Tema 6

El moviment de rotació és, junt amb la translació, un dels dos tipus fonamentals de moviment de la mecànica. Quan una partícula descriu una trajectòria corba al voltant d'un punt o d'un eix, la seua descripció resulta molt més natural amb magnituds angulars que amb les cartesianes emprades en la translació. L'estudi de la rotació d'una única partícula —l'objecte d'este tema— constitueix el graó previ i imprescindible per a abordar després la rotació del sòlid rígid, i posa en joc una de les grans lleis de conservació de la física: la conservació del moment angular.

Este tema se situa en el bloc de mecànica del temari (cos 590-007), a continuació de la cinemàtica i la dinàmica de translació. El seu interés és doble. D'una banda, proporciona l'aparell conceptual (velocitat angular, moment angular, moment d'una força) que reapareix en electromagnetisme, física atòmica i mecànica quàntica. D'altra banda, culmina en una de les síntesis més belles de la història de la ciència: l'explicació del moviment dels astres, on les tres lleis de Kepler emergeixen de la gravitació universal de Newton i de la conservació del moment angular sota forces centrals.

1. Cinemàtica del moviment de rotació

La cinemàtica de rotació descriu el moviment circular de la partícula sense atendre a les seues causes, emprant magnituds angulars anàlogues a les lineals.

Posició i desplaçament angular

Si una partícula gira en una circumferència de radi $R$, la seua posició queda fixada per l'angle $\theta$ que forma el radi amb una direcció de referència. Es mesura en radians (rad), definits pel quocient entre la longitud d'arc $s$ i el radi:

$$\theta = \frac{s}{R} \quad\Longrightarrow\quad s = \theta\,R$$

El radian és adimensional, la qual cosa permet recuperar la magnitud lineal (l'arc) a partir de l'angular. El desplaçament angular en un interval és $\Delta\theta = \theta_2 - \theta_1$.

Velocitat angular

La velocitat angular mesura la rapidesa amb què varia l'angle. El seu valor mitjà és $\omega_m = \Delta\theta/\Delta t$ i l'instantani, el límit corresponent:

$$\omega = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{d\theta}{dt}$$

La seua unitat en el SI és el radian per segon ($\mathrm{rad\,s^{-1}}$). És una magnitud vectorial: $\vec{\omega}$ es dirigeix al llarg de l'eix de gir, amb el sentit donat per la regla de la mà dreta. La velocitat lineal de la partícula s'obté mitjançant el producte vectorial

$$\vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r}, \qquad v = \omega\,R$$

de manera que $\vec{v}$ és sempre tangent a la trajectòria.

Acceleració angular

L'acceleració angular descriu la variació de la velocitat angular:

$$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}$$

mesurada en $\mathrm{rad\,s^{-2}}$. Es connecta amb les components intrínseques de l' acceleració lineal a través del radi:

$$a_t = \alpha\,R, \qquad a_n = \omega^2 R = \frac{v^2}{R}$$

La component tangencial $a_t$ reflecteix el canvi en el mòdul de la velocitat; la component normal o centrípeta $a_n$, el canvi continu de direcció, sempre present en tota trajectòria corba.

Moviments circulars d'especial interés

En el moviment circular uniforme (MCU) la velocitat angular és constant ($\alpha = 0$) i el moviment és periòdic:

$$\theta = \theta_0 + \omega\,t, \qquad T = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad f = \frac{1}{T}$$

on $T$ és el període i $f$ la freqüència. Fins i tot amb celeritat constant, existeix acceleració centrípeta $a_n = \omega^2 R$. En el moviment circular uniformement accelerat (MCUA), $\alpha$ és constant i les equacions són formalment idèntiques a les del MRUA substituint les magnituds lineals pels seus equivalents angulars:

$$\omega = \omega_0 + \alpha\,t, \qquad \theta = \theta_0 + \omega_0\,t + \tfrac{1}{2}\,\alpha\,t^2$$

2. Dinàmica del moviment de rotació

La dinàmica de rotació estudia les causes del gir. Les seues dues magnituds centrals són el moment angular i el moment d'una força, lligats per una equació fonamental anàloga a la segona llei de Newton.

