Supòsit 27

La mesura de la resistència elèctrica a partir de la llei d'Ohm és una de les pràctiques més formatives del bloc d'electricitat: obliga a muntar un circuit, a connectar correctament l'amperímetre i el voltímetre, a construir una gràfica i a extraure del seu pendent una magnitud física. L'objectiu és doble: comprovar de forma experimental el caràcter òhmic d'un conductor —la proporcionalitat entre tensió i intensitat— i determinar, a partir de la resistència mesurada i de la geometria del fil, la resistivitat del material.

Enunciat

Es disposa d'un fil d'un aliatge resistiu del qual es vol caracteritzar el seu comportament elèctric. El fil té una longitud $L = 1{,}00\ \mathrm{m}$ i un diàmetre $d = 0{,}50\ \mathrm{mm}$. Es connecta a una font de tensió contínua regulable i, per a cada valor de la tensió aplicada, s'anoten la diferència de potencial entre els extrems del fil i la intensitat que el travessa.

Objectiu. (1) Comprovar que el fil es comporta com un conductor òhmic i determinar-ne la resistència $R$ a partir del pendent de la recta $V\!-\!I$; (2) calcular la resistivitat $\rho$ del material i expressar el resultat amb la seua incertesa.

Material i instruments. Font d'alimentació de contínua regulable, fil conductor, reòstat per limitar el corrent, amperímetre, voltímetre, cables de connexió, micròmetre (palmer, apreciació $0{,}01\ \mathrm{mm}$) per al diàmetre i regle mil·limetrat per a la longitud.

Desenvolupament

Fonament teòric

La llei d'Ohm estableix que, en un conductor òhmic i a temperatura constant, la diferència de potencial és proporcional a la intensitat:

$$V = R\,I$$

Representant $V$ davant d'$I$ s'obté una recta que passa per l'origen; el seu pendent és la resistència $R$. Un ajust que done una ordenada a l'origen compatible amb zero confirma el caràcter òhmic del conductor.

La resistència depén del material i de la geometria del fil mitjançant la resistivitat $\rho$:

$$R = \rho\,\frac{L}{A}, \qquad A = \frac{\pi d^{2}}{4}$$

on $A$ és l'àrea de la secció transversal del fil. Aïllant, la magnitud que caracteritza el material és

$$\rho = \frac{R\,A}{L} = \frac{\pi\,R\,d^{2}}{4L}$$

Muntatge i procediment

L'amperímetre es connecta en sèrie amb el fil (mesura el corrent que el travessa) i el voltímetre en paral·lel amb ell (mesura la caiguda de tensió entre els seus extrems). El reòstat en sèrie permet variar el corrent sense exigir a la font salts bruscos.

1. Mesurar la longitud $L$ del fil amb el regle i el diàmetre $d$ amb el micròmetre, repetint la mesura del diàmetre en diversos punts i fent-ne la mitjana.
2. Muntar el circuit i comprovar les connexions abans de donar tensió.
3. Fixar un primer valor de tensió i anotar el parell $(I, V)$.
4. Repetir per a cinc o sis valors creixents, prenent lectures ràpides i amb intensitats moderades per evitar que l'efecte Joule escalfe el fil i n'altere la resistència.
5. Representar $V$ davant d'$I$ i ajustar la recta per mínims quadrats.

Tractament de dades i errors

Sèrie de mesures obtinguda (valors d'exemple):

| $I$ (A) | 0,100 | 0,200 | 0,300 | 0,400 | 0,500 | |---------|-------|-------|-------|-------|-------| | $V$ (V) | 0,51 | 0,98 | 1,52 | 1,99 | 2,51 |

Pendent per mínims quadrats. La resistència és el pendent de la recta:

$$R = \frac{\sum (I_i - \bar{I})(V_i - \bar{V})}{\sum (I_i - \bar{I})^{2}} = \frac{0{,}501}{0{,}100} = 5{,}01\ \Omega$$

L'ordenada a l'origen resulta $b = -0{,}001\ \mathrm{V}$, compatible amb zero: el fil es comporta com un conductor òhmic.

