Supòsit 21

Tota mesura experimental porta associada una incertesa: cap magnitud no es coneix amb infinites xifres. Aquesta pràctica de laboratori determina la densitat d'un sòlid a partir de mesures directes i, sobretot, ensenya a tractar una sèrie de dades —mitjana, dispersió, error absolut i relatiu—, a propagar la incertesa fins a la magnitud final i a expressar el resultat amb el nombre correcte de xifres significatives.

Enunciat

En una sessió de laboratori de Física i Química es vol determinar la densitat d'un cilindre metàl·lic massís i expressar el resultat amb la seua incertesa. Es disposa del material i els instruments següents:

• Un calibre (peu de rei) de resolució $0{,}05\ \mathrm{mm}$.
• Una balança digital de resolució $0{,}01\ \mathrm{g}$.
• El cilindre metàl·lic problema.

Es demana:

• a) A partir d'una sèrie de sis mesures del diàmetre, calcular la mitjana, la desviació típica i la incertesa associada al valor mitjà.
• b) Combinar la dispersió estadística amb l'error de l'instrument i expressar el diàmetre amb el seu error absolut i relatiu.
• c) Propagar les incerteses de massa, diàmetre i altura fins a la densitat.
• d) Escriure el resultat final de la densitat amb les xifres significatives correctes.

Desenvolupament

Fonament teòric

La densitat és una magnitud derivada, $\rho = m/V$. Per a un cilindre de diàmetre $D$ i altura $h$,

$$V = \frac{\pi D^2 h}{4}, \qquad \rho = \frac{m}{V} = \frac{4m}{\pi D^2 h}$$

Com que $D$ hi intervé al quadrat, un petit error relatiu en el diàmetre pesa el doble en el de la densitat; per això convé mesurar-lo amb cura i repetir la mesura.

Quan una magnitud es mesura $n$ vegades, el millor estimador és la mitjana aritmètica i la dispersió de les dades es quantifica amb la desviació típica mostral:

$$\bar{D} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} D_i, \qquad s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(D_i - \bar{D}\right)^2}$$

La incertesa del valor mitjà (error estadístic) disminueix amb el nombre de mesures segons $s_{\bar{D}} = s/\sqrt{n}$. A aquesta cal sumar-hi, de forma quadràtica, l'error del mateix instrument $u_{\text{inst}}$:

$$u(D) = \sqrt{s_{\bar{D}}^{\,2} + u_{\text{inst}}^{2}}$$

Muntatge i procediment

1. Es mesura la massa del cilindre en la balança, anotant la resolució com a error.
2. Es mesura el diàmetre sis vegades, girant el cilindre i canviant de posició per a promitjar irregularitats i evitar l'error de paral·laxi.
3. Es mesura l'altura amb el mateix calibre.
4. Es calculen la mitjana i la dispersió del diàmetre, es propaguen els errors i s'expressa la densitat final.

Tractament de dades i errors

a) Sèrie de mesures del diàmetre. Les sis lectures (en $\mathrm{mm}$) són: 12,45; 12,50; 12,40; 12,55; 12,45; 12,45. La mitjana val

$$\bar{D} = \frac{74{,}80}{6} = 12{,}467\ \mathrm{mm}$$

i la desviació típica mostral, a partir de $\sum (D_i-\bar{D})^2 = 0{,}01333\ \mathrm{mm^2}$,

$$s = \sqrt{\frac{0{,}01333}{5}} = 0{,}052\ \mathrm{mm}, \qquad s_{\bar{D}} = \frac{0{,}052}{\sqrt{6}} = 0{,}021\ \mathrm{mm}$$

b) Incertesa i error relatiu del diàmetre. L'error del calibre és $u_{\text{inst}} = 0{,}05\ \mathrm{mm}$. Combinat amb la dispersió estadística:

$$u(D) = \sqrt{0{,}021^2 + 0{,}05^2} = 0{,}054 \approx 0{,}05\ \mathrm{mm}$$

Domina l'error de l'instrument enfront de l'estadístic. El diàmetre s'expressa llavors com $D = (12{,}47 \pm 0{,}05)\ \mathrm{mm}$, amb un error relatiu

$$\varepsilon_D = \frac{u(D)}{\bar{D}} = \frac{0{,}05}{12{,}47} = 0{,}0040 = 0{,}40\ \%$$

c) Propagació a la densitat. La massa mesurada és $m = (35{,}20 \pm 0{,}01)\ \mathrm{g}$ i l'altura $h = (40{,}00 \pm 0{,}05)\ \mathrm{mm}$. Com que $\rho = 4m/(\pi D^2 h)$ és un producte de potències, els errors relatius se sumen (cota màxima), duplicant el del diàmetre per l'exponent 2:

$$\frac{u(\rho)}{\rho} = \frac{u(m)}{m} + 2\,\frac{u(D)}{D} + \frac{u(h)}{h} = 0{,}028\ \% + 0{,}80\ \% + 0{,}125\ \% = 0{,}95\ \%$$

S'aprecia que el diàmetre aporta quasi tota la incertesa. El valor central de la densitat, amb $D = 1{,}247\ \mathrm{cm}$ i $h = 4{,}000\ \mathrm{cm}$, és

$$V = \frac{\pi\,(1{,}247)^2\,(4{,}000)}{4} = 4{,}883\ \mathrm{cm^3}, \qquad \rho = \frac{35{,}20}{4{,}883} = 7{,}209\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$$

de manera que la incertesa absoluta és $u(\rho) = 0{,}0095 \times 7{,}209 = 0{,}069\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$.

d) Expressió final. La incertesa s'arredoneix a una xifra significativa ($0{,}07$) i el valor central s'ajusta a la mateixa posició decimal:

$$\boxed{\ \rho = (7{,}21 \pm 0{,}07)\ \mathrm{g\,cm^{-3}}\ } \qquad (\varepsilon_\rho \approx 1{,}0\ \%)$$

Seria incorrecte escriure $\rho = 7{,}209\,3\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$: aquestes últimes xifres no tenen significat físic, ja que la incertesa afecta ja les centèsimes.

Comentari didàctic

Aquest supòsit és idoni per al bloc de metodologia científica de $1.^{\text{r}}$ de Batxillerat de Física i Química, i una versió simplificada (sense desviació típica, només error de l'instrument) encaixa en $4.^{\text{t}}$ d'ESO. Desenvolupa la competència matemàtica i la competència STEM en la seua dimensió d'indagació: mesurar, estimar la incertesa i comunicar el resultat amb honestedat.

Convé distingir amb claredat precisió (dispersió xicoteta, mesures reproduïbles) d'exactitud (proximitat al valor vertader): una sèrie molt agrupada pot estar esbiaixada per un mal calibratge del zero del calibre. Entre els errors típics de l'alumnat destaquen: donar massa xifres significatives creient que així el resultat és "més exacte"; confondre l'error absolut amb el relatiu; oblidar que en un producte els errors relatius se sumen i que un exponent multiplica; i no repetir les mesures, renunciant així a estimar la dispersió. Com a precaució experimental, mesurar el diàmetre en diverses posicions i comprovar el zero de l'instrument abans de començar evita biaixos sistemàtics que cap tractament estadístic posterior no podria corregir.