Supòsit 28

Pràctica d'òptica geomètrica en banc òptic. L'objectiu és determinar la distància focal d'una lent prima convergent a partir de parells de distàncies objecte-imatge i, com a extensió, estimar l'índex de refracció del vidre amb la equació del constructor de lents. El fonament és l'equació de les lents primes i la formació d'imatges reals, que l'alumnat pot comprovar a més mitjançant la construcció gràfica de raigs.

Enunciat

Al laboratori es disposa d'un banc òptic graduat en mil·límetres sobre el qual es munten, alineats, una font lluminosa amb un objecte (una fletxa il·luminada o una "F" retallada), una lent convergent en el seu suport i una pantalla blanca. Es demana dissenyar el procediment i determinar experimentalment la distància focal $f$ de la lent, expressant el resultat amb la seua incertesa, i estimar l'índex de refracció $n$ del material sabent que la lent és biconvexa simètrica de radi $R$ mesurat amb un esferòmetre.

Material i instruments:

• Banc òptic amb regle mil·limetrat i tres genets lliscants.
• Font lluminosa amb objecte (fletxa o escletxa il·luminada).
• Lent prima convergent muntada en suport.
• Pantalla translúcida o blanca.
• Esferòmetre (per al radi de curvatura) i regle auxiliar.

Desenvolupament

Fonament teòric

Per a una lent prima, adoptant el conveni de distàncies positives per a objecte i imatge reals, l'equació de les lents primes relaciona la distància objecte $s$, la distància imatge $s'$ i la focal $f$:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{s} + \frac{1}{s'} \qquad\Longrightarrow\qquad f = \frac{s\,s'}{s+s'}$$

L'augment lateral és $\beta = -\dfrac{s'}{s}$; el seu signe negatiu indica que, per a un objecte situat més enllà del focus, la lent convergent forma una imatge real i invertida. Si $s'$ és menor que $s$, la imatge és a més de menor grandària.

Construcció gràfica. Per localitzar la imatge de la punta de la fletxa es tracen tres raigs principals des d'ella: (1) un raig paral·lel a l'eix que, després de la lent, passa pel focus imatge $F'$; (2) un raig que travessa el centre òptic sense desviar-se; (3) un raig que passa pel focus objecte $F$ i emergeix paral·lel a l'eix. El punt on es tallen els raigs refractats fixa la posició i la grandària de la imatge, i confirma gràficament el resultat numèric.

Per a l'índex de refracció s'empra l'equació del constructor de lents:

$$\frac{1}{f} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$

que, per a una lent biconvexa simètrica ($R_1 = R$, $R_2 = -R$), es redueix a $\dfrac{1}{f} = (n-1)\dfrac{2}{R}$, d'on:

$$n = 1 + \frac{R}{2f}$$

Muntatge i procediment

1. Alinear font, lent i pantalla sobre el banc, amb els centres a la mateixa altura i l'eix òptic horitzontal.
2. Fixar l'objecte en un extrem i anotar-ne la posició sobre el regle.
3. Situar la lent a una distància objecte $s$ coneguda i desplaçar la pantalla fins a obtindre la imatge més nítida possible; llegir la posició de la pantalla i calcular $s'$.
4. Repetir per a diverses distàncies objecte (de 20 a 40 cm), prenent sempre la mesura des del pla de la lent.
5. Mesurar el radi de curvatura $R$ de les cares amb l'esferòmetre.

Tractament de dades i errors

Amb cada parell $(s, s')$ es calcula la focal mitjançant $f = s\,s'/(s+s')$:

| $s$ (cm) | $s'$ (cm) | $f$ (cm) | | :---: | :---: | :---: | | $20{,}0$ | $30{,}2$ | $12{,}03$ | | $25{,}0$ | $23{,}0$ | $11{,}98$ | | $30{,}0$ | $20{,}1$ | $12{,}04$ | | $35{,}0$ | $18{,}2$ | $11{,}97$ | | $40{,}0$ | $17{,}0$ | $11{,}93$ |

El valor mitjà és $\bar{f} = 11{,}99\ \mathrm{cm}$. Com a mètode gràfic alternatiu es representa $1/s'$ davant d'$1/s$: els punts s'ajusten a la recta $\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{s}$, de pendent $-1$, l'ordenada a l' origen de la qual val $1/f$; això proporciona una determinació independent de la focal.

Propagació de la incertesa

La dispersió estadística de la mitjana és xicoteta, però infravalora l'error real, perquè la principal font d'incertesa és la localització de la imatge nítida (existeix un interval d'enfocament). Propaguem per tant la incertesa en un parell representatiu, $s = 30{,}0 \pm 0{,}1\ \mathrm{cm}$ i $s' = 20{,}0 \pm 0{,}3\ \mathrm{cm}$. Derivant $f = s\,s'/(s+s')$:

$$\Delta f = \sqrt{\left(\frac{s'^2}{(s+s')^2}\,\Delta s\right)^2 + \left(\frac{s^2}{(s+s')^2}\,\Delta s'\right)^2}$$

Els coeficients valen $s'^2/(s+s')^2 = 0{,}16$ i $s^2/(s+s')^2 = 0{,}36$, de manera que:

$$\Delta f = \sqrt{(0{,}16\times 0{,}1)^2 + (0{,}36\times 0{,}3)^2} = \sqrt{0{,}016^2 + 0{,}108^2} = 0{,}11\ \mathrm{cm}$$

El terme de $s'$ domina clarament, com calia esperar. Arredonint la incertesa a una xifra significativa, el resultat s'expressa:

$$f = (12{,}0 \pm 0{,}1)\ \mathrm{cm} \qquad (\varepsilon_r \approx 0{,}9\,\%)$$

Índex de refracció

Amb un radi mesurat $R = 12{,}0 \pm 0{,}2\ \mathrm{cm}$ i la focal anterior:

$$n = 1 + \frac{R}{2f} = 1 + \frac{12{,}0}{2\times 12{,}0} = 1{,}50$$

Propagant en $n - 1 = R/(2f)$ per quocients:

$$\Delta n = (n-1)\sqrt{\left(\frac{\Delta R}{R}\right)^2 + \left(\frac{\Delta f}{f}\right)^2} = 0{,}50\cdot\sqrt{0{,}0167^2 + 0{,}0083^2} = 0{,}009$$

de manera que $n = 1{,}50 \pm 0{,}01$, valor coherent amb el d'un vidre crown ($n \approx 1{,}5$).

Comentari didàctic

La pràctica correspon a l'òptica geomètrica de 2.º de Batxillerat (Física) i és adaptable de forma qualitativa a l'ESO. Desenvolupa la competència STEM i, molt especialment, la indagació experimental i el tractament rigorós de dades i incerteses: mesurar, tabular, ajustar gràficament i expressar el resultat amb les seues xifres significatives. La doble via —numèrica amb l'equació de lents i gràfica amb el traçat de raigs— permet a l'opositor mostrar com es contrasta un model amb la experiència.

Errors i precaucions típics:

• Mesurar les distàncies des de la vora del suport i no des del pla de la lent.
• Acceptar com a nítida qualsevol imatge dins d'un interval d'enfocament ampli: és la font d'error dominant; convé estimar el punt mitjà d'aquest interval.
• Confondre el conveni de signes en traduir a la formulació DIN.
• Treballar amb llum ambient excessiva, que redueix el contrast; convé penombra.
• Suposar vàlida l'aproximació de lent prima quan el gruix no és menyspreable davant dels radis de curvatura.