Supòsit 45

Un supòsit de laboratori centrat en una pràctica clàssica —la determinació de la acceleració de la gravetat amb un pèndol simple— que serveix per treballar la relació entre període i longitud, la propagació d'incerteses i el disseny experimental (per què es cronometren diverses oscil·lacions i per què l'angle ha de ser xicotet).

Enunciat

Per determinar l'acceleració de la gravetat $g$ al laboratori es munta un pèndol simple de longitud $L = 1{,}000\ \mathrm{m}$, mesurada amb una cinta de resolució $\pm 0{,}001\ \mathrm{m}$. Se separa un angle xicotet i es cronometra el temps de 10 oscil·lacions completes, obtenint-se $t = 20{,}1\ \mathrm{s}$ amb un cronòmetre de resolució $\pm 0{,}1\ \mathrm{s}$. Es demana:

• a) El valor de $g$ obtingut.
• b) La incertesa de $g$ per propagació d'errors i el resultat final.
• c) Justificar per què es cronometren 10 oscil·lacions en compte d'una, i per què l' angle de separació ha de ser xicotet.

Resolució

a) Valor de g

El període d'un pèndol simple en l'aproximació de xicotetes oscil·lacions és $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. El període s'obté dividint el temps total entre el nombre d' oscil·lacions:

$$T = \frac{t}{10} = \frac{20{,}1}{10} = 2{,}01\ \mathrm{s}$$

Aïllant $g$ de l'expressió del període:

$$g = \frac{4\pi^2 L}{T^2} = \frac{4\pi^2\cdot 1{,}000}{(2{,}01)^2} = \frac{39{,}478}{4{,}040} = 9{,}77\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$

b) Propagació d'errors

Com que $g$ depén de $L$ i de $T$ mitjançant productes i potències, els errors relatius es sumen ponderats pels exponents. De $g \propto L\,T^{-2}$:

$$\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2\,\frac{\Delta T}{T}$$

L'error relatiu del període és el del temps total (dividir entre 10 no canvia l'error relatiu): $\Delta T/T = \Delta t/t = 0{,}1/20{,}1 = 0{,}0050$. I $\Delta L/L = 0{,}001/1{,}000 = 0{,}0010$:

$$\frac{\Delta g}{g} = 0{,}0010 + 2\cdot 0{,}0050 = 0{,}011 \;\Longrightarrow\; \Delta g = 0{,}011\cdot 9{,}77 = 0{,}11\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$

El resultat s'expressa amb la incertesa i el nombre correcte de xifres significatives:

$$g = (9{,}77 \pm 0{,}11)\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$

El valor de referència $9{,}81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ queda dins de l'interval, així que la mesura és compatible amb el valor esperat.

c) Disseny experimental

Es cronometren 10 oscil·lacions per reduir el pes de l'error del cronòmetre: l'error de reacció en polsar (unes dècimes de segon) és fix, així que en repartir-lo entre 10 períodes el seu efecte relatiu es divideix per 10. L'angle xicotet ($\lesssim 10^\circ$) és necessari perquè només aleshores és vàlida l'aproximació $\sin\theta \approx \theta$ que condueix a $T = 2\pi\sqrt{L/g}$; amb amplituds grans el període augmenta i la fórmula deixa de ser aplicable.

Comentari didàctic

Aquesta pràctica és un excel·lent vehicle per ensenyar tractament de dades experimentals, un saber transversal del currículum. Més enllà del nombre, el que és formatiu és: expressar el resultat com a valor ± incertesa amb xifres significatives coherents; reconéixer quina magnitud domina l'error (ací el temps, per l'exponent 2 i per la resolució del cronòmetre davant de la reacció humana); i comprendre que el disseny experimental —fer la mitjana d' oscil·lacions, mantindre angles xicotets— es justifica físicament, no per costum. Una extensió natural és repetir la mesura variant $L$ i representar $T^2$ davant de $L$: el pendent $4\pi^2/g$ permet obtindre $g$ per regressió, amb menys pes dels errors puntuals. Es connecta amb el Tema 75 (treball experimental en l'àrea de ciències).