Tema 7

Després de descriure el moviment amb la cinemàtica i analitzar les causes del moviment d'una única partícula amb la dinàmica del punt material, el pas natural consisteix a abordar sistemes formats per moltes partícules: un sòlid rígid, un fluid, un gas, un sistema planetari o, senzillament, dos cossos que xoquen. La dinàmica d'un sistema de partícules proporciona les lleis generals que governen estos conjunts i, amb elles, dos dels pilars més fecunds de tota la física: els principis de conservació.

La clau de tot el tema és una idea d'enorme potència: encara que un sistema estiga format per un nombre immens de partícules que interaccionen entre si de forma complicadíssima, el seu comportament global admet una descripció senzilla en termes d'unes poques magnituds col·lectives —el centre de masses, el moment lineal i el moment angular totals, i l'energia—. Newton va establir les lleis de la mecànica per al punt material; va ser Euler qui les va generalitzar als sistemes i al sòlid rígid, i molt després Emmy Noether revelaria que cada llei de conservació és l'expressió d'una simetria de la naturalesa. El tema ocupa un lloc central en el bloc de mecànica i serveix de base a l'estudi del sòlid rígid, els fluids i la termodinàmica.

Dinàmica d'un sistema de partícules

Un sistema de partícules és un conjunt de $N$ masses puntuals $m_1, m_2, \dots, m_N$ que poden interaccionar entre si i amb l'exterior. Sobre cada partícula $i$ actuen dos tipus de forces:

• Forces internes $\vec{F}_{ij}$: les que exerceixen unes partícules del sistema sobre altres. Per la tercera llei de Newton, apareixen a parells d'acció i reacció, iguals i oposades: $\vec{F}_{ij} = -\vec{F}_{ji}$.
• Forces externes $\vec{F}_i^{\,ext}$: les que exerceix sobre la partícula $i$ algun agent aliè al sistema (la gravetat, un camp, un contacte exterior).

El centre de masses

La magnitud que organitza tota la descripció és el centre de masses (CM), punt geomètric ponderat per la massa la posició del qual és:

$$\vec{r}_{cm} = \frac{\sum_i m_i\,\vec{r}_i}{\sum_i m_i} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\,\vec{r}_i$$

on $M = \sum_i m_i$ és la massa total del sistema. Per a una distribució contínua de massa, el sumatori se substitueix per una integral, $\vec{r}_{cm} = \frac{1}{M}\int \vec{r}\,dm$. Derivant respecte al temps s'obtenen la velocitat i l'acceleració del centre de masses:

$$\vec{v}_{cm} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\,\vec{v}_i, \qquad \vec{a}_{cm} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\,\vec{a}_i$$

Teorema del centre de masses

Si sumem la segona llei de Newton aplicada a cada partícula, les forces internes es cancel·len per parells (tercera llei), de manera que només sobreviuen les externes. El resultat és el teorema del moviment del centre de masses:

$$\vec{F}_{ext} = \sum_i \vec{F}_i^{\,ext} = M\,\vec{a}_{cm}$$

És una conclusió notable: el centre de masses d'un sistema es mou com si tota la massa estiguera concentrada en ell i sobre ell actuaren totes les forces externes. Per això podem tractar una pilota, un planeta o un saltador com un punt material, encara que internament siguen complexos. Les forces internes, per intenses que siguen, no poden modificar el moviment del CM: un sistema aïllat no pot autoaccelerar-se "tirant dels seus propis cordons".

Moments lineal i angular

Moment lineal

El moment lineal (o quantitat de moviment) d'una partícula és $\vec{p}_i = m_i\vec{v}_i$. El moment lineal total del sistema és la suma vectorial:

$$\vec{P} = \sum_i m_i\,\vec{v}_i = M\,\vec{v}_{cm}$$

és a dir, coincideix amb el d'una partícula de massa $M$ que es moguera amb la velocitat del centre de masses. Derivant i usant el teorema anterior s'obté l'equació fonamental de la dinàmica de sistemes, que és la forma més general de la segona llei de Newton:

$$\frac{d\vec{P}}{dt} = \vec{F}_{ext}$$

Moment angular

El moment angular (o moment cinètic) d'una partícula respecte a un punt $O$ és el producte vectorial del seu vector de posició pel seu moment lineal:

$$\vec{L}_i = \vec{r}_i \times \vec{p}_i = \vec{r}_i \times m_i\vec{v}_i$$

El moment angular total del sistema respecte a $O$ és $\vec{L} = \sum_i \vec{r}_i \times m_i\vec{v}_i$. La seua derivada temporal, tenint en compte que $\vec{v}_i \times m_i\vec{v}_i = 0$, condueix a l'equació del moment angular:

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \sum_i \vec{r}_i \times \vec{F}_i^{\,ext} = \vec{M}_{ext}$$

on $\vec{M}_{ext}$ és el moment (o torque) resultant de les forces externes. Els moments de les forces internes es cancel·len sempre que estes siguen centrals (dirigides al llarg de la recta que uneix cada parell de partícules), hipòtesi que compleixen la gravitació, la força elèctrica i les forces d'enllaç habituals.

