les ones electromagnètiques, van confluir en la confirmació experimental de Hertz (1888). El tema té a més una enorme rellevància tecnològica: generadors, transformadors, motors, bobines i tota la transmissió d'energia i d'informació es fonamenten en els fenòmens ací descrits.

1. Camps elèctrics i magnètics dependents del temps

En l'electrostàtica, les càrregues en repòs creen un camp elèctric $\vec{E}$ constant en el temps, que és conservatiu: la seua circulació al llarg de qualsevol corba tancada és nul·la,

$$\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{l} = 0,$$

la qual cosa permet definir un potencial elèctric. En la magnetostàtica, els corrents estacionaris creen un camp magnètic $\vec{B}$ constant que compleix la llei d'Ampère, $\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I$. Mentre els camps no canvien amb el temps, electricitat i magnetisme poden tractar-se com a capítols separats.

La situació canvia radicalment quan els camps depenen del temps. Dos fets experimentals ho posen de manifest:

• Un camp magnètic variable $\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ genera un camp elèctric no conservatiu, la circulació del qual ja no és nul·la. Aquest és el contingut de la inducció electromagnètica descoberta per Faraday.
• Un camp elèctric variable $\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ genera un camp magnètic, de la mateixa manera que ho fa un corrent elèctric. Aquesta és la aportació teòrica de Maxwell (el corrent de desplaçament).

Apareix així un acoblament simètric entre ambdós camps: cadascun actua com a font de l'altre quan varia en el temps. La conseqüència més profunda és que una pertorbació electromagnètica pot autosostenir-se i propagar-se per l'espai sense necessitat de càrregues ni corrents: són les ones electromagnètiques. El camp elèctric i el magnètic deixen de ser ens independents per a convertir-se en dues manifestacions d'una única entitat, el camp electromagnètic.

2. Lleis de Maxwell

Maxwell va reunir i completar les lleis de l'electromagnetisme en un conjunt de quatre equacions que descriuen íntegrament el comportament de $\vec{E}$ i $\vec{B}$ i les seues fonts. Es presenten ací en forma integral (més accessible) junt a la seua forma diferencial equivalent, per al buit.

Llei de Gauss per al camp elèctric

El flux del camp elèctric a través d'una superfície tancada és proporcional a la càrrega neta tancada. Les càrregues són les fonts escalars del camp elèctric:

$$\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}, \qquad \nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.$$

Llei de Gauss per al camp magnètic

El flux magnètic a través de qualsevol superfície tancada és sempre nul. No existeixen monopols magnètics: les línies de $\vec{B}$ són tancades.

$$\oint_S \vec{B}\cdot d\vec{S} = 0, \qquad \nabla\cdot\vec{B} = 0.$$

Llei de Faraday-Lenz

Un flux magnètic variable indueix un camp elèctric de circulació no nul·la (una força electromotriu). El signe negatiu expressa la llei de Lenz:

$$\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}, \qquad \nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.$$

Llei d'Ampère-Maxwell

El camp magnètic el generen tant els corrents de conducció $I$ com els camps elèctrics variables. Maxwell va afegir a la llei d'Ampère el terme del corrent de desplaçament:

$$\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I + \mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}, \qquad \nabla\times\vec{B} = \mu_0\vec{J} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.$$

El corrent de desplaçament $I_d = \varepsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt}$ va ser la gran aportació de Maxwell. Sense ell, la llei d'Ampère resulta contradictòria en situacions com el condensador que es carrega: entre les seues plaques no hi ha corrent de conducció, però sí un camp elèctric creixent que ha de generar el mateix camp magnètic que el corrent que arriba pel fil. Aquest terme, a més, garanteix la conservació de la càrrega elèctrica.

Conseqüència: les ones electromagnètiques

Combinant les equacions de Faraday i d'Ampère-Maxwell en el buit (sense càrregues ni corrents) s'obté una equació d'ones per a cada camp. Per exemple, per al camp elèctric:

$$\nabla^2\vec{E} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}.$$

D'ella es dedueix que les pertorbacions electromagnètiques es propaguen amb una velocitat

$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \approx 3\times 10^{8}\ \mathrm{m\,s^{-1}},$$

que coincideix amb la velocitat mesurada de la llum. Maxwell va concloure així que la llum és una ona electromagnètica, unificant òptica i electromagnetisme. Hertz ho va confirmar experimentalment generant i detectant ones de ràdio.

