Tema 10

L'estàtica de fluids o hidrostàtica estudia els fluids en equilibri, és a dir, en repòs respecte a un sistema de referència. Constitueix una de les branques més antigues de la física —arranca amb Arquímedes al segle III a. C.— i, al mateix temps, un dels capítols on millor s'aprecia el pas de la física qualitativa aristotèlica a la física quantitativa i experimental del segle XVII. Els seus resultats expliquen fenòmens quotidians (per què flota un vaixell, com funciona una premsa hidràulica, per què fan mal les orelles en bussejar) i sustenten tecnologies essencials, de la hidràulica a la meteorologia.

En este tema es defineix el concepte de pressió i es dedueixen les lleis que regeixen el equilibri de líquids i gasos; s'analitza la pressió atmosfèrica i la seua mesura; es revisa el ric debat històric entorn del buit, que va enfrontar durant segles partidaris i detractors de la seua existència; i es descriuen els mètodes experimentals per a mesurar pressions. És important notar que la hidrostàtica és també la porta d'entrada a la dinàmica de fluids (equació de continuïtat i teorema de Bernoulli), que s'aborda en temes posteriors del bloc.

1. Estàtica de fluids

Concepte de fluid, densitat i pressió

Un fluid és un medi material que no ofereix resistència permanent a la deformació: flueix i adopta la forma del recipient que el conté. Sota esta categoria s'agrupen líquids (pràcticament incompressibles, amb volum propi) i gasos (compressibles, que ocupen tot el volum disponible). A diferència dels sòlids, un fluid en repòs no pot suportar esforços tallants.

Una magnitud bàsica per a caracteritzar-los és la densitat, massa per unitat de volum:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

La seua unitat en el SI és el $\mathrm{kg\,m^{-3}}$. Per a l'aigua, $\rho \approx 1000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$; per al mercuri, $\rho \approx 13\,600\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$.

La magnitud central del tema és la pressió, definida com el quocient entre la força exercida perpendicularment sobre una superfície i l'àrea d'esta:

$$p = \frac{F_\perp}{A}$$

És una magnitud escalar la unitat de la qual en el SI és el pascal ($1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N\,m^{-2}}$). Que la pressió siga escalar, encara que es definisca a partir d'una força, és un punt conceptual delicat: en un fluid en repòs la pressió en un punt té el mateix valor en totes les direccions (no depén de l'orientació de la superfície considerada). Esta és una conseqüència del principi de Pascal en la seua formulació local.

Principi de Pascal

El principi de Pascal estableix que la pressió aplicada a un fluid incompressible confinat es transmet íntegrament i per igual a tots els punts del fluid i a les parets del recipient. La seua aplicació tècnica més coneguda és la premsa hidràulica, un multiplicador de forces: en comunicar dos èmbols d'àrees $A_1$ i $A_2$, la igualtat de pressions exigeix

$$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} \quad\Longrightarrow\quad F_2 = F_1\,\frac{A_2}{A_1}$$

Una força xicoteta sobre l'èmbol estret produeix una força gran sobre l' ample. La conservació de l'energia es respecta perquè l'èmbol gran es desplaça menys: $F_1\,d_1 = F_2\,d_2$. Sobre este principi funcionen frens hidràulics, crics i elevadors.

Equació fonamental de la hidrostàtica

En un fluid en repòs, la pressió augmenta amb la profunditat a causa del pes de les capes superiors. Considerant l'equilibri d'una columna de fluid de densitat constant, la variació de pressió entre dos punts separats una altura $\Delta h$ és:

$$p_2 - p_1 = \rho\,g\,\Delta h$$

Prenent com a referència la superfície lliure, sotmesa a la pressió exterior $p_0$, la pressió a una profunditat $h$ val:

$$p = p_0 + \rho\,g\,h$$

El terme $\rho\,g\,h$ és la pressió hidrostàtica (la deguda al mateix fluid) i $p_0$ sol ser la pressió atmosfèrica. D'esta equació s'extrauen diverses conseqüències fonamentals:

• La pressió només depén de la profunditat, no de la forma ni de la quantitat total de fluid. Tots els punts situats a la mateixa altura dins d'un mateix fluid en equilibri estan a la mateixa pressió (principi dels vasos comunicants): un líquid homogeni aconsegueix el mateix nivell en recipients comunicats, siga quina siga la seua forma.
• L'anomenada paradoxa hidrostàtica: la força que el líquid exerceix sobre el fons depén només de l'altura i de l'àrea del fons, no del pes total del líquid contingut.

