Tema 19

L'electrostàtica estudia les càrregues elèctriques en repòs i les interaccions entre elles. És la porta d'entrada a l'electromagnetisme, un dels grans pilars de la física, i la seua comprensió resulta indispensable per a abordar després el corrent elèctric, el magnetisme i les ones electromagnètiques. Aquest tema parteix del fet que la matèria té una naturalesa elèctrica a escala atòmica, introdueix les lleis que governen la interacció entre càrregues, formalitza dues propietats fonamentals de la càrrega —la seua discontinuïtat (quantització) i la seua conservació—, demostra el caràcter conservatiu del camp electrostàtic i culmina amb l'estudi energètic de la interacció, introduint l'energia potencial i el potencial elèctric.

Els fenòmens elèctrics es coneixen des de l'Antiguitat —Tales de Milet va descriure l'atracció de l'ambre fregat, del qual deriva la paraula electró—, però la seua formulació quantitativa és obra del segle XVIII: Franklin va proposar el model d'un únic fluid elèctric i el conveni de signes, i Coulomb va mesurar amb la seua balança de torsió la llei de la força. En el segle XX, Millikan va determinar el valor de la càrrega elemental, confirmant el seu caràcter discret.

1. Naturalesa elèctrica de la matèria

La matèria està constituïda per àtoms, i aquests per partícules amb càrrega elèctrica: protons (càrrega positiva) i neutrons (sense càrrega) en el nucli, i electrons (càrrega negativa) en l'escorça. La càrrega elèctrica és una propietat intrínseca de la matèria, tan fonamental com la massa, que es manifesta en l'existència de forces d'atracció i repulsió.

Experimentalment es comprova que existeixen dues classes de càrrega, denominades convencionalment positiva i negativa segons el criteri de Franklin. La llei qualitativa bàsica és que càrregues del mateix signe es repel·leixen i càrregues de signe oposat s'atrauen. Un cos és elèctricament neutre quan conté el mateix nombre de protons que d'electrons; es carrega positivament si perd electrons i negativament si en guanya. En la pràctica, és la mobilitat dels electrons —i no la dels protons, lligats al nucli— la responsable de gairebé tots els fenòmens d'electrització.

Segons el seu comportament davant del moviment de càrregues, els materials es classifiquen en conductors (amb electrons lliures, com els metalls), aïllants o dielèctrics (sense càrregues mòbils apreciables) i semiconductors (de comportament intermedi). Els cossos poden electritzar-se per tres mecanismes: fregament (transferència d'electrons per contacte i separació), contacte (repartiment de càrrega entre cossos que es toquen) i inducció (redistribució de càrrega per la proximitat d'un altre cos carregat, sense contacte). L'electroscopi és l'instrument clàssic per a detectar la presència i el signe de la càrrega.

2. Electrostàtica

L'objecte central de l'electrostàtica és la interacció entre càrregues en repòs, descrita quantitativament per la llei de Coulomb. Charles-Augustin de Coulomb va establir el 1785, amb ajuda d'una balança de torsió, que la força entre dues càrregues puntuals $q_1$ i $q_2$ separades una distància $r$ és proporcional al producte de les càrregues i inversament proporcional al quadrat de la distància, i està dirigida segons la recta que les uneix:

$$\vec{F} = k\,\frac{q_1\,q_2}{r^2}\,\vec{u}_r$$

on $\vec{u}_r$ és el vector unitari que va de la càrrega que exerceix la força a la que la rep. La constant en el buit val $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9{,}0\times10^{9}\ \mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$, sent $\varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\ \mathrm{C^2\,N^{-1}\,m^{-2}}$ la permitivitat elèctrica del buit. La unitat de càrrega en el SI és el coulomb ($\mathrm{C}$). En un medi material la constant es redueix pel factor de permitivitat relativa $\varepsilon_r$ del medi.

La llei de Coulomb és formalment anàloga a la llei de gravitació de Newton, però amb diferències essencials: la força elèctrica pot ser atractiva o repulsiva, mentre que la gravitatòria és sempre atractiva, i és enormement més intensa (la repulsió elèctrica entre dos protons supera en uns $10^{36}$ vegades la seua atracció gravitatòria). Quan actuen diverses càrregues, la força sobre una d'elles és la suma vectorial de les forces individuals, segons el principi de superposició.