3. Inducció electromagnètica

La inducció electromagnètica és la generació d'una força electromotriu (fem) i, si el circuit està tancat, d'un corrent induït, com a conseqüència de la variació del flux magnètic que travessa un circuit. Va ser descoberta de forma independent per Faraday i Henry el 1831.

Flux magnètic

El flux magnètic a través d'una superfície $S$ mesura el nombre de línies de camp que la travessen:

$$\Phi_B = \int_S \vec{B}\cdot d\vec{S} = B\,S\cos\theta,$$

on $\theta$ és l'angle entre $\vec{B}$ i el vector superfície. La seua unitat en el SI és el weber ($1\ \mathrm{Wb} = 1\ \mathrm{T\cdot m^2}$).

Llei de Faraday

La fem induïda en un circuit és igual a la variació temporal del flux magnètic canviada de signe. Per a una bobina de $N$ espires:

$$\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt}, \qquad \varepsilon = -N\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

El flux pot variar per tres motius, que s'aprecien en $\Phi_B = BS\cos\theta$: un canvi en la intensitat del camp $B$, un canvi en l'àrea $S$ del circuit, o un canvi en l'orientació (angle $\theta$). Aquest últim és el fonament del generador de corrent altern: una espira que gira amb velocitat angular $\omega$ en un camp uniforme té $\theta = \omega t$, de manera que

$$\varepsilon = N B S\,\omega\,\sin(\omega t),$$

una fem sinusoïdal d'amplitud $\varepsilon_0 = N B S\,\omega$.

Llei de Lenz

El signe negatiu de la llei de Faraday expressa la llei de Lenz: el corrent induït circula en el sentit que s'oposa a la variació del flux que el produeix. És una manifestació de la conservació de l'energia: si el corrent reforçara la causa que l'origina, obtindríem energia del no-res. Per això, per a generar corrent cal realitzar un treball mecànic contra les forces magnètiques.

Fem de moviment

Quan una barra conductora de longitud $l$ es mou amb velocitat $v$ perpendicular a un camp $\vec{B}$, les càrregues lliures experimenten la força de Lorentz i es separen, apareixent una fem de moviment:

$$\varepsilon = B\,l\,v.$$

Aquesta expressió, deduïble tant de la força de Lorentz com de la llei de Faraday (l'àrea escombrada creix amb el temps), il·lustra la coherència interna de la teoria. Constitueix el principi de l'alternador i de la dinamo.

4. Inducció mútua

Quan dos circuits estan pròxims, el corrent que circula per un crea un camp magnètic el flux del qual travessa l'altre. Si aqueix corrent varia, indueix en el segon circuit una fem: és la inducció mútua.

Siga un circuit 1 recorregut per un corrent $I_1$. El flux que crea a través del circuit 2 és proporcional a aqueix corrent:

$$\Phi_{21} = M\,I_1,$$

on $M$ és el coeficient d'inducció mútua, que depèn únicament de la geometria d'ambdós circuits i de la seua posició relativa. La seua unitat en el SI és el henry ($1\ \mathrm{H} = 1\ \mathrm{Wb/A}$). Per la llei de Faraday, la fem induïda en el segon circuit és:

$$\varepsilon_2 = -M\frac{dI_1}{dt}.$$

Pot demostrar-se (teorema de reciprocitat) que el coeficient és simètric:

$$M_{12} = M_{21} = M.$$

L'aplicació tecnològica fonamental és el transformador, que consta de dues bobines (primari i secundari) acoblades mitjançant un nucli de ferro que canalitza el flux. En condicions ideals, la relació de tensions és igual a la relació d'espires:

$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1}.$$

El transformador només funciona amb corrent altern, precisament perquè requereix un flux variable, i és la clau del transport eficient d'energia elèctrica a gran distància en permetre elevar la tensió (i reduir el corrent i les pèrdues per efecte Joule).

