Tema 21

El camp magnètic és una de les manifestacions fonamentals de la interacció electromagnètica. Conegut des de l'antiguitat a través de la magnetita i de la brúixola, no va ser fins al segle XIX quan va quedar establerta la seua íntima relació amb l'electricitat. El 1820, Hans Christian Oersted va observar que un corrent elèctric desviava una agulla imantada, demostrant que els corrents generen camps magnètics; aqueix mateix any Ampère, Biot i Savart van quantificar el fenomen. La síntesi definitiva arribaria amb Maxwell, que va integrar electricitat i magnetisme en una única teoria de camps.

Aquest tema pertany al bloc d'electromagnetisme, un dels pilars de la física de 2n de Batxillerat i de la física clàssica en el seu conjunt. En ell es defineix la magnitud camp magnètic, s'analitza el seu caràcter no conservatiu —que el distingeix radicalment del camp electrostàtic—, s'estudia com es generen els camps magnètics i com actuen sobre les càrregues en moviment, i es tanca amb les seues nombroses aplicacions tecnològiques, des del motor elèctric fins a la ressonància magnètica.

1. Camp magnètic

Anomenem camp magnètic la pertorbació que una càrrega en moviment —o, de forma equivalent, un corrent elèctric o un imant— produeix en l'espai que la envolta, i que es manifesta com una força sobre altres càrregues en moviment. La magnitud que el descriu és el vector inducció magnètica $\vec{B}$ (també anomenat densitat de flux magnètic).

Definició operativa: la força magnètica

El camp magnètic es defineix a partir dels seus efectes. Experimentalment es comprova que sobre una càrrega $q$ que es mou amb velocitat $\vec{v}$ en el si d'un camp $\vec{B}$ actua una força donada per:

$$\vec{F} = q\,\vec{v} \times \vec{B}$$

D'aquesta expressió es dedueixen les propietats essencials de la força magnètica:

• El seu mòdul és $F = |q|\,v\,B\,\sin\varphi$, on $\varphi$ és l'angle entre $\vec{v}$ i $\vec{B}$. És màxima quan la càrrega es mou perpendicularment al camp i nul·la quan ho fa paral·lelament a ell.
• És perpendicular simultàniament a $\vec{v}$ i a $\vec{B}$ (producte vectorial). El seu sentit s'obté amb la regla de la mà dreta.
• Només actua sobre càrregues en moviment: una càrrega en repòs no experimenta força magnètica.

Unitat i ordre de magnitud

En el SI, la unitat de $\vec{B}$ és el tesla (T):

$$1\ \mathrm{T} = 1\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{A\cdot m}} = 1\ \mathrm{kg\,s^{-2}\,A^{-1}}$$

El tesla és una unitat gran: el camp magnètic terrestre val uns $5\times 10^{-5}\ \mathrm{T}$, un imant de nevera $10^{-2}\ \mathrm{T}$ i un equip de ressonància magnètica entre $1$ i $3\ \mathrm{T}$. Encara s'usa el gauss ($1\ \mathrm{T} = 10^4\ \mathrm{G}$).

Línies de camp i absència de monopols

El camp magnètic es representa mitjançant línies de camp tangents en cada punt a $\vec{B}$. A diferència de les línies de camp elèctric, que naixen en les càrregues positives i moren en les negatives, les línies de camp magnètic són sempre tancades: no existeixen "càrregues magnètiques" o monopols aïllats. Tot imant posseeix dos pols, nord i sud, inseparables: si es parteix un imant s'obtenen dos imants complets. Aquesta propietat té conseqüències formals profundes que veurem en l'epígraf següent.

2. Caràcter no conservatiu del camp magnètic

El camp electrostàtic és conservatiu: la circulació de $\vec{E}$ al llarg de qualsevol trajectòria tancada és nul·la, $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l} = 0$, la qual cosa permet definir un potencial escalar $V$ del qual deriva el camp. El camp magnètic no posseeix aquesta propietat, i això s'aprecia des de dos punts de vista complementaris.

La força magnètica no realitza treball

Com la força magnètica és sempre perpendicular a la velocitat, la potència que desenvolupa és nul·la:

$$P = \vec{F}\cdot\vec{v} = (q\,\vec{v}\times\vec{B})\cdot\vec{v} = 0$$

En conseqüència, la força magnètica no realitza treball sobre la càrrega i no modifica la seua energia cinètica: només canvia la direcció de la velocitat, no el seu mòdul. Aquest fet, que a vegades sorprèn l'alumnat, no significa que el camp siga conservatiu en el sentit habitual; significa que no pot associar-se a la força magnètica una energia potencial de la càrrega anàloga a l'electrostàtica.

