Supòsit 12

Un supòsit d'estructura de la matèria que enllaça el model mecanoquàntic de l'àtom (configuració electrònica i nombres quàntics) amb l'organització del sistema periòdic i les seues tendències. El seu interés està en mostrar com un únic argument —la càrrega nuclear efectiva— explica de manera coherent el radi, l'energia d'ionització i l'electronegativitat.

Enunciat

Es consideren tres elements, designats $A$, $B$ i $C$, els nombres atòmics dels quals són $Z_A = 11$, $Z_B = 17$ i $Z_C = 19$. Tots es prenen en el seu estat fonamental i elèctricament neutres.

Es demana:

• a) La configuració electrònica de cada element i la seua posició (període, grup i bloc) en la taula periòdica.
• b) Els quatre nombres quàntics de l'electró diferenciador d'$A$ i de $B$, indicant el criteri d'ompliment emprat.
• c) Ordenar els tres elements, de manera raonada, segons el seu radi atòmic, la seua primera energia d'ionització i la seua electronegativitat.
• d) Justificar quantitativament aquestes tendències estimant la càrrega nuclear efectiva sobre l'electró de valència (regles de Slater) i comprovar que un model hidrogenoide reprodueix l'ordre de radis de l'apartat c).

Resolució

a) Configuració electrònica i posició periòdica

Aplicant el principi de construcció (Aufbau), amb l'ordre d'energies creixents $1s\,2s\,2p\,3s\,3p\,4s\dots$, la regla de Hund i el principi d'exclusió de Pauli:

$$\begin{aligned} A\ (Z=11):&\quad 1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^1 = [\mathrm{Ne}]\,3s^1\\ B\ (Z=17):&\quad 1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^5 = [\mathrm{Ne}]\,3s^2\,3p^5\\ C\ (Z=19):&\quad 1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^6\,4s^1 = [\mathrm{Ar}]\,4s^1 \end{aligned}$$

El període coincideix amb el major nombre quàntic principal ocupat; el grup (dels elements representatius) es dedueix dels electrons de valència, i el bloc, del subnivell que s'està omplint:

• $A$: últim nivell $n=3$ → període 3; acaba en $3s^1$ (un electró de valència) → grup 1; bloc s. Correspon al sodi.
• $B$: últim nivell $n=3$ → període 3; $3s^2\,3p^5$ (set electrons de valència) → grup 17; bloc p. Correspon al clor.
• $C$: últim nivell $n=4$ → període 4; acaba en $4s^1$ → grup 1; bloc s. Correspon al potassi.

b) Nombres quàntics de l'electró diferenciador

L'electró diferenciador és l'últim que el principi d'Aufbau incorpora. S'adopta el criteri habitual: dins d'un subnivell s'ocupa primer un orbital per cada valor de $m_l$ (de $-l$ a $+l$) amb $m_s = +\tfrac{1}{2}$ i, una vegada semiplè, s'aparellen en el mateix ordre amb $m_s = -\tfrac{1}{2}$.

Per a $A$, l'electró diferenciador ocupa l'orbital $3s^1$:

$$(n,\,l,\,m_l,\,m_s)_A = \left(3,\ 0,\ 0,\ +\tfrac{1}{2}\right)$$

Per a $B$, la subcapa $3p^5$ allotja cinc electrons: tres desaparellats en $m_l = -1, 0, +1$ i dos aparellats. El cinqué electró (el diferenciador) aparella l'orbital $m_l = 0$:

$$(n,\,l,\,m_l,\,m_s)_B = \left(3,\ 1,\ 0,\ -\tfrac{1}{2}\right)$$

El valor concret de $m_l$ depén del conveni de retolat dels orbitals; el que és inequívoc és que $n=3$, $l=1$ i que es tracta d'un electró aparellat ($m_s = -\tfrac{1}{2}$).

c) Tendències periòdiques raonades

El radi atòmic creix en baixar per un grup (augmenta $n$: la capa de valència està més allunyada) i disminueix al llarg d'un període (augmenta la càrrega nuclear efectiva i atrau més el núvol electrònic). Per tant:

$$r(C) > r(A) > r(B) \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{K} > \mathrm{Na} > \mathrm{Cl}$$

