Tema 5

La dinàmica és la part de la mecànica que estudia el moviment atenent a les seues causes, les forces. Mentre que la cinemàtica es limita a descriure com es mouen els cossos, la dinàmica respon a la pregunta de per què ho fan i permet predir el moviment a partir de les interaccions. La seua formulació per Isaac Newton en 1687 constitueix un dels majors èxits de la història de la ciència: per primera vegada un mateix conjunt de lleis explicava tant la caiguda d'una poma com el moviment dels planetes, unificant la física terrestre i la celeste.

Este tema ocupa un lloc central en el bloc de mecànica: parteix de l'evolució històrica del concepte de força, estableix els principis de la dinàmica de la partícula, enuncia les tres lleis de Newton, dedueix d'elles el principi de conservació del moment lineal i mostra les seues aplicacions. És, a més, un contingut de gran valor formatiu, perquè el seu recorregut històric il·lustra a la perfecció com progressa el coneixement científic enfront de les idees intuïtives.

1. Evolució històrica de la relació força-moviment

La manera en què s'ha entés la relació entre força i moviment va canviar radicalment al llarg de la història, i la seua anàlisi és un magnífic exemple de com la ciència supera el sentit comú.

Aristòtil (segle IV a. C.). En la física aristotèlica es distingia el moviment natural (la caiguda dels greus cap al seu lloc natural) del violent, provocat per un agent extern. La idea central —que va dominar durant gairebé dos mil anys— era que per a mantindre un cos en moviment cal aplicar contínuament una força; sense ella, el cos es deté. Esta concepció, que associa força amb velocitat, és coherent amb l'experiència quotidiana (un carro es para si deixem d'empényer-lo) però ignora el paper del fregament.

La teoria de l'ímpetu (segles VI–XIV). Joan Filopó primer, i sobretot Jean Buridan al segle XIV, van qüestionar Aristòtil: van proposar que en llançar un cos se li transmet un ímpetus, una qualitat interna que el manté en moviment i que es va esgotant. Era un pas intermedi, precursor llunyà dels conceptes d'inèrcia i de quantitat de moviment.

Galileo Galilei (1564–1642). Amb l'estudi del pla inclinat i els seus experiments mentals, Galileu va introduir el germen del principi d'inèrcia: un cos sobre una superfície horitzontal sense fregament mantindria indefinidament la seua velocitat. Així, la força no és la causa del moviment, sinó del seu canvi. Va formular també el principi de relativitat: les lleis de la mecànica són les mateixes en tots els sistemes de referència que es mouen amb velocitat constant uns respecte dels altres.

René Descartes (1596–1650). Va enunciar la conservació de la quantitat de moviment de l'univers i una primera versió de la llei d'inèrcia amb trajectòria rectilínia, aportacions que Newton integraria després.

Isaac Newton (1642–1727). En els Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687), Newton va culminar esta evolució sintetitzant les aportacions de Galileu, Descartes, Huygens i Kepler en tres lleis que funden la mecànica clàssica i que, junt amb la llei de gravitació universal, expliquen el moviment dels cossos en la Terra i en el cosmos amb una mateixa estructura matemàtica.

2. Dinàmica de la partícula

La dinàmica de la partícula estudia el moviment d'un cos les dimensions del qual poden menysprear-se enfront de les distàncies implicades (model de partícula o punt material), de manera que el seu estat queda descrit per una única posició, velocitat i acceleració.

Força. És tota interacció capaç de modificar l'estat de moviment d'un cos (deformant-lo o canviant la seua velocitat). És una magnitud vectorial; la seua unitat en el SI és el newton ($1\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{kg\,m\,s^{-2}}$). Les forces poden ser de contacte (fregament, tensió, normal) o a distància (gravitatòria, elèctrica, magnètica). Tota la varietat d'interaccions es redueix a quatre interaccions fonamentals: gravitatòria, electromagnètica, nuclear forta i nuclear feble.

Massa inercial. És la mesura de la resistència d'un cos a canviar el seu estat de moviment, és a dir, de la seua inèrcia. És una magnitud escalar que en la mecànica clàssica es considera constant i independent del sistema de referència.

Moment lineal o quantitat de moviment. Concepte clau de la dinàmica, introduït per a caracteritzar l'"estat de moviment" d'una partícula. Es defineix com el producte de la massa per la velocitat:

$$\vec{p} = m\,\vec{v}$$

És un vector amb la direcció i el sentit de la velocitat; la seua unitat en el SI és $\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$. La seua importància rau en què, com veurem, és la magnitud que es conserva en un sistema aïllat, i en què la mateixa segona llei de Newton es formula amb major generalitat en termes de $\vec{p}$.