Llei de Gauss per al magnetisme

La inexistència de monopols magnètics es tradueix que el flux del camp magnètic a través de qualsevol superfície tancada és nul:

$$\Phi_B = \oint_S \vec{B}\cdot d\vec{A} = 0$$

Tota línia de camp que entra en una superfície tancada torna a eixir. El camp magnètic és, per això, un camp solenoïdal (de divergència nul·la, $\nabla\cdot\vec{B}=0$). Aquesta és la segona de les equacions de Maxwell.

Llei d'Ampère: circulació no nul·la

El tret que expressa formalment el caràcter no conservatiu és la llei d' Ampère: la circulació del camp magnètic al llarg d'una corba tancada és proporcional al corrent total tancat per ella:

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0\, I_{\text{enc}}$$

on $\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{T\,m\,A^{-1}}$ és la permeabilitat magnètica del buit. Com aquesta circulació és distinta de zero quan la corba envolta corrents, no pot definir-se un potencial escalar magnètic universal, i el camp té caràcter rotacional ($\nabla\times\vec{B} = \mu_0\vec{J}$ en el cas estacionari). En resum: el camp electrostàtic és irrotacional i conservatiu; el magnètic és solenoïdal i no conservatiu.

3. Generació de camps magnètics i efectes sobre càrregues en moviment

3.1. Generació de camps magnètics

Tota càrrega en moviment genera un camp magnètic. Per a una distribució de corrents estacionaris, el camp es calcula amb la llei de Biot i Savart, que dona la contribució $d\vec{B}$ d'un element de corrent $I\,d\vec{l}$:

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec{l}\times\hat{u}_r}{r^2}$$

on $\hat{u}_r$ és el vector unitari des de l'element de corrent al punt de càlcul i $r$ la distància. Integrant sobre tot el corrent s'obté el camp en configuracions d'interès:

• Fil recte indefinit: les línies de camp són circumferències concèntriques al fil, i el mòdul a una distància $r$ val

$$B = \frac{\mu_0\, I}{2\pi\, r}$$

• Espira circular, en el seu centre (radi $R$):

$$B = \frac{\mu_0\, I}{2R}$$

• Solenoide ideal (bobina llarga amb $n = N/L$ voltes per unitat de longitud), en el seu interior el camp és pràcticament uniforme:

$$B = \mu_0\, n\, I$$

En medis materials se substitueix $\mu_0$ per $\mu = \mu_0\mu_r$; en materials ferromagnètics (ferro, cobalt, níquel) $\mu_r$ arriba a valors de milers, la qual cosa multiplica el camp i explica els nuclis de ferro d'electroimants i transformadors. Els imants permanents s'expliquen per l'alineació microscòpica de moments magnètics atòmics (espín i corrents electrònics).

3.2. Efectes sobre càrregues i corrents

Força de Lorentz. Quan a més existeix camp elèctric, la força total sobre una càrrega és la força de Lorentz, síntesi d'ambdues interaccions:

$$\vec{F} = q\,(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B})$$

Moviment d'una càrrega en un camp uniforme. Si una càrrega entra amb velocitat perpendicular a un camp $\vec{B}$ uniforme, la força magnètica actua com a força centrípeta i la trajectòria és una circumferència. Igualant la força magnètica a la centrípeta, $|q|vB = mv^2/r$, s'obté el radi i la freqüència (de ciclotró):

$$r = \frac{m\,v}{|q|\,B}, \qquad \omega = \frac{|q|\,B}{m}, \qquad f = \frac{|q|\,B}{2\pi\, m}$$

És notable que la freqüència no depèn de la velocitat, propietat clau del ciclotró. Si la velocitat té a més una component paral·lela a $\vec{B}$, la trajectòria és una hèlix.

Força sobre un conductor amb corrent. Com un corrent és un conjunt de càrregues en moviment, un conductor de longitud $\vec{l}$ recorregut per un corrent $I$ dins d'un camp $\vec{B}$ experimenta la força (llei de Laplace):

$$\vec{F} = I\,\vec{l}\times\vec{B}, \qquad F = B\,I\,l\,\sin\varphi$$

Força entre dos conductors paral·lels. Dos fils paral·lels separats una distància $d$ i recorreguts per corrents $I_1$ i $I_2$ s'exerceixen una força per unitat de longitud (atractiva si els corrents són del mateix sentit, repulsiva en cas contrari):

$$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0\, I_1\, I_2}{2\pi\, d}$$

Aquesta relació va servir durant dècades com a definició de l'ampere en el SI.

