Tema 3

La metrologia —la ciència de la mesura— constitueix el fonament epistemològic de tota la física i la química. Mesurar és l'acte pel qual la ciència es fa quantitativa i contrastable: sense magnituds ben definides, sense un sistema d'unitats universal i sense una avaluació honesta de la incertesa, cap resultat experimental seria comparable ni reproduïble. Aquest tema, situat en el bloc introductori del temari, estableix el llenguatge comú sobre el qual descansen tots els altres: què és una magnitud, com es quantifica, amb quines unitats i amb quin grau de confiança.

La seua importància didàctica és doble. D'una banda, és un contingut transversal que impregna qualsevol pràctica de laboratori i qualsevol problema numèric. D'una altra, tanca idees de gran calat conceptual —el caràcter convencional de les unitats, la diferència entre exactitud i precisió, la impossibilitat d'una mesura sense error— que l'alumnat ha d'interioritzar des del primer curs. Com va sintetitzar Lord Kelvin, «quan pots mesurar allò de què parles i expressar-ho amb nombres, saps alguna cosa sobre això». A aqueixa afirmació convé afegir hui una cautela moderna: tota mesura és incompleta si no s'acompanya de la seua incertesa.

1. Magnituds físiques i químiques

Una magnitud és tota propietat d'un sistema físic o químic que pot mesurar-se, és a dir, a la qual pot assignar-se un valor numèric acompanyat d' una unitat. No són magnituds les qualitats que només admeten ordenació o classificació (duresa segons Mohs, color) sense una escala cardinal. Mesurar una magnitud és comparar-la amb una altra de la seua mateixa espècie presa com a unitat, i el resultat és el nombre de vegades que la unitat està continguda en la magnitud mesurada.

Classificació segons el seu caràcter direccional

• Magnituds escalars: queden completament determinades per un nombre i la seua unitat. Exemples: massa, temps, temperatura, energia, càrrega elèctrica, quantitat de substància.
• Magnituds vectorials: requereixen a més direcció, sentit i punt d' aplicació. Exemples: velocitat, força, camp elèctric, moment lineal. S' operen amb l'àlgebra vectorial.

Existeixen ens de rang superior, els tensors (per exemple, el tensor d' esforços o el d'inèrcia), que generalitzen aquesta idea a magnituds amb diverses direccions associades.

Magnituds fonamentals i derivades

Un petit conjunt de magnituds es tria per conveni com a fonamentals (o de base) i a partir d'elles es defineixen totes les altres, les derivades, mitjançant relacions físiques. El SI adopta set magnituds fonamentals:

| Magnitud | Símbol dimensional | |---|---| | Longitud | $\mathrm{L}$ | | Massa | $\mathrm{M}$ | | Temps | $\mathrm{T}$ | | Intensitat de corrent | $\mathrm{I}$ | | Temperatura termodinàmica | $\Theta$ | | Quantitat de substància | $\mathrm{N}$ | | Intensitat lluminosa | $\mathrm{J}$ |

Tota magnitud derivada posseeix una equació de dimensions que expressa la seua dependència de les fonamentals com un monomi de potències:

$$[G] = \mathrm{L}^{\alpha}\,\mathrm{M}^{\beta}\,\mathrm{T}^{\gamma}\,\mathrm{I}^{\delta}\,\Theta^{\varepsilon}\,\mathrm{N}^{\zeta}\,\mathrm{J}^{\eta}$$

Per exemple, $[v] = \mathrm{L\,T^{-1}}$, $[F] = \mathrm{M\,L\,T^{-2}}$ i $[E] = \mathrm{M\,L^{2}\,T^{-2}}$. L'anàlisi dimensional —el desenvolupament sistemàtic del qual es deu en bona part a J. C. Maxwell— és una eina potent: el principi d'homogeneïtat exigeix que ambdós membres de tota equació física tinguen les mateixes dimensions. Així pot comprovar-se la coherència d'una fórmula: en $v^2 = v_0^2 + 2\,a\,x$, es compleix $\mathrm{L^2\,T^{-2}} = \mathrm{L\,T^{-2}\cdot L} = \mathrm{L^2\,T^{-2}}$.

Magnituds extensives i intensives

Una altra classificació rellevant, sobretot en química i termodinàmica, atén a com varien en dividir el sistema:

• Extensives: depenen de la quantitat de matèria (massa, volum, energia, quantitat de substància). Són additives.
• Intensives: no depenen de la grandària del sistema (densitat, temperatura, pressió, concentració, índex de refracció). El quocient de dues extensives és intensiu: la densitat $\rho = m/V$ és un exemple clàssic.