El camp elèctric

Per a evitar la idea d'acció a distància, Faraday va introduir el concepte de camp elèctric: tota càrrega modifica l'espai al seu voltant creant una pertorbació que una altra càrrega "sent" localment. El camp elèctric en un punt es defineix com la força per unitat de càrrega que experimentaria una càrrega de prova positiva $q_0$ situada en ell:

$$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$$

La seua unitat és el newton per coulomb ($\mathrm{N\,C^{-1}}$), equivalent al volt per metre ($\mathrm{V\,m^{-1}}$). El camp creat per una càrrega puntual $Q$ a una distància $r$ és:

$$\vec{E} = k\,\frac{Q}{r^2}\,\vec{u}_r$$

El camp es visualitza mitjançant línies de camp, tangents en cada punt al vector $\vec{E}$, que ixen de les càrregues positives i entren en les negatives. La seua densitat indica la intensitat del camp. Una eina molt potent per a calcular camps amb simetria és la llei de Gauss, que relaciona el flux del camp a través d'una superfície tancada amb la càrrega tancada:

$$\Phi_E = \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$$

D'ella es dedueix, per exemple, que el camp en l'interior d'un conductor en equilibri electrostàtic és nul i que tot l'excés de càrrega es distribueix en la seua superfície.

3. Discontinuïtat i conservació de la càrrega

La càrrega elèctrica posseeix dues propietats fonamentals que la caracteritzen com a magnitud física: és discontínua (està quantitzada) i es conserva.

Discontinuïtat: quantització de la càrrega

La càrrega no adopta qualsevol valor, sinó que apareix sempre com un múltiple enter d'una quantitat mínima o càrrega elemental $e$:

$$q = n\,e, \qquad n \in \mathbb{Z}$$

El valor de la càrrega elemental és $e = 1{,}602\times10^{-19}\ \mathrm{C}$. L'electró té càrrega $-e$ i el protó $+e$. Aquesta discontinuïtat va ser confirmada experimentalment per Robert Millikan en el seu cèlebre experiment de la gota d'oli (1909): polvoritzant gotes minúscules carregades entre les plaques d'un condensador, i equilibrant el seu pes amb la força elèctrica, va mesurar càrregues que sempre resultaven múltiples enters d'un mateix valor. En l'equilibri d'una gota de massa $m$ i càrrega $q$ en un camp $E$:

$$q\,E = m\,g$$

En l'escala macroscòpica el caràcter discret passa inadvertit, perquè $e$ és extraordinàriament menut: un coulomb equival a uns $6{,}24\times10^{18}$ càrregues elementals. (Els quarks, constituents de protons i neutrons, posseeixen càrregues fraccionàries $\pm\tfrac{1}{3}e$ i $\pm\tfrac{2}{3}e$, però no s'observen aïllats, per la qual cosa la càrrega lliure continua sent múltiple enter de $e$.)

Conservació de la càrrega

El principi de conservació de la càrrega estableix que, en un sistema aïllat, la càrrega elèctrica total roman constant: no es crea ni es destrueix, només es transfereix d'uns cossos a uns altres. En l'electrització per fregament, per exemple, els electrons que guanya un cos són exactament els que perd l'altre, de manera que la càrrega neta del conjunt no varia. Formalment, la suma algebraica de les càrregues es manté:

$$\sum_i q_i = \text{constant}$$

Aquest principi és universal i es compleix fins i tot en les reaccions entre partícules elementals: en qualsevol procés, la càrrega total abans i després és la mateixa. Un exemple és l'aniquilació electró-positró, en la qual dues càrregues oposades ($-e$ i $+e$) desapareixen donant fotons neutres, conservant-se la càrrega total (que era i continua sent zero). La conservació de la càrrega és, junt amb la de l'energia o el moment, una de les lleis de conservació més sòlides de la física.

4. Caràcter conservatiu del camp electrostàtic

Una força és conservativa quan el treball que realitza en desplaçar una partícula entre dos punts no depèn de la trajectòria seguida, sinó només de les posicions inicial i final. La força electrostàtica, igual que la gravitatòria, és una força central que varia amb $1/r^2$, i compleix aquesta condició: el camp electrostàtic és conservatiu.

Calculem el treball que realitza el camp creat per una càrrega $Q$ en desplaçar una càrrega $q$ des d'un punt $A$ (a distància $r_A$) fins a un punt $B$ (a distància $r_B$):

$$W_{A\to B} = \int_A^B \vec{F}\cdot d\vec{l} = k\,Q\,q\left(\frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B}\right)$$

El resultat depèn únicament de les distàncies inicial i final, no del camí recorregut. Una conseqüència immediata és que el treball al llarg d'una trajectòria tancada és nul, la qual cosa equival a dir que la circulació del camp electrostàtic al llarg de qualsevol corba tancada és zero:

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l} = 0$$

Aquesta és una de les propietats més importants del camp electrostàtic (i una de les equacions de Maxwell en règim estacionari). Que la circulació siga nul·la equival, en llenguatge del càlcul vectorial, al fet que el camp és irrotacional ($\nabla\times\vec{E} = 0$). El caràcter conservatiu és precisament el que permet definir una energia potencial i un potencial elèctric, funcions escalars que simplifiquen enormement l'estudi energètic, com es veu en el epígraf següent.

