Supòsit 26

Una pràctica d'anàlisi instrumental que articula la llei de Lambert-Beer amb el tractament estadístic d'una sèrie de patrons. L'objectiu és construir una recta de calibratge per mínims quadrats i, mitjançant interpolació, determinar la concentració d'una mostra problema acompanyada de la seua incertesa. El fonament és que, en l'interval lineal, l'absorbància d'una dissolució acolorida és directament proporcional a la concentració de l'analit.

Enunciat

Al laboratori es disposa d'una dissolució patró de permanganat de potassi i es desitja determinar la concentració d'una mostra problema de la mateixa espècie. El $\mathrm{MnO_4^{-}}$ presenta un màxim d'absorció a $\lambda = 525\ \mathrm{nm}$, que és la longitud d'ona de treball. A partir del patró es preparen per dilució cinc dissolucions de concentració coneguda i es mesura la seua absorbància davant d'un blanc d'aigua destil·lada en cubeta de $b = 1{,}00\ \mathrm{cm}$.

Objectiu. Obtindre la recta de calibratge $A = m\,c + b_0$, avaluar-ne la linealitat i determinar la concentració de la mostra problema amb la seua incertesa.

Material i instruments. Espectrofotòmetre UV-visible, cubetes d'$1\ \mathrm{cm}$, matrassos aforats i pipetes aforades, dissolució patró de $\mathrm{KMnO_4}$, aigua destil·lada com a blanc.

Dades experimentals:

| Patró | $c\ (\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\,L^{-1}})$ | $A$ (525 nm) | |:---:|:---:|:---:| | 1 | $0{,}50$ | $0{,}118$ | | 2 | $1{,}00$ | $0{,}232$ | | 3 | $1{,}50$ | $0{,}355$ | | 4 | $2{,}00$ | $0{,}469$ | | 5 | $2{,}50$ | $0{,}585$ |

La mostra problema, mesurada per triplicat ($k = 3$), dóna una absorbància mitjana $A_s = 0{,}402$.

Desenvolupament

Fonament teòric

L'absorbància es defineix a partir de la fracció de radiació transmesa i es relaciona amb la concentració mitjançant la llei de Lambert-Beer:

$$A = \log_{10}\frac{I_0}{I} = \varepsilon\, b\, c$$

on $\varepsilon$ és l'absortivitat molar (característica de l'espècie a eixa longitud d'ona), $b$ el camí òptic i $c$ la concentració. La llei és lineal només en un interval limitat; a concentracions altes apareixen desviacions (normalment per damunt d'$A \approx 1$) per interaccions entre partícules, llum paràsita i amplada espectral finita. Per això es treballa sempre dins de la zona de validesa i s'interpola, mai s'extrapola.

Recta de calibratge per mínims quadrats

Ajustant $A = m\,c + b_0$ es minimitza la suma de quadrats dels residus. Els estimadors són:

$$m = \frac{S_{cA}}{S_{cc}} = \frac{\sum (c_i-\bar c)(A_i-\bar A)}{\sum (c_i-\bar c)^2}, \qquad b_0 = \bar A - m\,\bar c$$

Amb les dades, $\bar c = 1{,}50\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$ i $\bar A = 0{,}3518$, resulten $S_{cc} = 2{,}50\times 10^{-8}\ \mathrm{mol^2\,L^{-2}}$ i $S_{cA} = 5{,}855\times 10^{-5}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$, de manera que:

$$m = 2{,}34\times 10^{3}\ \mathrm{L\,mol^{-1}}, \qquad b_0 = 5\times 10^{-4}$$

Com que $b = 1\ \mathrm{cm}$, el pendent equival a l'absortivitat molar: $\varepsilon = m/b = 2{,}34\times 10^{3}\ \mathrm{L\,mol^{-1}\,cm^{-1}}$, valor coherent amb el del permanganat a $525\ \mathrm{nm}$. L'ordenada a l'origen és pràcticament nul·la, cosa que confirma que el blanc corregeix bé el senyal de fons.

Procediment

Se selecciona $525\ \mathrm{nm}$, s'ajusta el zero d'absorbància amb el blanc i es mesura cada patró del més diluït al més concentrat, esbaldint la cubeta amb la dissolució corresponent. Es representa $A$ davant de $c$, s'ajusta la recta i per últim es mesura la mostra problema per triplicat en idèntiques condicions.

Tractament de dades i errors

Linealitat i interpolació

El coeficient de correlació de Pearson és:

$$r = \frac{S_{cA}}{\sqrt{S_{cc}\,S_{AA}}} = 0{,}99993, \qquad r^2 = 0{,}9999$$

que indica una linealitat excel·lent. La concentració de la mostra s'obté aïllant en la recta:

$$c_s = \frac{A_s - b_0}{m} = \frac{0{,}402 - 5\times 10^{-4}}{2{,}34\times 10^{3}} = 1{,}714\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$$

Propagació de la incertesa

La dispersió de l'ajust es mesura amb la desviació típica residual, on $d_i$ són els residus i $n-2$ els graus de llibertat:

$$s_{y/x} = \sqrt{\frac{\sum d_i^{2}}{n-2}} = 2{,}5\times 10^{-3}$$

La incertesa de la concentració interpolada, per a una mostra mesurada $k$ vegades davant de $n$ patrons, és:

$$s_{c} = \frac{s_{y/x}}{m}\sqrt{\frac{1}{k}+\frac{1}{n}+\frac{(A_s-\bar A)^2}{m^{2}\,S_{cc}}}$$

Substituint $k = 3$, $n = 5$, $A_s = 0{,}402$ i $\bar A = 0{,}3518$ s'obté $s_{c} = 0{,}008\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$. El terme dominant és el del nombre de rèpliques: augmentar $k$ redueix la incertesa.

Xifres significatives i expressió final

La incertesa típica limita l'última xifra significativa a les mil·lèsimes (en unitats de $10^{-4}$). El resultat s'expressa com:

$$c_s = (1{,}714 \pm 0{,}008)\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$$

Per a un interval de confiança del $95\ \%$ amb la $t$ de Student ($n-2 = 3$ graus de llibertat, $t = 3{,}18$):

$$c_s = (1{,}71 \pm 0{,}03)\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$$

En concentració màssica, equival a $27{,}1\ \mathrm{mg\,L^{-1}}$ de $\mathrm{KMnO_4}$. La incertesa relativa és de l'ordre del $0{,}5\ \%$, dominada per la mateixa recta de calibratge i no per la lectura de l'aparell.

Comentari didàctic

El supòsit és idoni per a $2^{\circ}$ de Batxillerat (Química) i per als cicles formatius d'anàlisi, i connecta la llei de Lambert-Beer amb el tractament estadístic de dades experimentals. Desenvolupa la competència matemàtica i en ciència i tecnologia: maneig d'instruments, ajust per mínims quadrats, propagació d'incertesa i expressió rigorosa del resultat amb les seues xifres significatives.

Entre els errors i precaucions típics convé advertir: treballar fora de l'interval lineal mesurant absorbàncies massa altes; no ajustar el blanc o tocar les cares òptiques de la cubeta deixant empremtes; confondre absorbància amb transmitància; extrapolar més enllà de l'últim patró en compte de diluir la mostra; i, sobretot, donar la concentració com un nombre exacte sense incertesa. Mereix menció la seguretat: el permanganat és un oxidant fort que taca i s'ha de manipular amb precaució. Insistir en la interpolació davant de l'extrapolació i en la comprovació d'$r^{2}$ com a criteri de qualitat —mai com a garantia— ajuda l'alumnat a interpretar críticament les seues pròpies dades.