Convé subratllar el paral·lelisme formal entre ambdues equacions: la força externa controla la variació del moment lineal, i el moment de les forces externes controla la variació del moment angular. Són les equacions que Euler va formular com a lleis bàsiques de la mecànica de sistemes i del sòlid rígid.

Principis de conservació

De les dues equacions anteriors es dedueixen immediatament dos principis de conservació, vàlids amb enorme generalitat i que constitueixen eines de càlcul poderosíssimes, ja que no exigeixen conéixer el detall de les forces internes.

Conservació del moment lineal

Si la resultant de les forces externes és nul·la, $\vec{F}_{ext} = 0$, aleshores $\dfrac{d\vec{P}}{dt} = 0$ i el moment lineal total es conserva:

$$\vec{F}_{ext} = 0 \;\Longrightarrow\; \vec{P} = M\,\vec{v}_{cm} = \text{constant}$$

En un sistema aïllat, el centre de masses es mou amb velocitat constant (o roman en repòs). Este principi explica el retrocés d'una arma, la propulsió a reacció d'un coet, les explosions —els fragments ixen de manera que el CM segueix la seua trajectòria original— i, sobretot, governa l'anàlisi de les col·lisions. Pot aplicar-se component a component: si només s'anul·la una component de la força externa, es conserva la component corresponent de $\vec{P}$.

Conservació del moment angular

Si el moment resultant de les forces externes és nul, $\vec{M}_{ext} = 0$, aleshores el moment angular total es conserva:

$$\vec{M}_{ext} = 0 \;\Longrightarrow\; \vec{L} = \text{constant}$$

Este principi explica per què una patinadora gira més de pressa en arreplegar els braços (en disminuir la seua distribució de massa respecte a l'eix, augmenta $\omega$ per a mantindre $\vec{L}$), l'estabilitat giroscòpica i la segona llei de Kepler: com la força gravitatòria que el Sol exerceix sobre un planeta és central, el seu moment respecte al Sol és nul, el moment angular es conserva i el radi vector escombra àrees iguals en temps iguals.

Simetries i conservació

Estos principis no són casualitats del càlcul. El teorema de Noether (1918) estableix que a cada simetria contínua d'un sistema li correspon una magnitud conservada: l'homogeneïtat de l'espai (invariància enfront de translacions) implica la conservació del moment lineal; la isotropia de l'espai (invariància enfront de rotacions), la del moment angular; i l'homogeneïtat del temps, la conservació de l'energia. Els principis de conservació són, així, l'empremta de les simetries fonamentals de la naturalesa.

Energia d'un sistema de partícules

Energia cinètica i teorema de König

L'energia cinètica total del sistema és la suma de les energies cinètiques de les seues partícules:

$$T = \sum_i \tfrac{1}{2}\,m_i\,v_i^2$$

Un resultat especialment útil és el teorema de König, que descompon esta energia en dos termes separant el moviment global de l'intern. Si $\vec{v}_i'$ és la velocitat de cada partícula respecte al centre de masses, aleshores:

$$T = \tfrac{1}{2}\,M\,v_{cm}^2 + \sum_i \tfrac{1}{2}\,m_i\,v_i'^2$$

El primer terme és l'energia cinètica de translació del sistema com un tot (la del CM); el segon, l'energia cinètica interna o relativa al CM (que en un sòlid rígid correspon a la rotació). El moment angular admet una descomposició anàloga en un terme orbital (del CM) i un altre d'intrínsec o de spin, $\vec{L} = \vec{r}_{cm}\times M\vec{v}_{cm} + \vec{L}'$.

Energia potencial i energia mecànica

Quan les forces que actuen són conservatives, se'ls pot associar una energia potencial. Cal distingir dues contribucions:

• L'energia potencial externa, associada a les forces externes conservatives (per exemple, la gravitatòria, $U = Mgh_{cm}$).
• L'energia potencial interna, associada a les forces internes conservatives (enllaços, interaccions entre les partícules). En un sòlid rígid les distàncies entre partícules no canvien, per la qual cosa esta energia interna és constant i sol ignorar-se; en un sistema deformable sí que varia.