3. Lleis de Newton

Les tres lleis de Newton són els axiomes de la dinàmica clàssica. S'enuncien per a un observador situat en un sistema de referència inercial (aquell que no està accelerat).

Primera llei: principi d'inèrcia

Tot cos roman en el seu estat de repòs o de moviment rectilini uniforme, llevat que una força neta l'obligue a canviar d'estat. En llenguatge del moment lineal:

$$\text{si}\quad \sum \vec{F} = \vec{0} \quad\Rightarrow\quad \vec{v} = \text{cte}$$

La primera llei defineix implícitament els sistemes de referència inercials i consagra la idea galileana que el moviment uniforme no requereix causa; només el canvi de velocitat l'exigeix. La tendència dels cossos a mantindre el seu estat de moviment és la inèrcia.

Segona llei: principi fonamental de la dinàmica

La força neta que actua sobre una partícula és igual a la variació temporal del seu moment lineal:

$$\sum \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$$

Si la massa és constant, $\vec{p} = m\vec{v}$ i s'obté la forma més coneguda:

$$\sum \vec{F} = m\,\frac{d\vec{v}}{dt} = m\,\vec{a}$$

Esta llei és una relació causal i vectorial: relaciona la causa (força neta) amb l'efecte (acceleració), que tenen sempre la mateixa direcció i sentit. La formulació en termes de $d\vec{p}/dt$ és més general perquè abasta també sistemes de massa variable (com un coet). La primera llei és un cas particular de la segona quan $\sum\vec{F} = \vec{0}$.

Tercera llei: principi d'acció i reacció

Quan un cos A exerceix una força sobre un altre B, B exerceix sobre A una altra força d' igual mòdul i direcció però de sentit oposat:

$$\vec{F}_{AB} = -\,\vec{F}_{BA}$$

Les forces d'acció i reacció actuen sobre cossos diferents, per la qual cosa mai s'anul·len entre si (no es poden sumar per a calcular la resultant sobre un mateix cos). Esta distinció és una de les majors fonts de confusió de l'alumnat. La tercera llei expressa que les forces són sempre el resultat d'una interacció mútua.

Principi de superposició

Quan sobre una partícula actuen diverses forces, el seu efecte conjunt equival al d' una única força resultant igual a la suma vectorial de totes elles, $\sum\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots$. Això permet descompondre els problemes per eixos i resoldre'ls component a component.

4. Principi de conservació del moment lineal

Considerem un sistema de partícules. Les forces que actuen sobre elles es classifiquen en internes (entre partícules del sistema) i externes (exercides des de fora). Per la tercera llei, les forces internes es cancel·len per parells, de manera que la seua suma total és nul·la. El moment lineal total del sistema és $\vec{P} = \sum_i \vec{p}_i$, i aplicant la segona llei al conjunt:

$$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = \frac{d\vec{P}}{dt}$$

D'ací es dedueix el principi de conservació del moment lineal: si la resultant de les forces externes és nul·la (sistema aïllat), el moment lineal total roman constant:

$$\text{si}\quad \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} \quad\Rightarrow\quad \vec{P} = \sum_i m_i\,\vec{v}_i = \text{cte}$$

És una de les lleis de conservació més fonamentals de la física: es compleix fins i tot en dominis on la mecànica newtoniana falla (relativitat, mecànica quàntica), i està lligada, pel teorema de Noether, a l'homogeneïtat de l'espai.

Col·lisions

La conservació del moment lineal és l'eina central per a analitzar xocs, en què les forces externes són menyspreables enfront de les internes durant el breu temps d'interacció. En una col·lisió entre dos cossos:

$$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1\,' + m_2\vec{v}_2\,'$$

Segons es conserve o no l'energia cinètica, es distingeixen els xocs elàstics (es conserva $E_c$), inelàstics (part de $E_c$ es dissipa) i perfectament inelàstics (els cossos queden units després del xoc). El moment lineal es conserva en tots ells.

5. Aplicacions

Les lleis de Newton s'apliquen mitjançant un diagrama de sòlid lliure (o de cos lliure): s'aïllen els cossos, es dibuixen totes les forces que actuen sobre cadascun i es planteja $\sum\vec{F} = m\vec{a}$ per eixos.

