Tema 9

L'estàtica és la part de la mecànica que estudia les condicions sota les quals un cos roman en equilibri, és a dir, en repòs o amb moviment uniforme, sota l'acció d'un sistema de forces. A diferència de la cinemàtica (que descriu el moviment) i de la dinàmica (que analitza les seues causes), l'estàtica s'ocupa del cas particular —però d'enorme importància pràctica— en què la resultant de les accions sobre el cos és nul·la. És la base de tota l'enginyeria estructural: ponts, edificis, grues o l' esquelet humà es dissenyen i comprenen aplicant els seus principis.

L'objecte d'estudi d'este tema és el cos rígid, un model idealitzat en què les distàncies entre les partícules que el formen no varien, per grans que siguen les forces aplicades. En un sòlid rígid les forces no sols poden produir translacions, sinó també rotacions, de manera que el seu equilibri requereix condicions més riques que les d'una partícula puntual. Històricament, l'estàtica és la branca més antiga de la física: Arquímedes va formular la llei de la palanca i el principi del centre de gravetat al segle III a.C., i de les seues aplicacions —palanques, politges, plans inclinats— van sorgir les màquines que van transformar el treball humà i, amb ell, la mateixa organització social.

Estàtica dels cossos rígids

El model de cos rígid i les forces com a vectors lliscants

Un cos rígid és un sistema de partícules les posicions relatives del qual romanen fixes. En este model, una força aplicada sobre el sòlid es comporta com un vector lliscant: el seu efecte no canvia si es trasllada al llarg de la seua pròpia línia d'acció. Això distingeix el tractament del sòlid rígid del de la partícula, en què les forces són vectors lligats a un punt.

Per a caracteritzar l'efecte d'una força sobre un cos extens no basta amb el seu mòdul, direcció i sentit: importa també on s'aplica, perquè d'això depén la seua capacitat per a fer-lo girar.

Moment d'una força

El moment d'una força (o parell de torsió, torque) respecte d'un punt $O$ mesura la tendència d'eixa força a produir una rotació al voltant d'$O$. Es defineix com el producte vectorial del vector de posició $\vec{r}$, que va d'$O$ al punt d'aplicació, per la força $\vec{F}$:

$$\vec{M}_O = \vec{r} \times \vec{F}$$

El seu mòdul és $M = r\,F\,\sin\theta = F\,d$, on $d = r\,\sin\theta$ és el braç de la força, això és, la distància perpendicular des d'$O$ a la línia d'acció de $\vec{F}$:

$$M = F \cdot d$$

La direcció de $\vec{M}_O$ és perpendicular al pla definit per $\vec{r}$ i $\vec{F}$, i el seu sentit el dona la regla de la mà dreta. La seua unitat en el SI és el newton per metre ($\mathrm{N\,m}$). El moment és màxim quan la força és perpendicular al braç i nul quan la seua línia d'acció passa per $O$ ($d = 0$).

Un resultat essencial és el teorema de Varignon: el moment de la resultant d'un sistema de forces concurrents respecte d'un punt és igual a la suma dels moments de cada força component respecte d'eixe mateix punt. Permet substituir el moment d'una força per la suma dels moments de les seues components, la qual cosa simplifica enormement els càlculs.

Parell de forces

Un parell de forces és un sistema format per dues forces d'igual mòdul, direcció paral·lela i sentits oposats, separades una distància $d$. La seua resultant és nul·la, de manera que no produeix translació, però el seu moment resultant no ho és: produeix una rotació pura. El moment del parell és independent del punt respecte del qual es calcule i val:

$$M = F \cdot d$$

Els parells apareixen en multitud de situacions quotidianes: en girar el volant d' un cotxe, en collar un cargol amb un tornavís o en obrir una aixeta.

Composició de forces i centre de gravetat

Les forces concurrents es componen mitjançant la regla del paral·lelogram, enunciada amb rigor per Simon Stevin a la fi del segle XVI. Un cas d' especial interés és la resultant de les forces gravitatòries que actuen sobre cada partícula del cos: el seu punt d'aplicació és el centre de gravetat.