L'energia mecànica total del sistema és la suma de la cinètica i les potencials:

$$E = T + U_{ext} + U_{int}$$

Relació treball-energia

Teorema de les forces vives

El teorema del treball i l'energia cinètica (o de les forces vives) afirma que el treball total realitzat per totes les forces —externes i internes— sobre el sistema és igual a la variació de la seua energia cinètica:

$$W_{total} = W_{ext} + W_{int} = \Delta T = T_f - T_i$$

on el treball d'una força al llarg d'una trajectòria és $W = \int \vec{F}\cdot d\vec{r}$. Ací apareix una diferència essencial respecte al moment lineal: encara que les forces internes es cancel·len per parells i no contribueixen a $\vec{F}_{ext}$, el seu treball net no té per què anul·lar-se. En efecte, en un sistema deformable les dues forces d'un parell actuen sobre punts que es desplacen de forma distinta, i $W_{int} \neq 0$. Per això una persona pot augmentar la seua energia cinètica en saltar, o una molla comprimida pot accelerar dos blocs: la energia interna es transforma en cinètica. Només en el sòlid rígid el treball de les forces internes és nul.

Forces conservatives i conservació de l'energia

Una força és conservativa quan el seu treball no depén del camí, sinó només de les posicions inicial i final; aleshores deriva d'una energia potencial mitjançant $W_{cons} = -\Delta U$. Separant el treball en la part conservativa i la no conservativa, el teorema anterior es reescriu com el principi de conservació de l'energia mecànica:

$$W_{no\,cons} = \Delta(T + U) = \Delta E$$

Si sobre el sistema no actuen forces no conservatives (com el fregament), $W_{no \,cons} = 0$ i l'energia mecànica es conserva: $E = T + U = \text{constant}$. Quan sí que hi ha fregament, l'energia mecànica disminueix, però no desapareix: es transforma en energia interna (tèrmica). Ampliant el balanç a totes les formes d' energia s'arriba al principi general de conservació de l'energia, que enllaça amb el primer principi de la termodinàmica.

Aplicació: col·lisions

Les col·lisions són l'escenari on estos principis es posen a prova conjuntament. En tota col·lisió aïllada es conserva el moment lineal total. Segons què ocórrega amb l'energia cinètica es distingeixen:

• Col·lisió elàstica: es conserven el moment lineal i l'energia cinètica. És el cas ideal de xocs entre boles de billar o molècules d'un gas ideal.

  $$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2', \qquad \sum \tfrac{1}{2}m_i v_i^2 = \sum \tfrac{1}{2}m_i v_i'^2$$

• Col·lisió inelàstica: es conserva el moment lineal, però no l'energia cinètica (part es dissipa en deformació o calor). En la perfectament inelàstica, els cossos queden units després del xoc i es mouen amb la velocitat del CM.

El grau d'elasticitat es quantifica mitjançant el coeficient de restitució, $e = \dfrac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}$, que val $1$ en el xoc perfectament elàstic i $0$ en el perfectament inelàstic.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE (Real Decreto 217/2022), els continguts d'este tema es distribueixen al llarg de l'etapa. En l'ESO s'introdueixen les forces, la energia i les seues transformacions, i el principi de conservació de l'energia amb un enfocament qualitatiu i contextualitzat. La formalització amb vectors, moment lineal i treball es produeix en 4t d'ESO i, sobretot, en 1r de Batxillerat dins de la Física i Química, quedant el sòlid rígid i un tractament més complet per a la Física de 2n de Batxillerat.

És un tema idoni per a desenvolupar la competència STEM i la competència digital mitjançant el treball amb lleis de conservació com a estratègia de resolució de problemes, i per a plantejar situacions d'aprenentatge al voltant de contextos reals: seguretat viària (per què protegeixen les zones de deformació programada i el airbag, que allarguen el temps de la col·lisió i redueixen la força), esports de xoc o la propulsió.

Convé anticipar les idees prèvies i errors freqüents: confondre massa amb pes o amb inèrcia; creure que les forces internes poden moure el centre de masses d'un sistema aïllat; pensar que en tota col·lisió es conserva l'energia cinètica (quan en la majoria no ho fa); identificar "sistema aïllat" amb "sistema en repòs"; o suposar que el moment lineal, per ser vectorial, es conserva en mòdul encara que canvien les direccions. L'ús de simulacions interactives (per exemple, les de PhET sobre col·lisions i moment lineal) i d'experiències amb carrils de aire o carretons amb sensors resulta molt eficaç per a consolidar estes idees.

Conclusió

La dinàmica d'un sistema de partícules mostra que el comportament global d'un conjunt arbitràriament complex es regeix per unes poques magnituds col·lectives. El teorema del centre de masses redueix el moviment de translació al d'un punt material; les equacions del moment lineal i del moment angular generalitzen la segona llei de Newton i, quan s'anul·len la força o el moment externs, donen lloc als principis de conservació, eines de càlcul tan generals com profundes —expressió, segons Noether, de les simetries de l'espai i del temps—. L'anàlisi energètica, amb el teorema de König i la relació treball-energia, completa el quadre i adverteix que les forces internes, encara que no moguen el centre de masses, sí que poden realitzar treball. Sobre este armaó es construeixen la mecànica del sòlid rígid, la de fluids i el pont cap a la termodinàmica.