Moment sobre una espira. Una espira d'àrea $A$ amb $N$ voltes i corrent $I$ posseeix un moment magnètic $\vec{m}$ de mòdul $m = N\,I\,A$, perpendicular al seu pla. En un camp uniforme l'espira no sent força neta però sí un parell que tendeix a alinear-la amb el camp:

$$\vec{\tau} = \vec{m}\times\vec{B}, \qquad \tau = N\,I\,A\,B\,\sin\theta$$

Aquest parell és el principi físic del motor elèctric i dels instruments d'agulla.

4. Aplicació a dispositius tecnològics

Les lleis anteriors sustenten una enorme varietat de dispositius:

• Motor elèctric de corrent continu. El parell sobre una espira recorreguda per corrent en un camp magnètic produeix rotació; el col·lector (commutador) inverteix el corrent cada mitja volta per a mantenir el gir. És l'aplicació directa de $\vec{\tau}=\vec{m}\times\vec{B}$.
• Galvanòmetre i aparells de mesura analògics. Una bobina mòbil gira en el camp d'un imant un angle proporcional al corrent, permetent mesurar-lo.
• Espectròmetre de masses. Ions accelerats es corben en un camp magnètic amb radi $r = mv/(qB)$: partícules de distinta relació massa/càrrega descriuen radis diferents i se separen, la qual cosa permet determinar masses atòmiques i isòtops.
• Ciclotró i acceleradors de partícules. Aprofiten que la freqüència de gir és independent de la velocitat per a accelerar partícules fins a altes energies.
• Tubs de raigs catòdics i deflexió de feixos. Camps magnètics guien feixos d'electrons (antics televisors, microscopis electrònics).
• Sensors d'efecte Hall. La força magnètica separa càrregues en un conductor i genera una tensió transversal proporcional a $B$, base de sensors de posició i de corrent.
• Levitació magnètica (Maglev). Trens que floten i es propulsen mitjançant camps magnètics, eliminant el fregament amb les vies.
• Ressonància magnètica nuclear (RMN/IRM). Camps intensos (1–3 T) alineen els espins nuclears i permeten obtenir imatges mèdiques de l'interior del cos sense radiació ionitzant.
• Altaveus. La força sobre una bobina mòbil recorreguda pel senyal elèctric fa vibrar una membrana i genera so.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE (Real Decreto 217/2022), els fenòmens magnètics s' introdueixen de forma qualitativa en l'ESO —imants, brúixola, relació entre electricitat i magnetisme— i es formalitzen quantitativament en la matèria de Física de 2n de Batxillerat, dins del bloc d'interacció electromagnètica, on s'estudien la força de Lorentz, la llei d'Ampère i les aplicacions tecnològiques. És un contingut idoni per a desenvolupar la competència STEM i la competència digital mitjançant simulacions (PhET), i per a plantejar situacions d'aprenentatge contextualitzades (el motor elèctric, la brúixola, la IRM en medicina) que connecten la física amb la tecnologia i la salut.

Convé anticipar les idees prèvies i errors freqüents més habituals:

• Confondre camp elèctric i camp magnètic, o creure que el camp magnètic actua sobre càrregues en repòs.
• Pensar que la força magnètica realitza treball i accelera la càrrega en el sentit d'augmentar la seua rapidesa (només corba la trajectòria).
• Errors amb el caràcter vectorial i la regla de la mà dreta: situar la força en la direcció del camp o de la velocitat en lloc de perpendicular a ambdós.
• Creure que existeixen monopols magnètics o que un pol pot aïllar-se partint un imant.

El treball experimental —experiència d'Oersted amb una brúixola i un fil, línies de camp amb llimadura de ferro, construcció d'un motor senzill— i l'ús de simulacions són especialment eficaços per a consolidar aquests conceptes i corregir les concepcions alternatives.

Conclusió

El camp magnètic $\vec{B}$ descriu la interacció que les càrregues en moviment exerceixen sobre altres càrregues en moviment. El seu tret distintiu enfront del camp electrostàtic és el seu caràcter no conservatiu, expressat en l'absència de monopols (flux nul a través de superfícies tancades), en què la força magnètica no realitza treball, i en què la seua circulació no és nul·la (llei d'Ampère). Els camps magnètics es generen mitjançant corrents —quantificades per Biot-Savart i Ampère— i actuen sobre les càrregues a través de la força de Lorentz, donant lloc a trajectòries circulars o helicoïdals i a forces i parells sobre els conductors. Sobre aquests principis es fonamenta bona part de la tecnologia contemporània, del motor elèctric a la imatge mèdica, la qual cosa converteix aquest tema en un pont essencial entre la física fonamental, la inducció electromagnètica (tema següent) i la síntesi de Maxwell.