Tema 8

La pregunta pel lloc que ocupa la Terra en el cosmos és una de les més antigues i fecundes de la història de la ciència. Al voltant d'ella s'articula este tema, que recorre el pas del model geocèntric a l'heliocèntric i culmina en la teoria de la gravitació universal de Newton, la llei física que explica d'un sol traç la caiguda dels cossos i el moviment dels astres. És un tema alhora de física (mecànica celeste) i d'història i epistemologia de la ciència, per la qual cosa il·lustra com pocs en què consisteix el mètode científic: observació, modelització, contrast i unificació.

La seua rellevància en el temari és doble. D'una banda, la gravitació és la primera de les interaccions fonamentals que l'alumnat estudia amb formalisme quantitatiu i el model amb què s'introdueix el concepte de camp. D'altra banda, la substitució de l'univers aristotèlic-ptolemaic per la mecànica newtoniana és l'episodi paradigmàtic de la Revolució Científica i una oportunitat immillorable per a treballar la naturalesa de la ciència a l'aula.

1. El problema de la posició de la Terra en l'univers

A simple vista, els fenòmens celestes semblen avalar una Terra immòbil i central. El cel gira cada dia al voltant d'un eix (el que passa pels pols celestes); el Sol recorre al llarg de l'any la banda del zodíac; la Lluna canvia de fase; i les estreles mantenen les seues posicions relatives, com si estigueren fixes en una esfera celeste que ens envolta. Res en l' experiència quotidiana suggereix que el sòl que trepitgem es moga.

El fenomen que més va resistir a una explicació senzilla va ser el moviment retrògrad dels planetes: de tant en tant, Mart, Júpiter o Saturn semblen detindre's enfront del fons estel·lar, retrocedir descrivint un xicotet llaç i reprendre després la seua marxa. La paraula planeta (del grec astre errant) recull precisament eixa aparent irregularitat.

Hi havia, a més, un argument observacional de pes contra el moviment de la Terra: l'absència de paral·laxi estel·lar. Si la Terra girara al voltant del Sol, les estreles pròximes haurien de mostrar un xicotet desplaçament angular al llarg de l'any respecte a les llunyanes. Com que amb els instruments de l' Antiguitat no es detectava, es concloïa que la Terra no es movia. L' explicació correcta —que les estreles estan tan lluny que la paral·laxi és diminuta— no es va poder confirmar fins a 1838 (Bessel, estrela 61 Cygni). El mateix ordre de magnitud del problema —les enormes distàncies còsmiques— era l' obstacle.

La resposta que hui dona la ciència inverteix per complet la intuïció: la Terra no ocupa cap lloc privilegiat. És un planeta més orbitant una estrela ordinària situada en un braç d'una galàxia entre milers de milions. Esta idea, elevada a principi cosmològic (a gran escala l'univers és homogeni i isòtrop, sense centre ni posició especial), és el marc en què es resol definitivament el "problema de la posició de la Terra".

2. Sistemes geocèntric i heliocèntric

El sistema geocèntric

El model dominant durant gairebé dos mil·lennis va ser el geocèntric, amb la Terra immòbil al centre. Aristòtil (s. IV a. C.) el va fonamentar físicament amb esferes concèntriques i una tallant separació entre el món sublunar (corruptible, amb els quatre elements) i el supralunar (perfecte, incorruptible, d'èter). Claudi Ptolomeu (s. II d. C.), en l' Almagest, el va convertir en un model geomètric capaç de predir les posicions planetàries mitjançant un enginyós sistema de:

• deferents: grans cercles centrats aproximadament en la Terra;
• epicicles: cercles menors sobre els quals gira el planeta i que expliquen el moviment retrògrad;
• excèntrica i equant: artificis que desplaçaven el centre i regulaven la velocitat angular per a ajustar les observacions.

El model ptolemaic era complicat però eficaç: predeia eclipsis i conjuncions amb notable precisió. La seua debilitat no era empírica sinó conceptual: exigia multiplicar els cercles i renunciava a una explicació física unificada.