La primera energia d'ionització segueix la tendència inversa (com més retingut està l'electró de valència, més costa arrancar-lo):

$$E_i(B) > E_i(A) > E_i(C) \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{Cl} > \mathrm{Na} > \mathrm{K}$$

L'electronegativitat, que mesura la tendència a atraure el parell d'enllaç, ordena igual que l'energia d'ionització: $\mathrm{Cl} > \mathrm{Na} > \mathrm{K}$. Els valors tabulats confirmen l'ordre de magnitud: $\chi_{\mathrm{Cl}} \approx 3{,}2$, $\chi_{\mathrm{Na}} \approx 0{,}9$ i $\chi_{\mathrm{K}} \approx 0{,}8$ (escala de Pauling); les energies d'ionització experimentals ($1251$, $496$ i $419\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}$, respectivament) reprodueixen el mateix ordre.

d) Justificació quantitativa amb la càrrega nuclear efectiva

Les regles de Slater estimen l'apantallament $S$ i la càrrega efectiva $Z_{\text{ef}} = Z - S$ que percep l'electró de valència. Per a un electró $ns$ o $np$, cada company del mateix grup apantalla $0{,}35$; els del nivell $n-1$, $0{,}85$; i els de nivells inferiors, $1{,}00$:

$$Z_{\text{ef}}(A) = 11 - \big[\,8\cdot 0{,}85 + 2\cdot 1{,}00\,\big] = 11 - 8{,}80 = 2{,}20$$ $$Z_{\text{ef}}(B) = 17 - \big[\,6\cdot 0{,}35 + 8\cdot 0{,}85 + 2\cdot 1{,}00\,\big] = 17 - 10{,}90 = 6{,}10$$ $$Z_{\text{ef}}(C) = 19 - \big[\,8\cdot 0{,}85 + 10\cdot 1{,}00\,\big] = 19 - 16{,}80 = 2{,}20$$

Amb aquestes càrregues, un model hidrogenoide estima el radi de la capa de valència mitjançant $r \approx (n^2/Z_{\text{ef}})\,a_0$, amb $a_0 = 52{,}9\ \mathrm{pm}$:

$$r_A \approx \frac{3^2}{2{,}20}\,a_0 = 216\ \mathrm{pm}, \quad r_B \approx \frac{3^2}{6{,}10}\,a_0 = 78\ \mathrm{pm}, \quad r_C \approx \frac{4^2}{2{,}20}\,a_0 = 385\ \mathrm{pm}$$

Comprovació croada. L'ordre obtingut, $r_C > r_A > r_B$, coincideix amb el de l'apartat c). Els valors absoluts són només estimacions —el model hidrogenoide ignora la penetració d'orbitals i el detall de la repulsió electrònica—, però la tendència és correcta i el seu origen queda desglossat: $A$ i $C$ comparteixen $Z_{\text{ef}} = 2{,}20$, de manera que la diferència de radi en baixar pel grup es deu al salt de $n=3$ a $n=4$; en canvi, $A$ i $B$ comparteixen $n=3$, i és l'augment de $Z_{\text{ef}}$ de $2{,}20$ a $6{,}10$ el que contrau el radi al llarg del període. El mateix argument explica, en sentit invers, l'energia d'ionització i l'electronegativitat.

Comentari didàctic

Aquest supòsit articula el Tema 34/40 del temari: l'estructura atòmica i la periodicitat de les propietats. El seu valor per a l'aula és doble. Primer, obliga a manejar amb rigor el model mecanoquàntic (Aufbau, Hund, Pauli i el significat físic dels quatre nombres quàntics), evitant reduir-lo a una regla nemotècnica. Segon, desmunta una concepció alternativa molt comuna: creure que "més protons implica sempre un àtom major". El càlcul de $Z_{\text{ef}}$ mostra que el que és determinant és la competència entre càrrega nuclear i apantallament, i que el nombre quàntic principal marca l'escala de la mida. Proposar a l'alumnat que verifique l'ordre d'una tendència per dues vies —la regla periòdica qualitativa i l'estimació de la càrrega efectiva— és, a més, una estratègia d'autoavaluació que consolida la comprensió enfront de la mera memorització.