Tema 4

La cinemàtica és la part de la mecànica que descriu el moviment dels cossos sense atendre a les causes que el produeixen; l'estudi d'eixes causes —les forces— correspon a la dinàmica. Constitueix el llenguatge bàsic amb què es formula tota la mecànica i, pel seu caràcter operatiu i experimental, és un dels primers blocs de contingut físic que l'alumnat aborda amb rigor quantitatiu. En este tema s'estableixen les magnituds que descriuen el moviment, s'analitzen els moviments d'especial interés i es revisen els mètodes experimentals per al seu estudi.

Convé subratllar d'entrada que tot moviment és relatiu: només té sentit referit a un sistema de referència. Va ser Galileu qui, al segle XVII, va assentar les bases de la cinemàtica moderna amb el seu estudi del pla inclinat i el seu principi de relativitat; Newton l'integraria després en la seua formulació de la mecànica.

1. Elements per a la descripció del moviment

Sistema de referència i vector de posició

Descriure un moviment exigeix fixar un sistema de referència: un origen i uns eixos respecte als quals es mesuren les posicions, més un rellotge que mesure el temps. La posició d'una partícula queda determinada pel vector de posició:

$$\vec{r}(t) = x(t)\,\vec{i} + y(t)\,\vec{j} + z(t)\,\vec{k}$$

La trajectòria és la corba que descriu l'extrem de $\vec{r}(t)$ al llarg del temps. Segons siga recta o corba, parlem de moviments rectilinis o curvilinis.

Desplaçament i espai recorregut

El desplaçament entre dos instants és la variació del vector de posició:

$$\Delta\vec{r} = \vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1)$$

No s'ha de confondre amb l'espai recorregut $\Delta s$, que és la longitud de la trajectòria (una magnitud escalar). Només coincideixen en mòdul quan el moviment és rectilini i sense canvi de sentit. Distingir tots dos és una de les dificultats habituals de l'alumnat.

Velocitat

La velocitat mitjana és el quocient entre el desplaçament i l'interval de temps, $\vec{v}_m = \dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$. La velocitat instantània s'obté en el límit $\Delta t \to 0$:

$$\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}$$

És un vector tangent a la trajectòria en cada punt; el seu mòdul, $v = |\vec{v}|$, s'anomena celeritat o rapidesa. La seua unitat en el SI és el metre per segon ($\mathrm{m\,s^{-1}}$).

Acceleració

L'acceleració mesura la rapidesa amb què canvia la velocitat, tant en mòdul com en direcció:

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$$

Resulta especialment útil descompondre-la en les seues components intrínseques, segons dues direccions lligades a la mateixa trajectòria: la tangencial (en la direcció de $\vec{v}$) i la normal o centrípeta (perpendicular, cap al centre de curvatura):

$$\vec{a} = a_t\,\vec{u}_t + a_n\,\vec{u}_n, \qquad a_t = \frac{dv}{dt}, \qquad a_n = \frac{v^2}{R}$$

on $R$ és el radi de curvatura. La component tangencial $a_t$ dona compte del canvi en el mòdul de la velocitat; la component normal $a_n$, del canvi en la seua direcció. Així, un moviment amb celeritat constant però trajectòria corba ($a_t = 0$, $a_n \neq 0$) sí que està accelerat: és el cas del moviment circular uniforme.

2. Moviments d'especial interés

Moviment rectilini uniforme (MRU)

Trajectòria recta i velocitat constant ($\vec{a} = 0$). L'equació de moviment és lineal en el temps:

$$x = x_0 + v\,t$$

Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA)

Trajectòria recta i acceleració constant. Les seues equacions són:

$$v = v_0 + a\,t, \qquad x = x_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$$

Eliminant el temps entre totes dues s'obté una relació molt útil que no depén de $t$:

$$v^2 = v_0^2 + 2\,a\,(x - x_0)$$

Un cas particular fonamental és la caiguda lliure i el tir vertical, en què l'acceleració és la de la gravetat, $g \approx 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, dirigida cap al centre de la Terra. Galileu va demostrar que, menyspreant el fregament, tots els cossos cauen amb la mateixa acceleració amb independència de la seua massa.