Forces mecàniques habituals.

• Pes: força gravitatòria terrestre, $\vec{P} = m\vec{g}$, amb $g \approx 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$.
• Normal ($\vec{N}$): reacció perpendicular d'una superfície de suport.
• Tensió ($\vec{T}$): força transmesa per cordes i cables.
• Fregament: s'oposa al lliscament; en el cas dinàmic $F_r = \mu\,N$, on $\mu$ és el coeficient de fregament.

Pla inclinat. Per a un bloc sobre una rampa d'angle $\theta$, el pes es descompon en una component paral·lela al pla, $mg\sin\theta$, i una altra perpendicular, $mg\cos\theta$. Si no hi ha fregament, l'acceleració de baixada és:

$$a = g\sin\theta$$

Dinàmica del moviment circular. Tot moviment circular requereix una força neta dirigida cap al centre, la força centrípeta, responsable de l'acceleració normal:

$$F_c = m\,a_n = \frac{m\,v^2}{R} = m\,\omega^2 R$$

No és una força "nova", sinó la resultant de les forces reals (tensió, fregament, gravetat...) que apunta al centre. Això explica les corbes peraltades, l'òrbita dels satèl·lits o el gir d'un objecte lligat a una corda.

Impuls mecànic. Integrant la segona llei respecte al temps s'obté el teorema de l'impuls-moment lineal: l'impuls d'una força iguala la variació del moment lineal:

$$\vec{I} = \int \vec{F}\,dt = \Delta\vec{p}$$

És la base del disseny de sistemes de seguretat (airbag, zones de deformació): en augmentar el temps d'interacció, es redueix la força per a un mateix canvi de moment.

Propulsió i retrocés. La conservació del moment explica el retrocés d'una arma, el salt des d'una barca o, sobretot, la propulsió a reacció: un coet expulsa gasos cap arrere i, per a conservar el moment total, adquireix velocitat cap avant. És una aplicació directa de la formulació $\sum\vec{F} = d\vec{p}/dt$ a un sistema de massa variable.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE (Real Decreto 217/2022), les forces i les lleis de Newton s' introdueixen de forma qualitativa en l'ESO i es formalitzen quantitativament en 4t d'ESO i en 1r de Batxillerat, dins de la matèria de Física i Química. El recorregut històric del tema és un vehicle excel·lent per a treballar els sabers bàsics relatius a la naturalesa de la ciència i el seu caràcter provisional, i per a desenvolupar la competència STEM mitjançant la resolució de problemes i la pràctica experimental (pla inclinat, dinamòmetres, sensors de força, carrils d'aire).

És un tema especialment ric en idees prèvies i errors freqüents d'arrel aristotèlica que convé anticipar:

• Creure que un cos en moviment porta sempre una força en el sentit del moviment (concepció "ímpetus"), quan un mòbil amb velocitat constant té força neta nul·la.
• Confondre les forces d'acció i reacció amb un parell de forces que s'equilibren sobre el mateix cos.
• Identificar força amb velocitat en lloc d'amb acceleració.
• Considerar la força centrípeta com una força addicional en compte de la resultant de les forces reals.

L'anàlisi d'estes concepcions alternatives, la construcció sistemàtica de diagrames de cos lliure i les pràctiques amb sensors d'adquisició de dades són estratègies eficaces per a aconseguir un aprenentatge significatiu i desenvolupar el pensament científic.

Conclusió

La relació entre força i moviment va recórrer un llarg camí des de la física aristotèlica —força com a causa de la velocitat— fins a la síntesi newtoniana —força com a causa del canvi de velocitat—, amb Galileu i el seu principi d' inèrcia com a frontissa decisiva. Les tres lleis de Newton constitueixen els axiomes de la dinàmica de la partícula: defineixen els sistemes inercials, relacionen força i acceleració a través del moment lineal i estableixen el caràcter mutu de les interaccions. D'elles es deriva el principi de conservació del moment lineal, llei fonamental que transcendeix la mateixa mecànica clàssica i que, junt amb les tècniques de resolució (diagrames de cos lliure, anàlisi de col·lisions, teorema de l'impuls), permet abordar una enorme varietat de situacions. Este armaó conceptual és el fonament sobre el qual es construeixen la dinàmica dels sistemes, la mecànica de l'energia i l'estudi de les interaccions gravitatòria i electromagnètica que segueixen en el temari.