Supòsit 9

La inducció electromagnètica és un dels pilars del bloc d' electromagnetisme i una font habitual d'errors conceptuals. Aquest supòsit, amb la clàssica barra lliscant sobre rails, integra la llei de Faraday-Lenz, el càlcul del corrent induït, la força magnètica de frenada i el balanç energètic, i permet raonar el sentit del corrent sense recórrer a regles memorístiques.

Enunciat

Dos rails conductors horitzontals, paral·lels i separats una distància $L = 0{,}50\ \mathrm{m}$, estan units per un extrem mitjançant una resistència $R = 2{,}0\ \mathrm{\Omega}$. El conjunt està immers en un camp magnètic uniforme $B = 0{,}80\ \mathrm{T}$ perpendicular al pla dels rails i dirigit cap a fora d'aquest pla. Una barra conductora de resistència negligible es recolza sobre els rails, perpendicular a ells, i es desplaça sense fregament amb velocitat constant $v = 4{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, allunyant-se de la resistència gràcies a una força externa. La resistència dels rails i de la barra és negligible enfront de $R$.

Es demana:

• a) La força electromotriu (fem) induïda, deduïda a partir de la llei de Faraday-Lenz.
• b) La intensitat del corrent induït i el seu sentit, justificat amb la llei de Lenz.
• c) La força magnètica que actua sobre la barra i la força externa necessària per a mantenir la velocitat constant.
• d) La potència mecànica aportada i la potència elèctrica dissipada. Comprovar el balanç d'energia.
• e) La càrrega elèctrica total que circula pel circuit mentre la barra avança $\Delta x = 2{,}0\ \mathrm{m}$.

Resolució

a) Fem induïda

El flux magnètic a través del circuit depèn de l'àrea tancada, que creix a mesura que la barra avança. Si $x$ és la posició de la barra, l'àrea val $A = L\,x$ i el flux, amb $\vec{B}$ perpendicular al pla:

$$\Phi = B\,A = B\,L\,x$$

La llei de Faraday-Lenz relaciona la fem amb la variació temporal del flux. Com que $B$ i $L$ són constants i $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t = v$:

$$\varepsilon = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = -B\,L\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -B\,L\,v$$

En mòdul:

$$|\varepsilon| = B\,L\,v = 0{,}80 \times 0{,}50 \times 4{,}0 = 1{,}6\ \mathrm{V}$$

b) Corrent induït i el seu sentit

Amb la resistència de barra i rails negligible, la llei d'Ohm dóna:

$$I = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{1{,}6}{2{,}0} = 0{,}80\ \mathrm{A}$$

El flux eixent augmenta en créixer l'àrea. Segons la llei de Lenz, el corrent induït s'oposa a aquest augment i genera, a l'interior del circuit, un camp magnètic entrant. Aplicant la regla de la mà dreta, el corrent circula en sentit horari vist des del costat cap al qual apunta $\vec{B}$. Aquest raonament no necessita fórmules de signes: n'hi ha prou d'identificar quin corrent frena el canvi de flux.

c) Força magnètica i força externa

La barra, recorreguda pel corrent $I$ dins del camp $\vec{B}$, pateix una força $\vec{F} = I\,\vec{L}\times\vec{B}$. Com que el corrent és perpendicular al camp, el seu mòdul és:

$$F_{\text{mag}} = B\,I\,L = 0{,}80 \times 0{,}80 \times 0{,}50 = 0{,}32\ \mathrm{N}$$

Per la llei de Lenz, aquesta força s'oposa al moviment de la barra, és a dir, actua com un fre. Per a mantenir la velocitat constant l'acceleració és nul·la, de manera que la força externa ha d'equilibrar exactament la força magnètica:

$$F_{\text{ext}} = F_{\text{mag}} = 0{,}32\ \mathrm{N}$$

dirigida en el sentit del moviment.

d) Balanç de potències

La força externa realitza treball sobre la barra a un ritme:

$$P_{\text{mec}} = F_{\text{ext}}\,v = 0{,}32 \times 4{,}0 = 1{,}28\ \mathrm{W}$$

Tota eixa potència ha de transformar-se en energia elèctrica i dissipar-se per efecte Joule en la resistència:

$$P_{\text{elec}} = I^{2}\,R = 0{,}80^{2} \times 2{,}0 = 1{,}28\ \mathrm{W}$$

Comprovació per balanç d'energia. La potència lliurada per la fem al circuit és $P = |\varepsilon|\,I = 1{,}6 \times 0{,}80 = 1{,}28\ \mathrm{W}$, que coincideix amb $P_{\text{mec}}$ i amb $P_{\text{elec}}$. El circuit no crea energia: el treball mecànic es converteix íntegrament en calor. La igualtat $P_{\text{mec}} = P_{\text{elec}}$ valida els apartats anteriors.

e) Càrrega total desplaçada

La càrrega que travessa el circuit és la integral de la intensitat, que es pot expressar directament en funció de la variació de flux:

$$q = \int I\,\mathrm{d}t = \int \frac{|\varepsilon|}{R}\,\mathrm{d}t = \frac{\Delta\Phi}{R} = \frac{B\,L\,\Delta x}{R}$$ $$q = \frac{0{,}80 \times 0{,}50 \times 2{,}0}{2{,}0} = 0{,}40\ \mathrm{C}$$

Convé destacar que aquesta càrrega no depèn de la rapidesa amb què es desplace la barra, sinó només del flux total escombrat: moure la barra de pressa o a poc a poc transporta la mateixa càrrega, encara que canvien el corrent i el temps emprat.

Comentari didàctic

Aquest supòsit connecta amb els temes de camp magnètic i inducció electromagnètica (Tema 22/23) del temari i és idoni per a treballar diverses idees clau a l'aula. Primer, permet deduir la fem sense memoritzar $\varepsilon = BLv$: s'obté de la llei de Faraday aplicada a una àrea variable, la qual cosa reforça el concepte de flux. Segon, el sentit del corrent es raona amb Lenz com una resposta del sistema que s'oposa al canvi, evitant l'aprenentatge mecànic de regles de signes. Tercer, el balanç de potències desmunta la concepció errònia que la inducció proporciona energia gratuïta: la força de frenada és justament el mecanisme que exigeix un aport mecànic, i aquest principi explica aplicacions reals com els frens electromagnètics per corrents de Foucault. Finalment, la relació $q = \Delta\Phi/R$ ofereix una via de comprovació creuada i una discussió rica sobre quina magnitud depèn i quina no de la velocitat.