Moment angular d'una partícula

El moment angular (o moment cinètic) d'una partícula respecte a un punt $O$ es defineix com el moment de la seua quantitat de moviment $\vec{p} = m\vec{v}$:

$$\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p} = m\,(\vec{r}\times\vec{v})$$

És un vector perpendicular al pla format per $\vec{r}$ i $\vec{v}$, amb unitat $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ (equivalent a $\mathrm{J\,s}$). El seu mòdul val $L = m\,r\,v\,\operatorname{sen}\varphi$, sent $\varphi$ l'angle entre $\vec{r}$ i $\vec{v}$. En el moviment circular, $\vec{r}$ i $\vec{v}$ són perpendiculars i, amb $\vec{r}$ mesurat des del centre,

$$L = m\,v\,R = m\,R^2\,\omega = I\,\omega$$

on $I = m\,R^2$ és el moment d'inèrcia de la partícula respecte a l'eix. Així, $\vec{L} = I\,\vec{\omega}$ és l'anàleg rotacional de la quantitat de moviment $\vec{p} = m\vec{v}$: el moment d'inèrcia exerceix en la rotació el paper que la massa juga en la translació.

Moment d'una força

El moment d'una força (o parell, o torque) respecte a un punt mesura la seua capacitat de produir rotació:

$$\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}$$

La seua unitat és el newton per metre ($\mathrm{N\,m}$) i el seu mòdul, $M = r\,F\,\operatorname{sen}\varphi = F\,d$, on $d = r\,\operatorname{sen}\varphi$ és el braç de la força (distància del punt a la recta d'acció). Una força la recta d'acció de la qual passa per $O$ té braç nul i, per tant, moment nul: no produeix gir al voltant d'eixe punt.

Equació fonamental de la dinàmica de rotació

Derivant el moment angular respecte al temps:

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{r}\times m\vec{v}) = \underbrace{\vec{v}\times m\vec{v}}_{=\,0} + \vec{r}\times m\vec{a} = \vec{r}\times\vec{F} = \vec{M}$$

El primer terme s'anul·la per ser el producte vectorial de dos vectors paral·lels. S'obté així l'equació fonamental de la dinàmica de rotació:

$$\vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt}$$

que estableix que el moment de les forces aplicades iguala la rapidesa de variació del moment angular. Per a la partícula en gir amb $I$ constant es redueix a la forma més familiar

$$\vec{M} = I\,\vec{\alpha}$$

l'anàleg exacte de $\vec{F} = m\vec{a}$. Esta equació és el pilar de tota la dinàmica de rotació.

3. Conservació del moment angular

De l'equació fonamental se segueix immediatament el principi de conservació del moment angular: si el moment net de les forces externes respecte a un punt és nul, el moment angular respecte a eixe punt roman constant.

$$\vec{M} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\vec{L}}{dt} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \vec{L} = \text{constant}$$

Este és un dels grans principis de conservació de la física, al mateix nivell que la conservació de l'energia i de la quantitat de moviment. Pel teorema de Noether, el seu origen profund és la isotropia de l'espai (la invariància de les lleis físiques enfront de rotacions).

Forces centrals

El cas més rellevant és el de les forces centrals: aquelles la direcció de les quals passa sempre per un punt fix, $\vec{F} \parallel \vec{r}$. Aleshores el seu moment respecte a eixe centre és nul, $\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F} = 0$, i el moment angular es conserva. D'això es dedueixen dues conseqüències geomètriques importants:

• Com que $\vec{L} = m(\vec{r}\times\vec{v})$ és constant en direcció, els vectors $\vec{r}$ i $\vec{v}$ estan sempre en un mateix pla: el moviment és pla.
• El mòdul constant de $\vec{L}$ implica que la partícula escombra àrees iguals en temps iguals (velocitat areolar constant), com es detalla en l' apartat següent.

La gravitació i la força electrostàtica de Coulomb són forces centrals, la qual cosa converteix este resultat en la clau del moviment planetari i del model atòmic. Exemples quotidians de conservació —el patinador que arreplega els braços i augmenta la seua velocitat de gir en disminuir el seu moment d'inèrcia, o el porter en l'aire— il·lustren com, amb $\vec{M} = 0$, un canvi d'$I$ obliga a un canvi compensatori d'$\omega$ per a mantindre $L = I\omega$ constant.

4. Aplicació al moviment dels astres

L'aplicació històricament decisiva de tot l'anterior és l'explicació del moviment dels planetes. Al segle XVI Copèrnic va proposar el model heliocèntric; a començaments del XVII Johannes Kepler, analitzant les precises observacions de Tycho Brahe, va formular tres lleis empíriques del moviment planetari. Dècades després Isaac Newton va demostrar que eixes tres lleis són conseqüència d'una única causa: la llei de gravitació universal.