El sistema heliocèntric

L'alternativa heliocèntrica —el Sol al centre— ja havia sigut proposada en l'Antiguitat per Aristarc de Samos (s. III a. C.), però no va prosperar. Va ser Nicolau Copèrnic qui la va recuperar i desenvolupar en De revolutionibus orbium coelestium (1543). Els seus avantatges eren de fons:

• El moviment retrògrad deixa de necessitar epicicles: és un efecte aparent, produït quan la Terra, més ràpida en la seua òrbita interior, "avança" un planeta exterior.
• L'ordre i les distàncies relatives dels planetes queden determinats de forma natural, així com per què Mercuri i Venus mai s'allunyen molt del Sol.

Copèrnic conservava, no obstant això, les òrbites circulars i necessitava encara epicicles menors per a quadrar les dades. El salt decisiu el va donar Johannes Kepler analitzant les precisíssimes observacions de Tycho Brahe. Kepler va formular les seues tres lleis:

Primera llei (de les òrbites). Els planetes descriuen el·lipses amb el Sol en un dels focus. En coordenades polars:

$$r = \frac{a\,(1-e^2)}{1 + e\cos\theta}$$

on $a$ és el semieix major i $e$ l'excentricitat.

Segona llei (de les àrees). El radi vector que uneix el Sol amb el planeta escombra àrees iguals en temps iguals; el planeta es mou més de pressa en el periheli que en l'afeli:

$$\frac{dA}{dt} = \text{constant}$$

Tercera llei (dels períodes). El quadrat del període orbital és proporcional al cub del semieix major:

$$\frac{T^2}{a^3} = \text{constant}$$

Per la seua banda, Galileo Galilei va aportar les primeres proves telescòpiques a favor de l'heliocentrisme (1610): les fases de Venus (incompatibles amb el model de Ptolomeu), els quatre satèl·lits de Júpiter (que mostraven centres de gir distints de la Terra), els cràters lunars i les taques solars (que trencaven la idea de perfecció dels cels). Les tres lleis de Kepler eren, no obstant això, descriptives: deien com es mouen els planetes, però no per què. Eixa causa la proporcionaria Newton.

3. Teoria de la gravitació universal

En els Principia Mathematica (1687), Isaac Newton va enunciar la llei de gravitació universal: dos cossos qualssevol s'atrauen amb una força directament proporcional al producte de les seues masses i inversament proporcional al quadrat de la distància que els separa:

$$F = G\,\frac{m_1\,m_2}{r^2}$$

En forma vectorial, la força que la massa $m_1$ exerceix sobre $m_2$ és atractiva i dirigida al llarg de la recta que les uneix:

$$\vec{F}_{12} = -G\,\frac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{u}_r$$

La constant de gravitació universal $G$ és una constant fonamental de valor $G = 6{,}674\times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$, mesurada per primera vegada en 1798 mitjançant la balança de torsió de l'experiment de Cavendish, que en la pràctica va permetre "pesar la Terra". És una interacció d'abast infinit, sempre atractiva i que compleix el principi de superposició: la força sobre un cos és la suma vectorial de les que exerceixen tots els altres.

El camp gravitatori

Newton descriu la interacció com a acció a distància; la física posterior la reformula mitjançant el concepte de camp. El camp gravitatori creat per una massa $M$ és la força per unitat de massa que experimentaria un cos de prova:

$$\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m} = -G\,\frac{M}{r^2}\,\hat{u}_r \qquad\Longrightarrow\qquad g = \frac{GM}{r^2}$$

En la superfície terrestre ($r = R_T$) el seu mòdul és la intensitat de la gravetat, $g_0 = \dfrac{GM_T}{R_T^2} \approx 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, que no és altra cosa que l'acceleració de caiguda lliure del tema de cinemàtica. El camp és conservatiu, per la qual cosa admet una energia potencial (prenent l' origen en l'infinit):

$$U(r) = -G\,\frac{Mm}{r}$$

De Newton a Kepler

La gran força del model és que les tres lleis de Kepler es dedueixen de la llei de gravitació. En ser la força central, el moment angular es conserva, $\vec{L} = \text{constant}$, la qual cosa implica òrbites planes i la segona llei:

$$\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m} = \text{constant}$$

Resolent el problema de dos cossos amb una força en $1/r^2$ s'obté que les trajectòries lligades són el·lipses (primera llei) i, per al cas d'òrbita aproximadament circular, igualant la força gravitatòria a la centrípeta,

$$G\,\frac{Mm}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r$$

es despeja directament la tercera llei amb la seua constant ja no empírica sinó expressada en termes de $G$ i $M$:

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,r^3$$

Kepler havia mesurat la constant; Newton va explicar el seu valor i el seu origen.