El centre de masses d'un sistema de partícules se situa en:

$$\vec{r}_{CM} = \frac{\sum_i m_i\,\vec{r}_i}{\sum_i m_i}$$

Quan el camp gravitatori és uniforme —com ocorre a escala ordinària— el centre de gravetat coincideix amb el centre de masses. És el punt en què podem suposar concentrat tot el pes del cos, i la seua localització resulta decisiva per a l'estudi de l'equilibri i de l'estabilitat. En cossos homogenis i simètrics coincideix amb el centre geomètric.

Condicions d'equilibri

Les dues condicions fonamentals

Un cos rígid està en equilibri quan no experimenta ni acceleració de translació ni acceleració de rotació. Això exigeix el compliment simultani de dues condicions:

1a condició (equilibri de translació): la resultant de totes les forces externes és nul·la.

$$\sum_i \vec{F}_i = 0$$

2a condició (equilibri de rotació): la suma dels moments de totes les forces externes respecte de qualsevol punt és nul·la.

$$\sum_i \vec{M}_i = 0$$

La primera condició garanteix que el centre de masses no s'accelera; la segona, que el cos no adquireix rotació. És important subratllar que la primera per si sola no basta per a un sòlid extens: un parell de forces compleix $\sum\vec{F}=0$ i, no obstant això, fa girar el cos.

En els problemes plans, les condicions es redueixen a tres equacions escalars:

$$\sum F_x = 0, \qquad \sum F_y = 0, \qquad \sum M_z = 0$$

Això permet resoldre fins a tres incògnites (per exemple, les reaccions en els suports d'una biga o d'un pont). L'elecció astuta del punt respecte del qual es prenen moments —habitualment un pel qual passen forces desconegudes— simplifica el càlcul, ja que eixes forces tenen moment nul.

Tipus d'equilibri i estabilitat

Quan el cos s'aparta lleugerament de la seua posició d'equilibri, este pot ser de tres tipus, segons el comportament de la seua energia potencial:

• Equilibri estable: davant d'una pertorbació xicoteta, apareixen forces o moments que tendeixen a tornar el cos a la seua posició inicial. El centre de gravetat ocupa un mínim d'energia potencial (ascendeix en pertorbar-lo). Ex.: un pèndol en el seu punt més baix.
• Equilibri inestable: la pertorbació allunya encara més el cos de la seua posició. El centre de gravetat està en un màxim d'energia potencial (descendeix en pertorbar-lo). Ex.: un llapis sostingut sobre la seua punta.
• Equilibri indiferent o neutre: el cos roman en equilibri en la nova posició; l'energia potencial no varia. Ex.: una esfera sobre un pla horitzontal.

L'estabilitat d'un cos recolzat depén de la posició del seu centre de gravetat respecte de la base de sustentació (el polígon que uneix els punts de suport). El cos roman en equilibri mentre la vertical traçada pel seu centre de gravetat caiga dins de la base de sustentació; bolca quan eixa vertical la sobrepassa. Per això els cossos són tant més estables com més baix estiga el seu centre de gravetat i més ampla siga la seua base: és el principi que subjau al disseny de vehicles, grues o la torre inclinada de Pisa.

Màquines

Una màquina simple és un dispositiu que permet modificar una força —en mòdul, direcció o sentit— per a realitzar un treball amb major comoditat o eficàcia. No crea energia: es limita a transmetre-la o transformar-la. La mesura de la seua eficàcia és la avantatge mecànica ($VM$), quocient entre la força de resistència vençuda $F_r$ i la força aplicada o esforç $F_a$:

$$VM = \frac{F_r}{F_a}$$

Si $VM > 1$, la màquina multiplica la força. El preu a pagar el fixa la "regla d'or de la mecànica" o principi de conservació del treball: en una màquina ideal (sense fregament), el treball aplicat és igual al treball útil, de manera que el que es guanya en força es perd en desplaçament.