La gravetat com a força central

La força gravitatòria que el Sol (massa $M$) exerceix sobre un planeta (massa $m$) és

$$\vec{F} = -\,G\,\frac{M\,m}{r^2}\,\vec{u}_r$$

dirigida sempre cap al Sol: és una força central. Per tant el seu moment respecte al Sol és nul i el moment angular del planeta es conserva. D'ací deriven directament les dues primeres lleis de Kepler.

Lleis de Kepler

Primera llei (òrbites). Els planetes descriuen òrbites el·líptiques amb el Sol situat en un dels focus. La conservació del moment angular garanteix que el moviment és pla; l'anàlisi dinàmica completa sota la força $\propto 1/r^2$ demostra que la trajectòria lligada és una el·lipse.

Segona llei (àrees). El radi vector que uneix el Sol amb el planeta escombra àrees iguals en temps iguals. En un interval $dt$, l'àrea escombrada és

$$dA = \tfrac{1}{2}\,|\vec{r}\times d\vec{r}| = \tfrac{1}{2}\,|\vec{r}\times\vec{v}|\,dt$$

de manera que la velocitat areolar resulta

$$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}\,|\vec{r}\times\vec{v}| = \frac{L}{2m} = \text{constant}$$

És, doncs, una conseqüència immediata de la conservació del moment angular. El seu efecte observable és que el planeta es mou més ràpid en el periheli (punt més pròxim al Sol) i més lent en l'afeli. Entre eixos dos punts, on $\vec{r}\perp\vec{v}$, la conservació de $L$ imposa

$$v_p\,r_p = v_a\,r_a$$

Tercera llei (períodes o llei harmònica). El quadrat del període orbital és proporcional al cub del semieix major $a$ de l'òrbita:

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,a^3$$

Per a una òrbita circular es dedueix amb senzillesa igualant la força gravitatòria a la força centrípeta:

$$G\,\frac{M\,m}{r^2} = m\,\omega^2\,r = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r \quad\Longrightarrow\quad T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3$$

La constant $4\pi^2/(GM)$ és la mateixa per a tots els cossos que orbiten un mateix astre central, la qual cosa permet «pesar» estreles i planetes a partir dels períodes i radis dels seus satèl·lits. Esta síntesi newtoniana —una mateixa llei governa la caiguda d'una poma i l'òrbita de la Lluna— constitueix un dels majors èxits de la física clàssica i sustenta hui la mecànica orbital de satèl·lits i sondes espacials.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE, la introducció al moviment circular s'aborda en l' ESO (Real Decreto 217/2022) dins de la matèria de Física i Química, mentre que la dinàmica de rotació, el moment angular i les lleis de Kepler es desenvolupen amb formalisme vectorial en 1r i 2n de Batxillerat (currículum regulat pel Real Decreto 243/2022). El tema és idoni per a la competència STEM i per a plantejar situacions d'aprenentatge en contextos motivadors: satèl·lits de comunicacions, el GPS, l'Estació Espacial Internacional o el llançament de sondes mitjançant maniobres d'assistència gravitatòria.

Convé anticipar les idees prèvies i errors freqüents:

• Confondre velocitat angular i velocitat lineal: punts amb la mateixa $\omega$ (per exemple, dues posicions d'una plataforma giratòria) tenen distinta $v$ segons el seu radi.
• Creure que en el MCU no hi ha acceleració perquè la celeritat és constant; en realitat existeix acceleració centrípeta permanent.
• Postular una «força centrífuga» real que empeny cap a fora; es tracta d'un efecte inercial en sistemes no inercials, no d'una força d'interacció.
• Pensar que els planetes van més ràpid com més lluny estan del Sol, quan la segona llei de Kepler implica exactament el contrari.

L'ús de simulacions interactives (per exemple, les del projecte PhET), plataformes giratòries, tamborets i rodes de bicicleta per a mostrar la conservació del moment angular, i l'anàlisi de dades orbitals reals, resulten especialment eficaços per a consolidar estos conceptes.

Conclusió

El moviment de rotació d'una partícula es descriu amb un joc de magnituds angulars —posició, velocitat i acceleració angulars— paral·lel al de la translació, i es governa dinàmicament per l'equació $\vec{M} = d\vec{L}/dt$, anàloga a la segona llei de Newton. D'ella es desprén la conservació del moment angular quan el moment extern s'anul·la, situació que es dona de forma natural en les forces centrals. Esta conservació explica el caràcter pla de les òrbites i la llei d'àrees, i, unida a la gravitació universal, permet deduir les tres lleis de Kepler que regeixen el moviment dels astres. El tema enllaça així la mecànica de la partícula amb l'astronomia i assenta les bases per a l'estudi posterior del sòlid rígid, del camp gravitatori i de la dinàmica de sistemes.