4. Aplicacions

La llei de gravitació és una eina d'enorme poder predictiu. Estes són algunes de les seues aplicacions més importants.

Òrbites de satèl·lits. Per a una òrbita circular de radi $r$, la velocitat orbital s'obté de l'equilibri entre gravetat i força centrípeta:

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

Un cas de gran interés tecnològic és el satèl·lit geoestacionari, que roman sobre el mateix punt de l'equador perquè el seu període iguala el dia sideri ($T \approx 86\,164\ \mathrm{s}$). Aplicant la tercera llei s'obté un radi orbital d'uns $4{,}22\times 10^7\ \mathrm{m}$, és a dir, una altura d' uns 35,800 km sobre la superfície. És l'òrbita dels satèl·lits de telecomunicacions i meteorològics.

Velocitat d'escapament. L'energia mínima perquè un cos s'allibere del camp (arribar a l'infinit amb velocitat nul·la) s'obté igualant l'energia cinètica a la potencial:

$$\tfrac{1}{2}\,m\,v_e^2 = G\,\frac{Mm}{r} \qquad\Longrightarrow\qquad v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{2}\;v$$

Per a la Terra val uns $11{,}2\ \mathrm{km\,s^{-1}}$. L'energia mecànica d'una òrbita circular és negativa, $E = -\dfrac{GMm}{2r}$, la qual cosa expressa que es tracta d'un estat lligat.

Determinació de masses celestes. La tercera llei permet "pesar" astres: mesurant el període i el radi d'un satèl·lit (natural o artificial) es despeja la massa del cos central, $M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}$. Així s'obtenen les masses del Sol, dels planetes amb satèl·lits o fins i tot d'estreles dobles.

Descobriments i pertorbacions. L'anàlisi de les xicotetes desviacions (pertorbacions) de l'òrbita d'Urà va conduir Le Verrier i Adams a predir l'existència i posició de Neptú, trobat en 1846 just on el càlcul el situava: un triomf espectacular de la teoria.

Marees. La diferència d'atracció gravitatòria de la Lluna (i el Sol) sobre els distints punts de la Terra explica les marees, que són màximes en les sizígies (Lluna nova i plena) i mínimes en les quadratures.

Astronàutica. El disseny de sondes, les maniobres d'assistència gravitatòria (efecte fona) i les òrbites de transferència s'apoien íntegrament en la mecànica newtoniana.

5. Importància històrica de la unificació de la gravitació terrestre i celeste

L'assoliment conceptual més profund de Newton no va ser només formular una fórmula, sinó enderrocar una frontera. La física aristotèlica separava de manera radical dos mons: el terrestre o sublunar, on els greus cauen buscant el seu lloc natural, i el celeste o supralunar, on els astres es mouen eternament en cercles per una física distinta. Eren dos regnes amb dues legalitats.

Newton va demostrar que la força que fa caure una poma és la mateixa que manté la Lluna en òrbita. El raonament —conegut com la "prova de la Lluna"— és d'una elegància notable. Si la gravetat decreix com $1/r^2$, i la Lluna està a uns 60 radis terrestres, la seua acceleració centrípeta hauria de ser $60^2 = 3600$ vegades menor que $g_0$ en la superfície:

$$a_{\text{esperada}} = \frac{g_0}{60^2} = \frac{9{,}8}{3600} \approx 2{,}7\times 10^{-3}\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$