Moviment circular

Quan la trajectòria és una circumferència, convé usar magnituds angulars: l'angle $\theta$, la velocitat angular $\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$ i l'acceleració angular $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$. Es relacionen amb les magnituds lineals a través del radi $R$:

$$v = \omega R, \qquad a_t = \alpha R, \qquad a_n = \omega^2 R = \frac{v^2}{R}$$

En el moviment circular uniforme (MCU), $\omega$ és constant i el moviment és periòdic, caracteritzat pel període $T$ i la freqüència $f$:

$$T = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad f = \frac{1}{T}$$

Encara que la celeritat siga constant, existeix acceleració centrípeta $a_n = v^2/R$ dirigida al centre. En el moviment circular uniformement accelerat (MCUA), $\alpha$ és constant i les equacions són anàlogues a les del MRUA substituint les magnituds lineals pels seus equivalents angulars.

Composició de moviments: el tir parabòlic

El principi d'independència de moviments de Galileu permet tractar el moviment en el pla com a superposició de dos moviments simultanis i independents. En el tir parabòlic, un cos llançat amb velocitat inicial $v_0$ i angle $\theta$ combina un MRU horitzontal i un MRUA vertical:

$$x = v_0\cos\theta\;t, \qquad y = v_0\sin\theta\;t - \tfrac{1}{2}\,g\,t^2$$

D'ací es dedueixen l'abast, l'altura màxima i el temps de vol. La trajectòria resultant és una paràbola.

Moviment harmònic simple (MHS)

Moviment periòdic al voltant d'una posició d'equilibri, descrit per una funció sinusoïdal:

$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi), \qquad a = -\omega^2 x$$

El seu tret definitori és que l'acceleració és proporcional i oposada a l'elongació. Apareix en pèndols i sistemes massa-molla i serveix de pont cap a l'estudi de les oscil·lacions i les ones (temes posteriors del bloc).

3. Mètodes per a l'estudi experimental del moviment

La cinemàtica és, històricament, la primera física veritablement quantitativa, i el seu ensenyament guanya molt amb el treball experimental. Les tècniques han evolucionat des del pla inclinat de Galileu —que "diluïa" la gravetat per a poder mesurar temps amb rellotges d'aigua— fins a la instrumentació digital actual.

• Mesura directa d'espai i temps. Cinta mètrica i cronòmetre permeten determinar velocitats mitjanes; la seua principal limitació és l'error humà en la mesura de temps curts.
• Cinta de temps (ticòmetre). Un vibrador marca punts a intervals regulars (per exemple, cada $1/50\ \mathrm{s}$) sobre una cinta arrossegada pel mòbil; la separació entre marques dona la velocitat i la seua variació, l' acceleració.
• Fotografia estroboscòpica. Il·luminant amb flaixos periòdics es registren sobre una mateixa imatge posicions equiespaiades en el temps.
• Sensors amb adquisició de dades. Les fotoportes (photogates) mesuren amb gran precisió intervals de temps; els sensors d'ultrasons (sonar) registren la posició en temps real i tracen les gràfiques $x\text{–}t$, $v\text{–}t$ i $a\text{–}t$.
• Videoanàlisi. Programes lliures com Tracker permeten obtindre les coordenades d'un mòbil fotograma a fotograma a partir d'un vídeo, i ajustar després les equacions del moviment.

En tots els casos, l'anàlisi de dades inclou la representació gràfica, la linealització quan escau i l'ajust de rectes o paràboles, així com l'estimació d'incerteses.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE (Real Decreto 217/2022), la cinemàtica s'aborda de forma introductòria en l'ESO i es formalitza en 4t d'ESO i en 1r de Batxillerat dins de la matèria de Física i Química. És un contingut idoni per a desenvolupar la competència STEM i la competència digital, i per a plantejar situacions d'aprenentatge al voltant de contextos quotidians (seguretat viària, esport) que exigeixen mesurar, modelitzar i predir.

Convé anticipar les idees prèvies i errors freqüents: confondre posició, velocitat i acceleració; associar velocitat nul·la a acceleració nul·la (fals en el punt més alt d'un tir vertical); o creure que un cos pesat cau més de pressa. L'ús de sensors i de videoanàlisi, junt amb la interpretació de gràfiques, resulta especialment eficaç per a corregir estes concepcions alternatives.

Conclusió

La cinemàtica proporciona el marc descriptiu del moviment a partir de tres magnituds vectorials —posició, velocitat i acceleració— i del sistema de referència que els dona sentit. L'anàlisi dels moviments d'especial interés (MRU, MRUA, circular, parabòlic i harmònic simple) i la descomposició de l'acceleració en les seues components intrínseques constitueixen les eines centrals, mentre que els mètodes experimentals connecten la teoria amb la mesura. Este armaó conceptual és la base sobre la qual s'alça la dinàmica i, més endavant, l'estudi de les oscil·lacions i les ones.