Magnituds pròpiament químiques

La química aporta al SI la seua magnitud fonamental específica: la quantitat de substància, que quantifica el nombre d'entitats elementals (àtoms, molècules, ions) presents en una mostra. Es relaciona amb el nombre d' entitats $N$ i amb la massa $m$ mitjançant la constant d'Avogadro $N_A$ i la massa molar $M$:

$$n = \frac{N}{N_A} = \frac{m}{M}$$

D'ella deriven magnituds essencials com la concentració molar $c = n/V$, la molalitat, la fracció molar o el volum molar. La introducció de la quantitat de substància, lligada històricament a la hipòtesi d'Avogadro (1811), va permetre passar del recompte impossible de partícules individuals a una magnitud macroscòpica manejable, i és la clau de tota l' estequiometria.

2. Sistema Internacional d'Unitats

Una unitat és un valor de referència d'una magnitud, fixat per conveni. Un sistema d'unitats és un conjunt coherent d'unitats base i derivades. El Sistema Internacional d'Unitats (SI), adoptat per l'11a Conferència General de Peses i Mesures (CGPM) el 1960 i gestionat pel Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), és hui el sistema legal a Espanya i en la pràctica totalitat del món. Deriva del sistema mètric decimal nascut de la Revolució Francesa.

Les set unitats base

| Magnitud | Unitat | Símbol | |---|---|---| | Longitud | metre | $\mathrm{m}$ | | Massa | quilogram | $\mathrm{kg}$ | | Temps | segon | $\mathrm{s}$ | | Intensitat de corrent | ampere | $\mathrm{A}$ | | Temperatura termodinàmica | kelvin | $\mathrm{K}$ | | Quantitat de substància | mol | $\mathrm{mol}$ | | Intensitat lluminosa | candela | $\mathrm{cd}$ |

La redefinició de 2019: unitats ancorades a constants fonamentals

La fita metrològica més important de les últimes dècades és la revisió del SI que va entrar en vigor el 20 de maig de 2019. Amb ella, les set unitats base van deixar de dependre d'artefactes materials o de propietats atòmiques concretes i van passar a definir-se fixant el valor numèric exacte de set constants fonamentals de la naturalesa. Amb aquesta reforma va desaparèixer l' últim patró físic, el prototip internacional del quilogram custodiat a Sèvres.

| Constant | Símbol | Valor fixat | |---|---|---| | Freqüència de transició del $^{133}\mathrm{Cs}$ | $\Delta\nu_{\mathrm{Cs}}$ | $9\,192\,631\,770\ \mathrm{Hz}$ | | Velocitat de la llum en el buit | $c$ | $299\,792\,458\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ | | Constant de Planck | $h$ | $6{,}626\,070\,15\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$ | | Càrrega elemental | $e$ | $1{,}602\,176\,634\times10^{-19}\ \mathrm{C}$ | | Constant de Boltzmann | $k$ | $1{,}380\,649\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ | | Constant d'Avogadro | $N_A$ | $6{,}022\,140\,76\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$ | | Eficàcia lluminosa | $K_{\mathrm{cd}}$ | $683\ \mathrm{lm\,W^{-1}}$ |

D'aquesta manera, per exemple, el segon queda definit per la freqüència de la transició hiperfina del cesi-133; el metre, per la distància que recorre la llum en $1/299\,792\,458$ de segon; el quilogram, a través del valor fixat d'$h$ (materialitzat amb la balança de Kibble); i el mol es defineix com la quantitat de substància que conté exactament $6{,}022\,140\,76\times10^{23}$ entitats elementals. L'avantatge és que aquestes definicions són universals, invariables en el temps i reproduïbles en qualsevol laboratori amb la tecnologia adequada.

Unitats derivades, coherència i prefixos

Les unitats derivades s'obtenen com a productes de potències de les base, sense factors numèrics: el sistema és coherent. Moltes reben nom propi: newton ($\mathrm{N = kg\,m\,s^{-2}}$), joule ($\mathrm{J = N\,m = kg\,m^{2}\,s^{-2}}$), pascal ($\mathrm{Pa = N\,m^{-2}}$), watt, coulomb, volt, hertz, etc. Per a expressar valors molt grans o molt petits s'empren els prefixos decimals normalitzats (de yocto, $10^{-24}$, a yotta, $10^{24}$; ampliats el 2022 amb quecto/ronto i quetta/ronna). És incorrecte barrejar el prefix amb la unitat base del quilogram: s'escriu $\mathrm{mg}$, no $\mu\mathrm{kg}$.