Incertesa del pendent. A partir dels residus $r_i$ de l'ajust ($n = 5$ punts):

$$s_R = \sqrt{\frac{\sum r_i^{2}/(n-2)}{\sum (I_i - \bar{I})^{2}}} = 0{,}06\ \Omega$$

de manera que $R = (5{,}01 \pm 0{,}06)\ \Omega$, amb una incertesa relativa del $1{,}2\ \%$.

Càlcul de la resistivitat. L'àrea de la secció és

$$A = \frac{\pi d^{2}}{4} = \frac{\pi\,(0{,}50\times 10^{-3})^{2}}{4} = 1{,}96\times 10^{-7}\ \mathrm{m^{2}}$$

i, per tant,

$$\rho = \frac{R\,A}{L} = \frac{5{,}01 \cdot 1{,}96\times 10^{-7}}{1{,}00} = 9{,}84\times 10^{-7}\ \mathrm{\Omega\,m}$$

Propagació de la incertesa. Com que $\rho$ depén d'un producte i un quocient, es combinen les incerteses relatives; el diàmetre entra al quadrat, així que la seua contribució es multiplica per dos:

$$\frac{\Delta\rho}{\rho} = \sqrt{\left(\frac{\Delta R}{R}\right)^{2} + \left(2\,\frac{\Delta d}{d}\right)^{2} + \left(\frac{\Delta L}{L}\right)^{2}}$$

Amb $\Delta d = 0{,}01\ \mathrm{mm}$ i $\Delta L = 1\ \mathrm{mm}$:

$$\frac{\Delta\rho}{\rho} = \sqrt{(0{,}012)^{2} + (0{,}040)^{2} + (0{,}001)^{2}} = 0{,}042 \;\; (4{,}2\ \%)$$

El terme dominant és, amb diferència, el del diàmetre: per anar elevat al quadrat, el seu error relatiu pesa el doble i controla la precisió final. D'ací que el diàmetre es mesure amb micròmetre i no amb el regle.

Expressió final. $\Delta\rho = 0{,}042 \cdot 9{,}84\times 10^{-7} \approx 0{,}4\times 10^{-7}\ \mathrm{\Omega\,m}$. Arredonint la incertesa a una xifra significativa i ajustant el resultat a la seua mateixa posició decimal:

$$\rho = (9{,}8 \pm 0{,}4)\times 10^{-7}\ \mathrm{\Omega\,m}$$

El valor, de l'ordre de $10^{-6}\ \mathrm{\Omega\,m}$, és propi d'un aliatge resistiu (tipus nicrom o constantà) i molt superior al del coure pur ($\sim 1{,}7\times 10^{-8}\ \mathrm{\Omega\,m}$), cosa que resulta coherent amb un fil pensat per oferir resistència.

Comentari didàctic

La pràctica se situa en el bloc d'electricitat de $2.^{\text{o}}$ de Batxillerat, encara que una versió qualitativa (només comprovació de la proporcionalitat, sense resistivitat) encaixa també a l'ESO. Desenvolupa la competència STEM en les seues dues vessants: el maneig instrumental —connexió correcta d'aparells i elecció de l'instrument adequat segons la precisió requerida— i el tractament quantitatiu de dades, amb ajust per mínims quadrats, propagació d'incerteses i expressió del resultat amb les xifres significatives coherents.

Els errors i precaucions típics que convé anticipar són: intercanviar la connexió de l'amperímetre i el voltímetre (l'amperímetre en sèrie, el voltímetre en paral·lel); deixar passar corrents alts que escalfen el fil i modifiquen $R$ amb la temperatura, corbant la gràfica; mesurar el diàmetre amb el regle, cosa que arruïna la precisió en ser el terme dominant; i forçar el pas de la recta per l'origen en compte de comprovar que l'ordenada obtinguda és compatible amb zero. Discutir estos punts amb l'alumnat converteix la mesura en una veritable lliçó sobre mètode experimental i no en un mer exercici de substitució en una fórmula.