$$F_a \cdot d_a = F_r \cdot d_r$$

En una màquina real sempre hi ha pèrdues per fregament, per la qual cosa es defineix el seu rendiment com el quocient entre el treball útil i el treball total subministrat, sempre menor que la unitat:

$$\eta = \frac{W_{\text{útil}}}{W_{\text{total}}} < 1$$

La palanca

La palanca és una barra rígida que gira al voltant d'un punt de suport o fulcre. El seu funcionament es regeix per la llei de la palanca, formulada per Arquímedes com a aplicació de l'equilibri de moments: el producte de la força pel seu braç es conserva a ambdós costats del suport.

$$F_a \cdot b_a = F_r \cdot b_r$$

on $b_a$ i $b_r$ són els braços (distàncies del fulcre a les línies d'acció de l'esforç i de la resistència). L'avantatge mecànica resulta $VM = b_a / b_r$. Segons la posició relativa del suport (A), la resistència (R) i la potència o esforç (P), es distingeixen tres gèneres:

• 1r gènere (A entre P i R): balancí, tisores, alicates. Pot multiplicar o reduir força segons els braços.
• 2n gènere (R entre A i P): carretó, trencanous. Sempre $VM > 1$.
• 3r gènere (P entre A i R): pinces, canya de pescar, l'avantbraç humà. Sempre $VM < 1$; es guanya en amplitud i rapidesa de moviment.

Politges i politges compostes

La politja és una roda acanalada que gira al voltant d'un eix i per la gola de la qual passa una corda. La politja fixa només canvia la direcció de l'esforç ($VM = 1$), la qual cosa ja facilita molt el treball (permet tirar cap avall, per exemple). La politja mòbil es desplaça amb la càrrega i reparteix el pes entre dos ramals de corda, amb la qual cosa $VM = 2$. Combinant-ne diverses en una politja composta o aparell de $n$ ramals que suporten la càrrega:

$$VM = n \qquad \text{(o bé } VM = 2^n \text{ en una politja factorial de } n \text{ politges mòbils)}$$

Pla inclinat, tascó i cargol

El pla inclinat permet elevar un cos aplicant una força menor que el seu pes. Per a pujar (sense fregament) un cos de pes $P$ per una rampa de longitud $L$ i altura $h$, que forma un angle $\alpha$, la força paral·lela al pla és:

$$F = P\,\sin\alpha = P\,\frac{h}{L}$$

i la seua avantatge mecànica $VM = L/h = 1/\sin\alpha$. Com més tesa és la rampa, menor és l'esforç, però major la distància a recórrer, en coherència amb la regla d'or.

El tascó és un doble pla inclinat mòbil que transforma una força aplicada en la seua base en forces perpendiculars a les seues cares (destrals, enformadors, claus). El cargol és un pla inclinat enrotllat sobre un cilindre; si el seu pas (avanç per volta) és $p$ i s'acciona amb una maneta o clau de radi $R$, la seua avantatge mecànica ideal és:

$$VM = \frac{2\pi R}{p}$$

la qual cosa explica l'enorme multiplicació de força de crics, premses i fusos.

Torn i rodes dentades

El torn o cabrestant és una maneta de radi $R$ solidària a un cilindre de radi $r$ en el qual s'enrotlla la corda que sosté la càrrega. De l'equilibri de moments, $F_a\,R = F_r\,r$, resulta:

$$VM = \frac{R}{r}$$

Els engranatges i els sistemes de rodes dentades transmeten i transformen el moviment de rotació entre eixos, multiplicant o reduint la velocitat angular en raó inversa al nombre de dents. Són la base de rellotges, canvis de marxa i multitud de mecanismes.

Influència en el desenvolupament social

Les màquines simples han acompanyat i condicionat la història de la humanitat. La seua influència transcendeix la tècnica i es projecta sobre l'organització social, l'economia i la mateixa forma de treballar.