Principi d'Arquímedes

Quan un cos se submergeix total o parcialment en un fluid, la pressió sobre la seua cara inferior és major que sobre la superior; la resultant d'estes forces de pressió és una empenta vertical cap amunt. El principi d'Arquímedes la quantifica: tot cos submergit en un fluid experimenta una empenta igual al pes del fluid desallotjat:

$$E = \rho_{\text{fluid}}\;g\;V_{\text{desallotjat}}$$

L'empenta està aplicada en el centre d'empenta (centre de gravetat del fluid desplaçat). Comparant l'empenta amb el pes del cos s'expliquen les condicions de flotació:

• Si $\rho_{\text{cos}} > \rho_{\text{fluid}}$, el cos s'enfonsa.
• Si $\rho_{\text{cos}} < \rho_{\text{fluid}}$, el cos flota, emergint part del seu volum fins que l'empenta iguala el pes.
• Si $\rho_{\text{cos}} = \rho_{\text{fluid}}$, queda en equilibri indiferent a qualsevol profunditat.

En l'equilibri de flotació es compleix que el pes del cos iguala el pes del volum submergit de fluid: $\rho_c\,g\,V_c = \rho_f\,g\,V_{\text{sub}}$. Este principi explica la flotació de vaixells, el funcionament de densímetres i submarins, i la variació aparent del pes d'un cos submergit.

2. Pressió atmosfèrica

L'atmosfera és la capa gasosa que envolta la Terra. Encara que l'aire és poc dens, el seu enorme gruix fa que la columna d'aire que gravita sobre cada superfície exercisca una pressió apreciable: la pressió atmosfèrica. A nivell del mar, el seu valor mitjà és

$$p_{\text{atm}} = 101\,325\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{atm} \approx 1013\ \mathrm{hPa}$$

Este valor equival al pes, per unitat de superfície, de tota la columna d'aire. La primera mesura rigorosa la va realitzar Evangelista Torricelli en 1643 amb el seu cèlebre experiment del tub de mercuri (vegeu l'epígraf següent): la pressió atmosfèrica sosté una columna de mercuri d'uns $760\ \mathrm{mm}$, d'on prové la unitat mil·límetre de mercuri ($1\ \mathrm{mmHg} = 1\ \mathrm{Torr}$) i l'equivalència $760\ \mathrm{mmHg} = 1\ \mathrm{atm}$. Aplicant l'equació fonamental a eixa columna es comprova el valor:

$$p = \rho_{\text{Hg}}\,g\,h = 13\,600 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}760 \approx 1{,}01\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$$

A diferència d'un líquid, l'atmosfera és compressible: la seua densitat disminueix amb l'altura, de manera que la pressió no decreix linealment sinó de forma aproximadament exponencial. Suposant temperatura constant i gas ideal, s'obté la fórmula baromètrica:

$$p(z) = p_0\,e^{-\rho_0 g z / p_0}$$

Esta disminució de la pressió amb l'altitud explica per què cal pressuritzar les cabines dels avions i per què l'aigua bull a menor temperatura en la muntanya. La mesura de la pressió atmosfèrica i les seues variacions és, a més, la base de la predicció meteorològica: les borrasques (baixes pressions) i els anticiclons (altes pressions) organitzen el temps.

Convé distingir entre pressió absoluta (mesurada respecte al buit) i pressió manomètrica o relativa (mesurada respecte a l'atmosfèrica): $p_{\text{abs}} = p_{\text{atm}} + p_{\text{man}}$. Els manòmetres d'ús comú mesuren la pressió relativa.

3. Distints plantejaments en la història de la ciència entorn del buit

La qüestió de si pot existir el buit —un espai sense matèria— és un dels grans debats de la història de la física, i està íntimament lligat a la comprensió de la pressió atmosfèrica.