I, en efecte, l'acceleració centrípeta real de la Lluna, calculada a partir de la seua distància $r \approx 3{,}84\times 10^8\ \mathrm{m}$ i el seu període $T \approx 27{,}3$ dies $\approx 2{,}36\times 10^6\ \mathrm{s}$, és:

$$a = \frac{4\pi^2\,r}{T^2} \approx 2{,}7\times 10^{-3}\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$

Tots dos valors coincideixen. La conclusió és que cel i Terra obeeixen a una sola física. Esta unificació va tindre conseqüències que transcendeixen l' astronomia:

• Va establir la universalitat de les lleis de la naturalesa: les mateixes lleis regeixen en qualsevol lloc del cosmos, base de tota la ciència posterior.
• Va consolidar una visió mecanicista i determinista de l'univers, capaç de predir el futur a partir de les condicions inicials.
• Va convertir la gravitació en el primer gran exemple d'unificació de fenòmens aparentment dispars, un ideal que guiaria després la unificació de l'electricitat i el magnetisme (Maxwell) o els projectes actuals de teoria unificada.

La mecànica newtoniana va regnar sense rival durant més de dos segles. Els seus límits —com la precessió anòmala del periheli de Mercuri— només es resoldrien amb la relativitat general d'Einstein (1915), que reinterpreta la gravetat com a curvatura de l'espai-temps. Tot i així, la teoria de Newton continua sent el model vàlid i d'ús quotidià en la immensa majoria de situacions, des de l' enginyeria aeroespacial fins a l'ensenyament secundari.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE (Real Decreto 217/2022), els continguts d'este tema es distribueixen entre l'ESO i el Batxillerat. En l'ESO, dins de la matèria de Física i Química, s'aborden de forma qualitativa la gravetat, el pes i els models del sistema solar, amb especial atenció a la naturalesa de la ciència i a com els models canvien amb noves evidències. La formalització quantitativa —llei de gravitació, camp, lleis de Kepler, energia— correspon a la Física de 2n de Batxillerat, on constitueix un dels blocs centrals.

El tema és idoni per a desenvolupar la competència STEM i la competència en consciència i expressió històrica: el trànsit de Ptolomeu a Newton permet plantejar situacions d'aprenentatge al voltant de com es construeix i valida el coneixement científic, treballant l'argumentació amb dades. Recursos com planetaris digitals, simulacions (per exemple, de PhET) o l'observació astronòmica senzilla donen suport a la competència digital i experimental.

Convé anticipar les idees prèvies i errors freqüents:

• Confondre massa i pes, o creure que sense atmosfera no hi ha gravetat.
• Pensar que en òrbita "no hi ha gravetat": la ingravidesa aparent dels astronautes és en realitat una caiguda lliure permanent; la gravetat a eixa altura continua sent intensa.
• Creure que la força gravitatòria requereix contacte o que només la Terra atrau (oblidant l'acció-reacció: el cos també atrau la Terra).
• Suposar que les estacions es deuen a la distància Terra-Sol i no a la inclinació de l'eix.
• Mantindre una visió geocèntrica ingènua, reforçada pel llenguatge quotidià ("ix el Sol", "es pon el Sol").

Explicitar i confrontar estes concepcions alternatives, recolzant-se en la mateixa història del problema, és una estratègia didàctica especialment potent en este tema.

Conclusió

La història de la posició de la Terra en l'univers resumeix la manera de procedir de la ciència. D'un cosmos geocèntric, intuïtiu però cada vegada més recarregat d' epicicles, es va passar a l'ordre heliocèntric de Copèrnic, quantificat per les tres lleis empíriques de Kepler i sostingut per les observacions de Galileu. Newton va tancar el cicle en encertar amb la causa: una única llei de gravitació universal de la qual es dedueixen les lleis de Kepler i que explica per igual la caiguda dels cossos i les òrbites dels astres. Amb això va unificar la física terrestre i la celeste i va proclamar la universalitat de les lleis naturals, punt de partida de la ciència moderna. Les seues aplicacions —satèl·lits, exploració espacial, determinació de masses, predicció de planetes— i la posterior revisió relativista dels seus límits confirmen que estem davant d'un dels pilars de la física i, alhora, davant d'un cas d'estudi insuperable sobre la naturalesa del coneixement científic.