Tema 11

La dinàmica de fluids és la part de la mecànica que estudia el moviment dels fluids —líquids i gasos— i les forces associades a ell. Enfront de l'estàtica de fluids, que analitza el repòs (pressió hidrostàtica, principis de Pascal i d' Arquímedes), ací interessa el fluid en circulació: com es conserva la seua massa en avançar per conductes de secció variable, com es distribueix la seua energia i què distingeix un flux ordenat d'un altre de caòtic. És un tema amb una densitat conceptual notable i, sobretot, amb una enorme projecció pràctica: explica des del vol d'un avió o el funcionament d'un carburador fins a la circulació de la sang per les nostres artèries.

Dues hipòtesis simplificadores vertebren el tema. Primer, el model de fluid ideal (incompressible i sense viscositat), que permet deduir les dues equacions fonamentals —continuïtat i Bernoulli— com a expressions de la conservació de la massa i de l'energia. Després, la introducció de la viscositat, que obliga a distingir entre règim laminar i turbulent i acosta el model als fluids reals. Van ser Euler qui va formular les equacions del fluid ideal al segle XVIII i Daniel Bernoulli qui, en la seua Hydrodynamica (1738), va establir la relació energètica que porta el seu nom.

1. Dinàmica de fluids: conceptes fonamentals

Un fluid és una substància que no suporta esforços tallants en repòs i que, per tant, flueix i adopta la forma del recipient que el conté. Els líquids són pràcticament incompressibles; els gasos, molt compressibles. Per a descriure el seu moviment s'adopta la hipòtesi del continu: s'ignora l'estructura molecular i es tracta el fluid com un medi continu caracteritzat per camps de densitat $\rho$, pressió $P$ i velocitat $\vec{v}$ definits en cada punt.

El fluid ideal

El model de partida idealitza el fluid amb quatre propietats:

• Incompressible: la seua densitat $\rho$ és constant.
• No viscós: no hi ha fregament intern entre capes ni amb les parets.
• En règim estacionari: en cada punt, la velocitat no canvia amb el temps (encara que sí que pot variar d'un punt a un altre).
• Irrotacional: no hi ha remolins; les partícules no giren sobre si mateixes.

Descripció del flux

En règim estacionari, cada partícula que passa per un punt ho fa amb la mateixa velocitat, de manera que les trajectòries coincideixen amb les línies de corrent: corbes tangents en cada punt al vector velocitat. Un feix de línies de corrent que es recolza en una corba tancada delimita un tub de corrent, que es comporta com una "canonada virtual": el fluid no travessa les seues parets laterals.

Una magnitud central és el cabal o cabal volumètric $Q$, el volum de fluid que travessa una secció per unitat de temps. Si el fluid avança amb velocitat $v$ perpendicular a una secció d'àrea $A$:

$$Q = \frac{dV}{dt} = A\,v$$

La seua unitat en el SI és el metre cúbic per segon ($\mathrm{m^3\,s^{-1}}$). El producte $\rho\,Q$ és el cabal màssic ($\mathrm{kg\,s^{-1}}$).

2. L'equació de continuïtat

L'equació de continuïtat no és més que la conservació de la massa aplicada a un tub de corrent. Considerem un tram entre dues seccions d'àrees $A_1$ i $A_2$. En règim estacionari no s'acumula massa a l'interior, de manera que la massa que entra per unitat de temps per $1$ és igual a la que ix per $2$:

$$\rho_1\,A_1\,v_1 = \rho_2\,A_2\,v_2$$

Per a un fluid incompressible ($\rho_1 = \rho_2$), la densitat es cancel·la i l' expressió es redueix a la conservació del cabal volumètric:

$$A_1\,v_1 = A_2\,v_2 = Q = \text{constant}$$

La conseqüència és contundent i contraintuïtiva per a l'alumnat: on el conducte s'estreta, el fluid s'accelera, i viceversa. És el que ocorre en tapar parcialment la boca d'una mànega amb el dit, i el que explica l' aprimament d'un raig d'aigua a mesura que cau i guanya velocitat.

En la seua forma diferencial i general, la conservació de la massa s'escriu com una equació de camp vàlida en tot punt:

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho\,\vec{v}) = 0$$

que per a flux incompressible es redueix a $\nabla \cdot \vec{v} = 0$ (camp de velocitats de divergència nul·la).

