Supòsit 7

Un supòsit que integra la descripció d'una ona harmònica —lectura de la seua equació i extracció de totes les seues magnituds— amb l'efecte Doppler, un dels fenòmens ondulatoris de major rendiment didàctic. Permet a més desmuntar una concepció alternativa molt freqüent: confondre la velocitat de propagació de l'ona amb la velocitat de vibració d'un punt del medi.

Enunciat

Una ona harmònica transversal es propaga per una corda tensa i la seua elongació ve donada, en unitats del SI, per

$$y(x,t) = 0{,}040\,\sin\!\left(20\pi\,t - 5\pi\,x\right)$$

Més endavant es considera una segona situació, independent de l'anterior: un focus sonor (la sirena d'un vehicle) emet un to pur de freqüència $f_0 = 680\ \mathrm{Hz}$ i el so es propaga per l'aire amb velocitat $v = 340\ \mathrm{m\,s^{-1}}$.

Es demana:

• a) Amplitud, període, freqüència, nombre d'ona, longitud d'ona, velocitat de propagació i sentit d'avanç de l'ona de la corda.
• b) La velocitat i l'acceleració màximes amb què oscil·la un punt de la corda, i la seua comparació amb la velocitat de propagació.
• c) La freqüència que percep un observador en repòs quan el focus sonor se n'acosta a $34\ \mathrm{m\,s^{-1}}$.
• d) La freqüència percebuda quan el focus s'allunya a eixa mateixa rapidesa, i la seua comparació amb el cas en què és l'observador qui s'acosta al focus (en repòs) a $34\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. Discutir l'asimetria focus–observador.

Resolució

a) Característiques de l'ona harmònica

Comparant l'equació donada amb la forma general $y = A\sin(\omega t - kx)$ es lligen de forma directa l'amplitud, la pulsació i el nombre d'ona:

$$A = 0{,}040\ \mathrm{m}, \qquad \omega = 20\pi\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad k = 5\pi\ \mathrm{rad\,m^{-1}}$$

D'ací s'obtenen les magnituds derivades:

$$f = \frac{\omega}{2\pi} = 10\ \mathrm{Hz}, \qquad T = \frac{1}{f} = 0{,}10\ \mathrm{s}$$ $$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{5\pi} = 0{,}40\ \mathrm{m}, \qquad v = \frac{\omega}{k} = \frac{20\pi}{5\pi} = 4{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

L'argument té la forma $(\omega t - kx)$, amb signes oposats per a $t$ i $x$, de manera que l'ona avança en el sentit positiu de l'eix $X$.

Comprovació creuada. La velocitat de propagació ha de complir $v = \lambda f$: $0{,}40\cdot 10 = 4{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, d'acord amb el valor obtingut com a $\omega/k$.

b) Velocitat i acceleració d'un punt del medi

Cada punt de la corda executa un moviment harmònic simple perpendicular al de propagació. Derivant l'elongació respecte al temps:

$$v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = A\omega\cos(\omega t - kx), \qquad a_y = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -A\omega^2\sin(\omega t - kx)$$

Els valors màxims (quan el cosinus o el sinus valen la unitat) són:

$$v_{y,\text{max}} = A\omega = 0{,}040\cdot 20\pi = 2{,}5\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$ $$a_{y,\text{max}} = A\omega^2 = 0{,}040\cdot(20\pi)^2 = 16\pi^2 = 158\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$

Convé subratllar que $v_{y,\text{max}} = 2{,}5\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ no és la velocitat de propagació $v = 4{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$: la primera descriu com puja i baixa un punt fix de la corda; la segona, com es trasllada la pertorbació. El seu quocient coincideix amb el pendent màxim del perfil, $v_{y,\text{max}}/v = Ak = 0{,}040\cdot 5\pi = 0{,}63$, coherent amb una ona d' amplitud xicoteta enfront de la longitud d'ona.

c) Efecte Doppler: focus que s'acosta

Amb el focus i l'observador alineats, la freqüència percebuda s'obté de l' expressió general

$$f' = f_0\,\frac{v \pm v_O}{v \mp v_F}$$

on $v_O$ i $v_F$ són les rapideses de l'observador i del focus, i els signes es trien de manera que un acostament augmente la freqüència. Amb l'observador en repòs ($v_O = 0$) i el focus acostant-se ($v_F = 34\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, signe menys en el denominador):

$$f' = f_0\,\frac{v}{v - v_F} = 680\cdot\frac{340}{340 - 34} = 680\cdot\frac{340}{306} = 755{,}6\ \mathrm{Hz}$$

La freqüència puja, com correspon a un focus que s'aproxima (les ones arriben "comprimides"). L'increment relatiu és $v_F/(v - v_F) = 34/306 = 0{,}111$, és a dir, un $11{,}1\ \%$, un ordre de magnitud raonable per a una rapidesa del focus igual al $10\ \%$ de la del so.

d) Focus que s'allunya i comparació amb l'observador mòbil

Si el focus s'allunya de l'observador en repòs, el signe del denominador s' inverteix:

$$f'_{\text{allun}} = f_0\,\frac{v}{v + v_F} = 680\cdot\frac{340}{374} = 618{,}2\ \mathrm{Hz}$$

Considerem ara la situació recíproca: focus en repòs i observador que s' acosta a $v_O = 34\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ (signe més en el numerador):

$$f'_{\text{obs}} = f_0\,\frac{v + v_O}{v} = 680\cdot\frac{374}{340} = 748{,}0\ \mathrm{Hz}$$

Encara que la rapidesa relativa d'aproximació és la mateixa ($34\ \mathrm{m\,s^{-1}}$), els resultats difereixen: $755{,}6\ \mathrm{Hz}$ amb el focus en moviment enfront de $748{,}0\ \mathrm{Hz}$ amb l'observador en moviment. L'efecte Doppler per a ones mecàniques no és simètric perquè el medi (l'aire) defineix un sistema de referència privilegiat: quan es mou el focus canvia la longitud d'ona emesa, mentre que quan es mou l'observador només canvia el ritme amb què aquest travessa fronts d'ona de $\lambda$ inalterada. Numèricament, el desplaçament val $v_F/(v - v_F) = 11{,}1\ \%$ en un cas i $v_O/v = 10{,}0\ \%$ en l'altre, la qual cosa explica la xicoteta diferència.

Comentari didàctic

El supòsit recorre per complet el Tema 18 (moviment ondulatori): des de la interpretació de l'equació d'una ona harmònica fins a un fenomen de propagació com l'efecte Doppler. Els apartats a) i b) són idonis per a fixar la distinció, no sempre ben assimilada, entre la velocitat de propagació de l'ona i la velocitat d'oscil·lació del medi, error conceptual molt comú en Batxillerat. El bloc Doppler té, a més, un fort valor motivador per les seues aplicacions —radar de trànsit, ecografia Doppler, corriment cap al roig en astrofísica— i permet introduir la idea de sistema de referència del medi en justificar l'asimetria focus–observador. Com a estratègia d'aula, convé resoldre el Doppler per dues vies: la fórmula general amb el seu criteri de signes i el raonament qualitatiu sobre fronts d'ona comprimits o dilatats, de manera que l'alumnat dispose d'una comprovació de sentit físic abans d'acceptar qualsevol nombre.