5. Estudi energètic de la interacció elèctrica

Per ser conservativa, a la força electrostàtica se li pot associar una energia potencial $U$, definida de manera que el treball de la força del camp és igual a la disminució d'aquesta energia:

$$W_{A\to B} = -\Delta U = U_A - U_B$$

Comparant amb l'expressió del treball de l'epígraf anterior, i prenent l'origen d'energies en l'infinit ($U(\infty)=0$), l'energia potencial d'un parell de càrregues puntuals $q$ i $Q$ separades una distància $r$ resulta:

$$U = k\,\frac{q\,Q}{r}$$

És positiva per a càrregues del mateix signe (configuració de repulsió, cal aportar treball per a acostar-les) i negativa per a càrregues oposades (configuració lligada). Representa el treball necessari per a portar una càrrega des de l'infinit fins a aqueixa posició. Per a un conjunt de càrregues, l'energia total del sistema és la suma de les energies de tots els parells.

Potencial elèctric

De la mateixa manera que el camp és la força per unitat de càrrega, el potencial elèctric $V$ és l'energia potencial per unitat de càrrega, una magnitud escalar que caracteritza el camp en cada punt amb independència de la càrrega de prova:

$$V = \frac{U}{q}, \qquad V = k\,\frac{Q}{r}$$

La seua unitat en el SI és el volt ($\mathrm{V} = \mathrm{J\,C^{-1}}$). El treball per a traslladar una càrrega $q$ entre dos punts $A$ i $B$ s'expressa llavors a través de la diferència de potencial o tensió:

$$W_{A\to B} = q\,(V_A - V_B)$$

El potencial disminueix en el sentit del camp. Els punts d'igual potencial formen superfícies equipotencials, sempre perpendiculars a les línies de camp; desplaçar una càrrega sobre una equipotencial no costa treball. La relació diferencial entre camp i potencial és:

$$\vec{E} = -\nabla V, \qquad E_x = -\frac{dV}{dx}$$

és a dir, el camp apunta en la direcció de màxima disminució del potencial. Aquest enfocament energètic, que redueix l'estudi del camp vectorial $\vec{E}$ al d'una funció escalar $V$, és la base de l'anàlisi de condensadors, de l'energia electrostàtica emmagatzemada i, més endavant, del concepte de força electromotriu que dona pas a l'estudi del corrent elèctric.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE (Real Decreto 217/2022), els fenòmens d'electrització i la naturalesa elèctrica de la matèria s'introdueixen de forma qualitativa en l'ESO, generalment en 2n i 3r d'ESO, vinculats a l'estudi de les interaccions i a l'estructura atòmica. El tractament quantitatiu —llei de Coulomb, camp i potencial elèctrics— correspon a 2n de Batxillerat, en la matèria de Física, on s'aborda dins del bloc d'interacció electromagnètica junt amb el camp gravitatori, aprofitant la seua fecunda analogia formal.

És un contingut idoni per a desenvolupar la competència STEM i la competència digital: permet realitzar experiències senzilles d'electrostàtica (globus, electroscopis, el "pèndol elèctric"), simulacions interactives (com les de PhET) per a visualitzar camps i línies de força, i el maneig de la notació científica i les potències de deu, imprescindible en operar amb la càrrega elemental.

Convé anticipar les idees prèvies i errors freqüents de l'alumnat: confondre càrrega amb massa; creure que un cos carregat per inducció adquireix càrrega neta quan en realitat només es redistribueix; pensar que en el fregament "es crea" càrrega en lloc de transferir-se (idea que contradiu la conservació); confondre les magnituds camp ($\vec{E}$, vectorial) i potencial ($V$, escalar); o suposar que un potencial nul implica camp nul, i viceversa (són falsos ambdós supòsits: en el punt mitjà entre dues càrregues iguals i oposades el potencial és zero però el camp no). L'ús d'analogies acurades amb el camp gravitatori, junt amb la representació gràfica de línies de camp i superfícies equipotencials, resulta molt eficaç per a consolidar aquests conceptes.

Conclusió

La naturalesa elèctrica de la matèria s'explica per l'existència de dues classes de càrrega associades als constituents de l'àtom. L'electrostàtica quantifica la seua interacció mitjançant la llei de Coulomb i el concepte de camp elèctric, que evita l'acció a distància. La càrrega posseeix dues propietats essencials —està quantitzada en múltiples de la càrrega elemental $e$ i es conserva en tot sistema aïllat— i el camp que genera és conservatiu, propietat que es tradueix en la nul·litat de la seua circulació al llarg de qualsevol línia tancada. Aquest caràcter conservatiu permet l'estudi energètic de la interacció a través de l'energia potencial i del potencial elèctric, magnituds escalars que simplifiquen l'anàlisi i obrin el camí cap a l'estudi dels condensadors, el corrent elèctric i, en última instància, l'electromagnetisme de Maxwell.