L'horror vacui aristotèlic

Per a Aristòtil i la tradició escolàstica, "la naturalesa avorreix el buit" (horror vacui). El buit es considerava impossible: la naturalesa actuaria per a impedir-lo. Amb esta idea s'explicava, per exemple, que l'aigua pujara al xuclar amb una palleta o que les bombes aspirants elevaren aigua. El paradigma va dominar durant gairebé dos mil·lennis.

El límit de les bombes i la intuïció de Galileu

Al segle XVII es va observar que les bombes aspirants no aconseguien elevar aigua per damunt d'uns 10 metres, fet inexplicable des de l'horror vacui (per què la naturalesa deixaria d'avorrir el buit a partir de certa altura?). Galileu va advertir el problema, però va ser el seu deixeble qui el va resoldre.

Torricelli i el "mar d'aire"

En 1643, Evangelista Torricelli va omplir de mercuri un tub tancat per un extrem i el va invertir sobre una cubeta. El mercuri va descendir fins a estabilitzar-se en uns $760\ \mathrm{mm}$, deixant en la part superior un espai hui anomenat cambra baromètrica o buit de Torricelli. La seua interpretació va ser revolucionària: no és el buit el que "tira" del mercuri, sinó la pressió de l' aire exterior la que l'empeny i sosté. Vivim —va escriure— "en el fons d'un mar d'aire". Amb això naixia el baròmetre i es demostrava que el buit podia existir.

Pascal i l'experiment del Puy de Dôme

Blaise Pascal va portar la hipòtesi més enllà: si la columna de mercuri es sosté pel pes de l'aire, en ascendir una muntanya —on hi ha menys aire damunt— la columna hauria de descendir. En 1648, el seu cunyat Périer va realitzar la experiència en el Puy de Dôme: el nivell del mercuri va baixar diversos centímetres en pujar la muntanya. Esta comprovació va confirmar de forma concloent l'existència de la pressió atmosfèrica i la seua disminució amb l'altura, i va assestar un colp decisiu a l'horror vacui.

Von Guericke i els hemisferis de Magdeburg

Otto von Guericke, inventor de la bomba de buit, va escenificar cap a 1654 en Magdeburg un espectacular experiment: va unir dos hemisferis metàl·lics, va extraure l' aire del seu interior i va mostrar que dos tirs de cavalls tirant en sentits oposats amb prou faenes aconseguien separar-los. La força que els mantenia units no era cap adherència, sinó la pressió atmosfèrica actuant sobre la superfície externa mentre en l'interior hi havia buit. La demostració va popularitzar de forma contundent la realitat de la pressió de l'aire.

Este recorregut històric il·lustra magníficament el mètode científic: una hipòtesi (la pressió atmosfèrica) que substitueix una altra (l'horror vacui), es sotmet a prediccions contrastables (el Puy de Dôme) i es corrobora experimentalment. Constitueix un exemple idoni per a treballar la naturalesa de la ciència a l'aula.

4. Mètodes per a l'estudi experimental de la pressió

La mesura de la pressió es realitza amb instruments diversos segons es tracte de la pressió atmosfèrica, de la d'un gas tancat o de la d'un líquid.

Baròmetres

Mesuren la pressió atmosfèrica.

• Baròmetre de mercuri (de Torricelli). L'altura de la columna de mercuri dona directament la pressió: $p = \rho\,g\,h$. Molt precís, però voluminós i amb mercuri (tòxic), hui en desús didàctic.
• Baròmetre aneroide. Empra una càpsula metàl·lica flexible (càpsula de Vidi) parcialment buida que es deforma segons la pressió externa; un sistema de palanques mou una agulla. És portàtil i no usa líquids; és la base de l' altímetre de muntanya i aviació, que tradueix la pressió en altitud mitjançant la fórmula baromètrica.

Manòmetres

Mesuren la pressió d'un fluid confinat, normalment la pressió relativa.