5. Autoinducció

Un circuit no només indueix fem sobre altres: el seu propi corrent crea un flux a través de si mateix. Quan aqueix corrent varia, el circuit indueix una fem sobre si mateix que s'oposa al canvi. És l'autoinducció.

El flux propi és proporcional a la intensitat que circula:

$$\Phi = L\,I,$$

on $L$ és el coeficient d'autoinducció (o inductància), que depèn només de la geometria del circuit i del material. La seua unitat és també el henry. La fem autoinduïda és:

$$\varepsilon = -L\frac{dI}{dt}.$$

Com a conseqüència de la llei de Lenz, aquesta fem s'oposa a les variacions del corrent: dificulta tant que el corrent augmente (en connectar) com que disminuïsca (en desconnectar). Una bobina es comporta, per tant, com un element d' "inèrcia elèctrica".

Per a un solenoide llarg de $N$ espires, longitud $l$ i secció $A$, la inductància és:

$$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}.$$

Energia emmagatzemada en el camp magnètic

Establir un corrent en una bobina exigeix treball contra la fem autoinduïda. Aqueix treball queda emmagatzemat com a energia en el camp magnètic:

$$U = \frac{1}{2}L\,I^2.$$

Aquesta energia pot expressar-se en funció del propi camp mitjançant la densitat d' energia magnètica, vàlida amb generalitat:

$$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}.$$

El paral·lelisme amb el condensador ($U = \frac{1}{2}CV^2$, $u_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$) és notable: el camp elèctric i el magnètic emmagatzemen energia en l'espai. Les bobines s'empren en filtres, circuits de sintonia, fonts d'alimentació i sistemes d'encesa, i el fenomen de l'autoinducció explica les espurnes i sobretensions que apareixen en obrir bruscament circuits inductius.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE (Real Decreto 217/2022), els fenòmens d'electricitat i magnetisme s'introdueixen de forma qualitativa en l'ESO, mentre que el tractament quantitatiu de la inducció electromagnètica i una aproximació a les idees de Maxwell corresponen a la Física de 2n de Batxillerat, dins del bloc de camp electromagnètic. El tema connecta especialment bé amb la competència STEM i la competència digital, i permet plantejar situacions d' aprenentatge al voltant de la producció i el transport d'energia elèctrica, un context socialment rellevant lligat a la transició energètica.

Resulta molt eficaç recolzar-se en experiències senzilles i en simulacions (per exemple, les de PhET): moure un imant dins d'una bobina connectada a un galvanòmetre, observar el generador i el transformador, o analitzar el frenat per corrents de Foucault. La videoanàlisi i els sensors de dades permeten registrar la fem induïda en temps real.

Convé anticipar les idees prèvies i errors freqüents: creure que basta amb la presència d'un camp magnètic per a induir corrent (el determinant és la variació del flux, no el flux en si); confondre el sentit del corrent induït per no aplicar bé la llei de Lenz; pensar que un transformador pot funcionar amb corrent continu; o interpretar que l'energia "ix del no-res" en un generador, sense advertir el treball mecànic que exigeix la llei de Lenz. Emfatitzar que la inducció respon a un canvi i que Lenz és conservació de l' energia corregeix la majoria d'aquestes concepcions alternatives.

Conclusió

Quan els camps elèctric i magnètic depenen del temps deixen de ser independents i s'acoblen: un camp magnètic variable engendra camp elèctric (inducció de Faraday) i un camp elèctric variable engendra camp magnètic (corrent de desplaçament de Maxwell). Les quatre lleis de Maxwell condensen tota la teoria, prediuen l'existència d'ones electromagnètiques que es propaguen a la velocitat de la llum i integren l'òptica en l'electromagnetisme. La inducció electromagnètica, governada per les lleis de Faraday i de Lenz, i les seues manifestacions en la inducció mútua (transformador) i l'autoinducció (bobines i emmagatzematge d'energia magnètica) constitueixen el fonament de la tecnologia elèctrica moderna. Aquest bastiment conceptual tanca l'estudi de la electricitat i el magnetisme i obri la porta a l'anàlisi de les ones electromagnètiques i de la física del segle XX.