3. L'equació de Bernoulli

Si l'equació de continuïtat expressa la conservació de la massa, l'equació de Bernoulli expressa la conservació de l'energia per a un fluid ideal al llarg d'una línia de corrent. Aplicant el teorema del treball i l'energia a un element de fluid —el treball de les forces de pressió iguala la variació d' energia cinètica i potencial gravitatòria— s'obté:

$$P + \tfrac{1}{2}\,\rho\,v^2 + \rho\,g\,h = \text{constant}$$

o, entre dos punts de la mateixa línia de corrent:

$$P_1 + \tfrac{1}{2}\,\rho\,v_1^2 + \rho\,g\,h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\,\rho\,v_2^2 + \rho\,g\,h_2$$

Cada terme té dimensions de pressió (energia per unitat de volum):

• $P$ és la pressió estàtica, la que exerceix el fluid sobre les parets.
• $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ és la pressió dinàmica, associada al moviment.
• $\rho g h$ és la pressió hidrostàtica, associada a l'altura.

L'equació és vàlida sota les hipòtesis del fluid ideal: incompressible, no viscós i en règim estacionari. En un conducte horitzontal ($h_1 = h_2$) resulta especialment clara:

$$P_1 + \tfrac{1}{2}\,\rho\,v_1^2 = P_2 + \tfrac{1}{2}\,\rho\,v_2^2$$

D'ací es dedueix l'anomenat efecte Venturi: en combinar-la amb l'equació de continuïtat, on el fluid s'accelera (secció menor) la pressió estàtica disminueix. És a dir, major velocitat implica menor pressió, un resultat que xoca amb la intuïció i que convé subratllar.

Teorema de Torricelli

Un cas particular històric és el teorema de Torricelli (1643): la velocitat d'eixida d'un líquid per un orifici situat a una profunditat $h$ sota la superfície lliure d'un depòsit obert és

$$v = \sqrt{2\,g\,h}$$

la mateixa que aconseguiria un cos en caiguda lliure des d'eixa altura. S'obté aplicant Bernoulli entre la superfície lliure i l'orifici, ambdós a pressió atmosfèrica.

4. Règim laminar i turbulent

El model de fluid ideal ignora el fregament intern. En els fluids reals existeix viscositat $\eta$: una resistència al lliscament entre capes contigües. Newton la va quantificar mitjançant la relació entre l'esforç tallant $\tau$ i el gradient de velocitat transversal:

$$\tau = \eta\,\frac{dv}{dy}$$

La seua unitat en el SI és el pascal per segon ($\mathrm{Pa\,s}$). Els fluids que compleixen esta llei amb $\eta$ constant s'anomenen newtonians (aigua, aire); altres, com la sang, s'aparten d'ella i són no newtonians.

Segons la viscositat, la velocitat i la geometria, el flux adopta dos règims:

• Règim laminar: el fluid es mou en capes o làmines paral·leles que es llisquen de forma ordenada, sense mesclar-se. Les línies de corrent són suaus i estables.
• Règim turbulent: el moviment és caòtic i irregular, amb remolins (vòrtexs) i mescla transversal. L'energia es dissipa amb molta major rapidesa.

Nombre de Reynolds

Osborne Reynolds (1883) va caracteritzar la transició mitjançant un nombre adimensional que compara les forces d'inèrcia amb les viscoses:

$$\mathrm{Re} = \frac{\rho\,v\,D}{\eta} = \frac{v\,D}{\nu}$$

on $D$ és una longitud característica (el diàmetre en una canonada) i $\nu = \eta/\rho$ la viscositat cinemàtica. Per al flux en conductes cilíndrics, per davall de $\mathrm{Re} \approx 2000$ el règim és laminar; per damunt d'uns $4000$, turbulent; i al mig hi ha una zona de transició inestable.

Llei de Poiseuille

En règim laminar, el flux d'un fluid viscós per un conducte cilíndric de radi $r$ i longitud $L$ obeeix la llei de Hagen-Poiseuille:

$$Q = \frac{\pi\,r^4\,\Delta P}{8\,\eta\,L}$$

La dependència amb la quarta potència del radi és notabilíssima: reduir el radi a la meitat divideix el cabal per setze (a igual diferència de pressió). Per analogia amb la llei d'Ohm, es defineix una resistència hidrodinàmica $R_h$ tal que la diferència de pressió fa de "força impulsora":

$$\Delta P = Q\,R_h, \qquad R_h = \frac{8\,\eta\,L}{\pi\,r^4}$$

Així, un fluid real perd pressió en circular per un conducte (pèrdua de càrrega) per efecte de la viscositat, cosa que l'equació de Bernoulli ideal no contempla.