• Manòmetre de tub en U (de líquid). Un tub en forma d'U parcialment ple de líquid (mercuri o aigua) connecta per un extrem amb el recipient i per un altre amb l'atmosfera. El desnivell $h$ entre ambdues branques dona la pressió manomètrica:

$$p_{\text{man}} = \rho\,g\,h, \qquad p_{\text{abs}} = p_{\text{atm}} + \rho\,g\,h$$

• Manòmetre metàl·lic de Bourdon. Un tub metàl·lic corbat i buit tendeix a redreçar-se en augmentar la pressió interior; el moviment es transmet a una agulla. És robust i d'ampli rang, molt usat en instal·lacions industrials (calderes, pneumàtics, ampolles de gas).

Sensors electrònics

Els sensors piezoresistius o capacitius transformen la deformació d' una membrana en un senyal elèctric. Connectats a sistemes d'adquisició de dades, permeten registrar la pressió en temps real i representar gràfiques, la qual cosa els fa idonis per al laboratori escolar (estudi de la variació de la pressió amb la profunditat, verificació del principi de Pascal o de la llei de Boyle).

Unitats i la seua conversió

En l'estudi experimental és essencial manejar les equivalències entre unitats:

$$1\ \mathrm{atm} = 101\,325\ \mathrm{Pa} = 760\ \mathrm{mmHg} = 1{,}01325\ \mathrm{bar} \approx 1013\ \mathrm{hPa}$$

Una experiència senzilla i de gran valor didàctic consisteix a mesurar com augmenta la pressió amb la profunditat usant un tub manomètric o un sensor submergible, comprovant la linealitat $p = p_0 + \rho\,g\,h$ i determinant gràficament la densitat del líquid a partir de la pendent.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE (Real Decreto 217/2022), els continguts de fluids s' introdueixen en l'ESO dins de la matèria de Física i Química. El concepte de pressió i les seues aplicacions (principis de Pascal i d'Arquímedes, pressió atmosfèrica) es treballen de forma qualitativa i semiquantitativa en 2n i 3r d' ESO, i es reprenen amb major formalització en etapes posteriors. Són continguts molt propicis per al desenvolupament de la competència STEM i de la competència en indagació, donada l'abundància d'experiències senzilles i contextos quotidians (meteorologia, busseig, hidràulica, flotació).

La seqüència històrica entorn del buit ofereix, a més, una oportunitat excel·lent per a treballar la naturalesa de la ciència: com una hipòtesi desplaça una altra mitjançant experiments crucials (Torricelli, Pascal, Von Guericke). Encaixa de ple en les situacions d'aprenentatge que proposa la LOMLOE, integrant història de la ciència, indagació i modelització.

Convé anticipar les idees prèvies i errors freqüents de l'alumnat:

• Creure que la pressió és una força (confondre magnitud escalar amb vectorial) o que "empeny" en una sola direcció.
• Pensar que els objectes floten "perquè són lleugers" en termes absoluts, sense relacionar densitat del cos i del fluid; o creure que l'empenta depén del pes del cos i no del volum desallotjat.
• Suposar que el buit "xucla" o "tira", en lloc d'entendre que és la pressió exterior la que empeny (vestigi de l'horror vacui).
• No percebre que existeix pressió atmosfèrica perquè "no la sentim", en estar compensada interior i exteriorment en el nostre cos.

L'ús d'experiències demostratives (got amb cartolina invertit, ampolla que s' aixafa en refredar-se, ou que entra en una ampolla, densímetres casolans) i de sensors de pressió amb adquisició de dades resulta especialment eficaç per a corregir estes concepcions alternatives.

Conclusió

L'estàtica de fluids descriu l'equilibri de líquids i gasos a partir d'un concepte central, la pressió, i de tres pilars: el principi de Pascal (transmissió de la pressió), l'equació fonamental de la hidrostàtica (variació de la pressió amb la profunditat) i el principi d'Arquímedes (empenta i flotació). La pressió atmosfèrica, mesurada per primera vegada per Torricelli, és una manifestació quotidiana d'estes lleis i el nexe amb la meteorologia. El debat històric entorn del buit —de l'horror vacui als hemisferis de Magdeburg— constitueix un episodi exemplar del mètode científic, mentre que els instruments de mesura de la pressió, del baròmetre de mercuri als sensors electrònics, tanquen el cercle entre teoria i experimentació. Este armaó conceptual és, a més, la base sobre la qual es construeix la dinàmica de fluids, amb l'equació de continuïtat i el teorema de Bernoulli.