Supòsit 8

Un supòsit d'electrostàtica que reuneix les dues magnituds que descriuen el camp creat per càrregues puntuals —el vector camp elèctric i el potencial, escalar— i prolonga l'anàlisi cap al condensador pla. Permet contrastar el caràcter vectorial del camp amb el caràcter additiu algebraic del potencial i tancar amb l'emmagatzematge d'energia electrostàtica.

Enunciat

Dues càrregues puntuals estan fixes en el buit: $q_1 = +4{,}0\ \mu\mathrm{C}$ en el punt A i $q_2 = -3{,}0\ \mu\mathrm{C}$ en el punt B, separades una distància $AB = 0{,}50\ \mathrm{m}$. Un punt P dista $r_1 = 0{,}30\ \mathrm{m}$ d'A i $r_2 = 0{,}40\ \mathrm{m}$ de B. Prenga's la constant de Coulomb $k = 9{,}0\times10^9\ \mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$.

Per separat, un condensador pla té plaques d'àrea $A = 0{,}25\ \mathrm{m^2}$ separades $d = 1{,}0\times10^{-3}\ \mathrm{m}$ amb aire entre elles ($\varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}$) i es connecta a una diferència de potencial $V = 120\ \mathrm{V}$.

Es demana:

• a) El camp elèctric resultant en P (mòdul i direcció).
• b) El potencial elèctric en P.
• c) L'energia potencial d'una càrrega $q_0 = +2{,}0\ \mu\mathrm{C}$ situada en P.
• d) La capacitat del condensador i la càrrega que emmagatzema.
• e) L'energia emmagatzemada en el condensador, comprovada per dues vies alternatives.

Resolució

a) Camp elèctric en P

El camp d'una càrrega puntual té mòdul $E = k\,|q|/r^2$ i direcció radial: eixent si la càrrega és positiva, entrant si és negativa.

$$E_1 = \frac{k\,q_1}{r_1^2} = \frac{9{,}0\times10^9 \times 4{,}0\times10^{-6}}{(0{,}30)^2} = 4{,}0\times10^5\ \mathrm{N\,C^{-1}}$$

dirigit d'A cap a P (ix de la càrrega positiva), i

$$E_2 = \frac{k\,|q_2|}{r_2^2} = \frac{9{,}0\times10^9 \times 3{,}0\times10^{-6}}{(0{,}40)^2} = 1{,}69\times10^5\ \mathrm{N\,C^{-1}}$$

dirigit de P cap a B (entra en la càrrega negativa). Com que $r_1^2 + r_2^2 = 0{,}09 + 0{,}16 = 0{,}25 = AB^2$, el triangle és rectangle en P; per tant $\vec{E}_1$ i $\vec{E}_2$ són perpendiculars i el mòdul resultant s' obté per Pitàgores:

$$E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2} = \sqrt{(4{,}0)^2 + (1{,}69)^2}\times10^5 = 4{,}34\times10^5\ \mathrm{N\,C^{-1}}$$

El vector resultant forma un angle $\alpha = \arctan\!\left(E_2/E_1\right) = 22{,}9^\circ$ amb la direcció de $\vec{E}_1$, girat cap al costat de la càrrega negativa.

b) Potencial elèctric en P

El potencial és una magnitud escalar; les contribucions se sumen amb el seu signe:

$$V_P = k\left(\frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2}\right) = 9{,}0\times10^9\left(\frac{4{,}0\times10^{-6}}{0{,}30} - \frac{3{,}0\times10^{-6}}{0{,}40}\right) = 5{,}25\times10^4\ \mathrm{V}$$

Encara que el camp exigeix una suma vectorial, el potencial només requereix una suma algebraica. La contribució negativa de $q_2$ resta, però la càrrega positiva és major i està més pròxima, de manera que $V_P > 0$.

c) Energia potencial d'una càrrega en P

En situar la càrrega de prova $q_0 = +2{,}0\ \mu\mathrm{C}$ en P, la seua energia potencial electrostàtica és el producte de la càrrega pel potencial del punt:

$$U = q_0\,V_P = 2{,}0\times10^{-6}\times 5{,}25\times10^4 = 1{,}05\times10^{-1}\ \mathrm{J}$$

Aquest valor coincideix amb el treball que un agent extern ha de realitzar per a portar la càrrega des de l'infinit (on $V = 0$) fins a P sense variar la seua energia cinètica. Com que $U > 0$, cal aportar treball: la càrrega tendiria a allunyar-se si es alliberara.

d) Condensador pla: capacitat i càrrega

Per a plaques paral·leles separades per aire, la capacitat depèn només de la geometria i de la permitivitat:

$$C = \frac{\varepsilon_0\,A}{d} = \frac{8{,}85\times10^{-12}\times 0{,}25}{1{,}0\times10^{-3}} = 2{,}21\times10^{-9}\ \mathrm{F}$$

Connectat a $V = 120\ \mathrm{V}$, adquireix una càrrega

$$Q = C\,V = 2{,}21\times10^{-9}\times 120 = 2{,}66\times10^{-7}\ \mathrm{C}$$

e) Energia emmagatzemada

L'energia electrostàtica del condensador es calcula directament amb

$$U_C = \tfrac{1}{2}\,C\,V^2 = \tfrac{1}{2}\times 2{,}21\times10^{-9}\times (120)^2 = 1{,}59\times10^{-5}\ \mathrm{J}$$

Comprovació creuada. Les expressions equivalents de l'energia han de coincidir. Usant $Q = CV$:

$$U_C = \tfrac{1}{2}\,Q\,V = \tfrac{1}{2}\times 2{,}66\times10^{-7}\times 120 = 1{,}59\times10^{-5}\ \mathrm{J}$$

I a través de la densitat d'energia del camp, amb $E_{\text{cond}} = V/d = 1{,}2\times10^5\ \mathrm{N\,C^{-1}}$ i volum $A\,d$:

$$U_C = \tfrac{1}{2}\,\varepsilon_0\,E_{\text{cond}}^2 \cdot (A\,d) = \tfrac{1}{2}\times 8{,}85\times10^{-12}\times(1{,}2\times10^5)^2\times 2{,}5\times10^{-4} = 1{,}59\times10^{-5}\ \mathrm{J}$$

Els tres camins coincideixen, la qual cosa valida el càlcul. A més, el camp $1{,}2\times10^5\ \mathrm{N\,C^{-1}}$ queda molt per davall de la rigidesa dielèctrica de l'aire ($\approx 3\times10^6\ \mathrm{N\,C^{-1}}$), de manera que el condensador opera sense risc de descàrrega: l'ordre de magnitud és físicament raonable.

Comentari didàctic

Aquest supòsit connecta amb el Tema 19 del temari (interacció electrostàtica, camp i potencial) i serveix de pont cap al condensador. El seu major valor a l'aula és evidenciar dos contrastos clau: (1) el camp elèctric és vectorial —cal sumar $\vec{E}_1$ i $\vec{E}_2$ atenent la seua direcció, ací facilitada per la perpendicularitat del triangle rectangle—, mentre que el potencial és escalar i només exigeix una suma amb signe; i (2) la relació $U = q_0 V$ enllaça el potencial amb l'energia potencial i, ja en el condensador, amb l'energia emmagatzemada $U_C = \tfrac{1}{2}CV^2$. La triple comprovació de l'energia —via tensió, via càrrega i via densitat d'energia del camp— mostra a l'opositor com articular una verificació interna del resultat i proposa a l'alumnat la comprovació creuada com a hàbit d'autoavaluació. Convé insistir en les unitats del SI i en l'ordre de magnitud com a filtres de coherència abans de donar un resultat per bo.