5. Aplicacions tecnològiques i al sistema cardiovascular

Dispositius tecnològics

Continuïtat i Bernoulli expliquen el funcionament de nombrosos dispositius:

• Mesurador de Venturi: un estretament en una canonada provoca una caiguda de pressió mesurable que permet calcular el cabal, ja que $P_1 - P_2 = \tfrac{1}{2}\rho\,(v_2^2 - v_1^2)$.
• Tub de Pitot: mesura la velocitat d'un fluid (o d'una aeronau respecte a l' aire) comparant la pressió estàtica amb la de repòs.
• Polvoritzadors, aerògrafs i carburadors: un raig d'aire ràpid crea una depressió que xucla el líquid (efecte Venturi).
• Sustentació de l'ala d'un avió: la diferència de pressió entre l'extradós (flux ràpid, menor pressió) i l'intradós contribueix a la força de sustentació. Convé matisar que l'explicació només per Bernoulli és incompleta: intervenen també la desviació del flux i la tercera llei de Newton (angle d'atac).
• Efecte xemeneia i ventilació: el vent sobre una obertura redueix la pressió i afavoreix el tir.

El sistema cardiovascular humà

La circulació sanguínia és un magnífic exemple integrador. El cor actua com una bomba que manté la diferència de pressió necessària per a impulsar la sang per una xarxa de vasos.

• Equació de continuïtat: encara que cada capil·lar és finíssim, el seu nombre és enorme, de manera que la secció total del llit capil·lar és molt major que la de l'aorta. Per continuïtat ($A\,v = \text{constant}$), la sang circula molt a poc a poc pels capil·lars, la qual cosa afavoreix l'intercanvi de gasos i nutrients. És un punt que sol sorprendre: no van "més ràpids" per ser més estrets, perquè el que es conserva és el cabal total.
• Llei de Poiseuille i regulació: la resistència depén de $r^{-4}$, així que xicotets canvis en el radi de les arterioles (vasoconstricció o vasodilatació) modifiquen enormement el flux i la pressió arterial. És el principal mecanisme de regulació de la pressió sanguínia.
• Nombre de Reynolds i patologies: en condicions normals el flux sanguini és laminar i silenciós. Una estenosi (estretament per plaques d' ateroma) accelera el flux local i pot tornar-lo turbulent, generant bufits audibles; a més, per Bernoulli, la caiguda de pressió en l'estretament pot afavorir el col·lapse del vas o el creixement d'un aneurisma en zones dilatades (on la velocitat baixa i la pressió puja).
• Mesura de la pressió arterial: l'esfigmomanòmetre aprofita justament l'aparició de flux turbulent. En desinflar el maniguet, els sorolls de Korotkoff —turbulències— marquen les pressions sistòlica i diastòlica.

La sang, a més, és un fluid no newtonià (la seua viscositat depén de l' hematòcrit i de la velocitat de deformació), la qual cosa enriqueix —i complica— el model, encara que per a molts fins l'aproximació de Poiseuille resulta suficient.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE (Real Decreto 217/2022), els fluids entren de forma qualitativa i semiquantitativa en l'ESO —pressió, principis de Pascal i Arquímedes solen situar-se en 2n d'ESO— mentre que la dinàmica de fluids amb Bernoulli i viscositat s'aborda amb rigor quantitatiu en la Física de Batxillerat. El tema és idoni per a desenvolupar la competència STEM i la competència digital, i es presta a situacions d'aprenentatge amb ancoratge en contextos reals (la circulació sanguínia, l'aeronàutica, el subministrament d'aigua), així com a pràctiques de laboratori (tub de Venturi, mesura de cabals, visualització de línies de corrent amb tinta).

Convé anticipar les idees prèvies i errors freqüents: creure que a major velocitat del fluid correspon major pressió (just al revés de l'efecte Venturi); confondre pressió i força; pensar que la sang circula més de pressa pels capil·lars per ser més estrets (oblidant que el que es conserva és el cabal total); o atribuir la sustentació d'una ala exclusivament al principi de Bernoulli. L'experimentació, la interpretació de gràfiques de pressió-velocitat i l'anàlisi de casos fisiològics són especialment eficaços per a corregir estes concepcions alternatives i per a mostrar la potència unificadora de les lleis de conservació.

Conclusió

La dinàmica de fluids s'articula al voltant de dues grans lleis de conservació aplicades a un tub de corrent: l'equació de continuïtat (conservació de la massa), que relaciona secció i velocitat, i l'equació de Bernoulli (conservació de l'energia), que reparteix l'energia del fluid entre pressió estàtica, dinàmica i hidrostàtica. Ambdues es dedueixen del model idealitzat de fluid incompressible i no viscós. La introducció de la viscositat i del nombre de Reynolds distingeix els règims laminar i turbulent i, amb la llei de Poiseuille, descriu els fluids reals. Estes eines, lluny de ser abstractes, expliquen amb precisió tant dispositius tecnològics d'ús quotidià com el funcionament del sistema cardiovascular, la qual cosa converteix este tema en un exemple paradigmàtic del poder explicatiu i transversal de la física.