Supòsit 22

La determinació d'una densitat és una de les pràctiques més formatives del laboratori de Física i Química: combina una mesura directa (la massa), una mesura indirecta (el volum) i, sobretot, un tractament honest de l'error experimental. La densitat $\rho = m/V$ és una propietat intensiva característica de cada substància, de manera que la seua mesura serveix tant per a identificar un material com per a introduir la propagació d'incerteses i el criteri de xifres significatives.

Enunciat

Context experimental. Al laboratori es disposa d'una peça metàl·lica compacta —un xicotet cilindre massís— de la qual es desconeix el material. Es vol determinar la seua densitat per a intentar identificar-lo per comparació amb valors tabulats.

Objectiu. Mesurar la massa i el volum de la peça, calcular la seua densitat amb la incertesa associada, expressar el resultat amb les xifres significatives correctes i discutir les principals fonts d'error.

Material i instruments.

• Balança digital de resolució $0{,}01\ \mathrm{g}$.
• Proveta graduada de $100\ \mathrm{mL}$ amb divisions d'$1\ \mathrm{mL}$.
• Aigua destil·lada, pinces, termòmetre i paper absorbent.

Es demana: la massa i el volum amb les seues incerteses; la densitat amb la seua incertesa; l'expressió final correcta del resultat; una hipòtesi sobre el metall; i una discussió de les fonts d'error.

Desenvolupament

Fonament teòric

La densitat es defineix com el quocient entre la massa i el volum:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

La massa s'obté per pesada directa. El volum d'un sòlid de forma irregular —o d'un cilindre les dimensions del qual no volem mesurar amb un calibrador— es determina per desplaçament de líquid: el volum d'aigua desplaçat en submergir totalment el sòlid és igual al volum del propi sòlid. El mètode és vàlid si la peça és insoluble en aigua, no porosa i més densa que aquesta, de manera que s'enfonse per complet. Com que $1\ \mathrm{mL} = 1\ \mathrm{cm^{3}}$, la lectura de la proveta dona directament el volum en centímetres cúbics.

Per a un líquid el procediment equivalent empraria un picnòmetre de volum conegut: es pesa buit i ple, i la densitat s'obté de la massa de líquid contingut dividida pel volum del picnòmetre.

Muntatge i procediment

1. Assecar la peça i pesar-la en la balança, anotant la massa $m$.
2. Abocar en la proveta un volum d'aigua suficient per a cobrir la peça i llegir el nivell inicial $V_{1}$, situant la vista a l'altura del menisc i prenent la seua part inferior.
3. Introduir la peça fent-la lliscar amb cura per la paret inclinada de la proveta, per a evitar esquitxades i que queden bambolles adherides. Comprovar que quede totalment submergida.
4. Llegir el nou nivell $V_{2}$ amb el mateix criteri de menisc.
5. Calcular el volum del sòlid com $V = V_{2} - V_{1}$.
6. Repetir la mesura diverses vegades i treballar amb els valors mitjans per a reduir l'error aleatori.

Tractament de dades i errors

Dades d'exemple. Amb una sola sèrie representativa s'obté:

$$m = (54{,}00 \pm 0{,}01)\ \mathrm{g}$$ $$V_{1} = (30{,}0 \pm 0{,}5)\ \mathrm{mL}, \qquad V_{2} = (50{,}0 \pm 0{,}5)\ \mathrm{mL}$$

La incertesa de cada lectura s'ha pres com a mitja divisió de la proveta ($0{,}5\ \mathrm{mL}$). Com que el volum és una diferència, les incerteses absolutes se sumen:

$$V = V_{2} - V_{1} = 20{,}0\ \mathrm{cm^{3}}, \qquad \Delta V = \Delta V_{1} + \Delta V_{2} = 1{,}0\ \mathrm{cm^{3}}$$

Valor central de la densitat:

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{54{,}00}{20{,}0} = 2{,}70\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$$

Propagació de la incertesa. En tractar-se d'un quocient, es combinen les incerteses relatives. Usant la cota d'error màxim (suma de relatives):

$$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta V}{V} = \frac{0{,}01}{54{,}00} + \frac{1{,}0}{20{,}0} = 0{,}0002 + 0{,}0500 = 0{,}0502$$

D'ací:

$$\Delta \rho = \rho \cdot 0{,}0502 = 2{,}70 \cdot 0{,}0502 = 0{,}14\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$$

El terme de la massa és unes 270 vegades menor que el del volum: la lectura de la proveta domina per complet la incertesa. Si en lloc de la cota màxima es combinen en quadratura, $\Delta\rho/\rho = \sqrt{(\Delta m/m)^2 + (\Delta V/V)^2} = 0{,}0500$, pràcticament el mateix valor.

Xifres significatives i expressió final. La incertesa s'arredoneix a una xifra significativa (dues si la primera és un $1$, com ací), i el valor central s'ajusta a la mateixa posició decimal:

$$\boxed{\ \rho = (2{,}70 \pm 0{,}14)\ \mathrm{g\,cm^{-3}}\ } \qquad \varepsilon \approx 5\,\%$$

En unitats del SI, $\rho = (2{,}70 \pm 0{,}14)\times 10^{3}\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$.

Identificació. L'interval obtingut, de $2{,}56$ a $2{,}84\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$, conté el valor tabulat de l'alumini ($2{,}70\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$), per la qual cosa la peça és compatible amb alumini. La mesura no ho prova de forma concloent —altres aliatges lleugers cauen a prop—, però orienta la hipòtesi i mostra com la densitat funciona com a criteri d'identificació.

Comentari didàctic

Aquesta pràctica és idònia en 3r i 4t d'ESO per a introduir la densitat com a propietat de la matèria i la mesura indirecta de volum, i en 1r de Batxillerat per a formalitzar el tractament d'errors i les xifres significatives. Desenvolupa la competència STEM i la competència en indagació científica: planificar una mesura, estimar la seua incertesa i comunicar el resultat amb rigor.

Convé anticipar els errors i precaucions típics:

• Paral·laxi en el menisc: llegir sempre a l'altura dels ulls i per la part inferior del menisc; és la font d'error sistemàtic més habitual.
• Bambolles adherides a la peça: augmenten aparentment el volum desplaçat i, per tant, subestimen la densitat. Cal picar suaument la proveta per a desprendre-les.
• Sòlids porosos o solubles: invaliden el mètode de desplaçament.
• Restes d'aigua en la peça o en la balança en pesar, que falsegen la massa.
• Excés de xifres: escriure $\rho = 2{,}700\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$ quan la incertesa és de $0{,}14$ transmet una precisió inexistent.

Com a tancament honest convé subratllar que cap mètode no elimina l'error: l'objectiu no és "mesurar sense fallada", sinó acotar la incertesa i expressar-la correctament. Si es busca més precisió, la via no és afinar la vista sobre la proveta, sinó canviar d'instrument —una peça de major volum, un picnòmetre per a líquids o un calibrador per a cossos de geometria regular—, perquè és el volum qui limita el resultat.