3. La mesura

Mesurar és determinar el valor d'una magnitud comparant-la amb la seua unitat mitjançant un instrument de mesura. La mesura pot ser:

• Directa: s'obté per comparació immediata amb el patró o llegint directament l'instrument (longitud amb un regle, massa amb una balança).
• Indirecta: la magnitud es calcula a partir d'altres mesures directes mitjançant una relació física (la densitat a partir de massa i volum; la velocitat a partir d'espai i temps).

Característiques dels instruments

Tot instrument es caracteritza per una sèrie de qualitats metrològiques que condicionen la qualitat de la mesura:

• Sensibilitat: quocient entre la variació de la lectura i la variació de la magnitud que la provoca. A major sensibilitat, major resposta davant de petits canvis.
• Resolució o apreciació: la menor variació de la magnitud que l' instrument pot distingir; sol coincidir amb el valor de la seua divisió més petita.
• Exactitud (accuracy): proximitat entre el valor mesurat i el valor vertader (o convencionalment vertader) de la magnitud.
• Precisió (precision): grau de concordança entre mesures repetides en les mateixes condicions, amb independència de com de prop estiguen del valor vertader.
• Rang o camp de mesura, fidelitat i rapidesa completen el quadre.

La distinció entre exactitud i precisió és conceptualment crucial i sol il·lustrar-se amb l'analogia de la diana: un instrument pot ser precís (trets agrupats) però inexacte (lluny del centre) si té un error sistemàtic; l'ideal és que siga exacte i precís alhora.

Patrons i traçabilitat

La fiabilitat d'una mesura exigeix que l'instrument estiga calibrat enfront d' un patró, i aquest al seu torn enfront d'un altre de rang superior, formant una cadena ininterrompuda de comparacions —la traçabilitat— que acaba en la realització de les unitats del SI. A Espanya, el Centro Español de Metrología (CEM) custodia els patrons nacionals. Gràcies a la redefinició de 2019, els patrons primaris són ja realitzacions de les definicions basades en constants, no objectes materials.

4. Mètodes d'estimació de la incertesa

Cap mesura és exacta: tota mesura porta associada una incertesa que delimita l'interval dins del qual cal esperar, amb certa probabilitat, el valor de la magnitud. Un resultat sense la seua incertesa està incomplet. S' expressa sempre en la forma:

$$G = (\,\bar{x} \pm u\,)\ \text{[unitat]}$$

Tipus d'errors

• Errors sistemàtics: es repeteixen amb el mateix signe i magnitud; es deuen a defectes de l'instrument (mal calibrat, error de zero), del mètode o de l' observador. Afecten l'exactitud i, una vegada identificats, poden corregir-se.
• Errors aleatoris o accidentals: fluctuen a l'atzar al voltant del valor mitjà per causes incontrolables (petites variacions ambientals, límits d' apreciació). Afecten la precisió; no s'eliminen, però s'acoten mitjançant tractament estadístic. Segueixen habitualment una distribució normal o de Gauss, l'estudi de l'error de la qual devem en gran manera a Carl Friedrich Gauss.

Convé distingir l'error —diferència (idealment inaccessible) respecte al valor vertader— de la incertesa —paràmetre estadístic que caracteritza la dispersió dels valors raonablement atribuïbles a la magnitud—. La terminologia moderna (GUM, VIM) prefereix parlar d'incertesa.

Error absolut i error relatiu

$$E_a = |\,x_i - \bar{x}\,|, \qquad E_r = \frac{E_a}{\bar{x}}$$

L'error absolut té les unitats de la magnitud; l'error relatiu és adimensional i sol expressar-se en tant per cent. L'error relatiu permet comparar la qualitat de mesures de magnituds distintes: un error d'$1\ \mathrm{cm}$ és menyspreable en mesurar un edifici, però enorme en mesurar un cargol.

Incertesa en mesures directes

Quan es realitza una sola mesura, la incertesa s'estima a partir de la resolució de l'instrument (per exemple, la meitat o la totalitat de la seua divisió mínima).