En l'Antiguitat, la palanca, el pla inclinat i la politja van fer possibles les grans obres de la civilització: les piràmides d'Egipte, els temples grecs, els aqüeductes i calçades romans. Arquímedes no sols va teoritzar sobre la palanca —a ell s'atribueix la frase "doneu-me un punt de suport i mouré el món"—, sinó que va dissenyar politges compostes, el cargol sense fi per a elevar aigua i màquines de defensa. La capacitat de multiplicar la força humana va permetre concentrar i coordinar el treball, i amb això el sorgiment de societats complexes.

En l'Edat Mitjana, el molí d'aigua i de vent, la sénia o la grua de roda van alliberar energia muscular i van mecanitzar tasques com moldre gra, bombar aigua o construir catedrals, transformant l'economia agrària i artesanal.

El salt decisiu va arribar amb la Revolució Industrial (segles XVIII–XIX): quan la màquina de vapor va aportar una font d'energia abundant i controlable, el conjunt de mecanismes derivats de les màquines simples —engranatges, bieles, politges de transmissió— va donar lloc a la maquinària fabril. La producció es va multiplicar, va sorgir la fàbrica com a forma d'organització, es van generar noves relacions laborals i una profunda transformació urbana i demogràfica. Les màquines van ampliar la productivitat, però també van plantejar problemes socials —condicions de treball, substitució de mà d'obra— que continuen sent objecte de debat davant l'automatització i la robòtica actuals.

Esta perspectiva històrica i social connecta la física amb una mirada crítica i ciutadana sobre la tecnologia, i mostra que el coneixement científic i la seua aplicació tècnica són motors del canvi social, amb beneficis i també amb responsabilitats.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE (Real Decreto 217/2022), els continguts d'estàtica i màquines s'aborden de manera qualitativa i experimental en l'ESO —dins de les forces i els seus efectes— i es formalitzen quantitativament en 4t d'ESO i en 1r de Batxillerat en la matèria de Física i Química. L'estudi de les màquines simples és especialment idoni per a desenvolupar la competència STEM, la competència d'aprendre a aprendre i la consciència de les relacions entre ciència, tecnologia i societat (CTS).

És un tema propici per a plantejar situacions d'aprenentatge basades en el disseny i la construcció de dispositius (una grua amb politges, una balança, un pla inclinat instrumentat), integrant el treball experimental, la mesura de forces amb dinamòmetres i la contrastació de la llei de la palanca.

Convé anticipar les idees prèvies i errors freqüents de l'alumnat:

• Creure que una màquina "crea" o "estalvia" energia, en lloc de transformar-la (confusió entre estalviar força i estalviar treball).
• Ignorar el moment de les forces i pensar que l'equilibri només depén que les forces es compensen en mòdul, sense atendre als braços.
• Confondre massa i pes, o centre de masses amb centre geomètric en cossos no homogenis.
• Suposar que una força major sempre "guanya" amb independència d'on s' aplique, sense comprendre el paper del braç de palanca.

L'ús de materials manipulatius, junt amb la interpretació d'esquemes de forces (diagrames del sòlid lliure), resulta molt eficaç per a consolidar estos conceptes i corregir les concepcions alternatives.

Conclusió

L'estàtica dels cossos rígids estableix les condicions sota les quals un sòlid roman en equilibri: l'anul·lació simultània de la resultant de les forces (equilibri de translació) i de la suma dels seus moments (equilibri de rotació). El concepte de moment d'una força és la clau que distingeix el sòlid extens de la partícula, ja que introdueix l'efecte de rotació i, amb ell, la importància del punt d'aplicació i del braç. Sobre estes condicions es construeix l'estudi de l'estabilitat i l'anàlisi de les màquines simples —palanca, politja, pla inclinat, cargol, torn—, totes elles governades per la llei de la palanca i per la regla d'or de la mecànica, que preserva el treball. Més enllà del seu interés físic, estes màquines han sigut, des d'Arquímedes fins a la Revolució Industrial, motor de la transformació del treball i de la societat, la qual cosa converteix este tema en un pont exemplar entre la ciència, la tècnica i la història humana.