Quan es repeteix la mesura $n$ vegades, es procedeix estadísticament. El millor estimador del valor de la magnitud és la mitjana aritmètica:

$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$

La dispersió de les dades es quantifica amb la desviació típica de la mostra:

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$$

i la incertesa de la mitjana —la incertesa típica de tipus A, avaluada per mètodes estadístics segons la GUM— és la desviació típica de la mitjana:

$$u_A = \frac{s}{\sqrt{n}}$$

que disminueix en augmentar el nombre de repeticions. Junt amb ella s'avalua la incertesa de tipus B, procedent d'altres fonts (resolució de l' instrument, certificat de calibratge, especificacions del fabricant). Per a una resolució de semiamplitud $a$ amb distribució rectangular:

$$u_B = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

Ambdues contribucions es combinen en la incertesa típica combinada:

$$u_c = \sqrt{u_A^{\,2} + u_B^{\,2}}$$

Incertesa en mesures indirectes: propagació

Si una magnitud $y = f(x_1, x_2, \ldots, x_k)$ es calcula a partir d'altres mesures independents, la seua incertesa s'obté per la llei de propagació de la incertesa:

$$u_c(y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{k}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^{2} u^{2}(x_i)}$$

D'aquesta llei general es dedueixen dos casos particulars molt utilitzats:

• Sumes i diferències ($y = x_1 \pm x_2$): se sumen en quadratura les incerteses absolutes:

$$u_c(y) = \sqrt{u^{2}(x_1) + u^{2}(x_2)}$$

• Productes i quocients ($y = x_1\,x_2$ o $y = x_1/x_2$): se sumen en quadratura les incerteses relatives:

$$\frac{u_c(y)}{|y|} = \sqrt{\left(\frac{u(x_1)}{x_1}\right)^{2} + \left(\frac{u(x_2)}{x_2}\right)^{2}}$$

Incertesa expandida

Per a oferir un interval amb un nivell de confiança determinat es defineix la incertesa expandida $U = k\,u_c$, on $k$ és el factor de cobertura. Amb $k = 2$ s'obté, per a una distribució aproximadament normal, un nivell de confiança pròxim al $95\,\%$.

Xifres significatives i arrodoniment

L'expressió del resultat ha de ser coherent amb la seua incertesa. Són xifres significatives les que aporten informació: totes les segures més la primera afectada per la incertesa. Regles pràctiques:

• La incertesa s'expressa, en general, amb una o dues xifres significatives.
• El valor de la mesura s'arrodoneix fins a la mateixa posició decimal que la seua incertesa. És incorrecte escriure $L = 12{,}3847 \pm 0{,}2\ \mathrm{m}$; ha d'expressar-se $L = (12{,}4 \pm 0{,}2)\ \mathrm{m}$.
• En operacions, el nombre de xifres significatives del resultat el limita la dada menys precisa.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE (Real Decreto 217/2022), els continguts d'aquest tema vertebren el bloc metodològic de «l'activitat científica» i són transversals a tota la matèria de Física i Química des de 2n d'ESO fins al Batxillerat. Apareixen com a sabers bàsics lligats a les destreses científiques: realitzar mesures, manejar el SI, estimar la incertesa, expressar resultats amb les xifres significatives adequades i comunicar conclusions. Són idonis per a desenvolupar la competència STEM i la competència digital mitjançant el treball al laboratori i l'ús de sensors i fulls de càlcul.

La seqüenciació aconsella introduir en l'ESO les magnituds, el SI i la mesura directa amb instruments senzills (regle, calibre, balança, proveta), reservant per a Batxillerat el tractament estadístic de la incertesa i la propagació d'errors. El calibre (peu de rei) i el micròmetre són excel·lents per a treballar resolució i xifres significatives de forma tangible.

Cal anticipar idees prèvies i errors freqüents: confondre massa i pes, o massa i volum; creure que existeix la «mesura exacta» sense error; confondre precisió amb exactitud; arrossegar en els càlculs tots els decimals de la calculadora sense atendre a les xifres significatives; oblidar les unitats o barrejar el SI amb unitats no coherents. L'error conceptual de tractar la temperatura o la densitat com a magnituds extensives també és habitual. La millor estratègia correctora és el treball experimental guiat amb reflexió explícita sobre què significa cada resultat i la seua incertesa.

Conclusió

Aquest tema fixa els fonaments de l'edifici científic: la noció de magnitud —escalar o vectorial, fonamental o derivada, extensiva o intensiva—, el Sistema Internacional d'Unitats hui ancorat a constants universals de la naturalesa, l'acte de mesurar amb els seus instruments i patrons, i l'avaluació rigorosa de la incertesa que acompanya inevitablement tot resultat. La redefinició del SI de 2019 i el marc de la GUM representen la maduresa d'una metrologia que aspira a la universalitat i la reproductibilitat. Dominar aquests conceptes no és un requisit merament formal: és la condició de possibilitat de la pràctica científica i, a l'aula, la porta d'entrada al pensament quantitatiu sobre el qual es construeixen tots els blocs posteriors de la física i la química.