Supòsit 64

Enunciat

Es detecta un corrent d'àtoms de Cobalt-60 (⁶⁰Co) que es mouen al 80 % de la velocitat de la llum (0,8 c) respecte al laboratori. El ⁶⁰Co pateix desintegració beta, $\ce{^60Co -> ^60Ni + e- + \overline{\nu}_e}$. La vida mitjana del ⁶⁰Co en repòs és 5,27 anys. Masses atòmiques: ⁶⁰Co = 59,933819 u, ⁶⁰Ni = 59,930789 u, e⁻ = 0,00054858 u ($1\ \mathrm{u} = 931{,}5\ \mathrm{MeV/c^2}$).

• a) Factor de Lorentz $\gamma$ a 0,8 c. (10 %)
• b) Com afecta la vida mitjana observada ($\tau$) enfront de la pròpia ($\tau_0$). (15 %)
• c) Energia de desintegració (valor Q) en MeV. (25 %)
• d) Suposant el ⁶⁰Co en repòs i el ⁶⁰Ni amb velocitat menyspreable, energia cinètica i velocitat de l'electró emès al laboratori. (30 %)
• e) Massa relativista del ⁶⁰Co a 0,8 c. (20 %)

Solució

a) Factor de Lorentz

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}8^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{1}{0{,}6} = 1{,}667$$

b) Dilatació de la vida mitjana

El temps propi del ⁶⁰Co (en el seu marc de repòs) es dilata al laboratori segons $\tau = \gamma\,\tau_0$. Per a l'observador del laboratori els àtoms «viuen més»:

$$\tau = 1{,}667\cdot 5{,}27 = 8{,}78\ \mathrm{anys}$$

És la raó física per la qual les partícules ràpides recorren distàncies molt majors de les que permetria la seua vida pròpia (el mateix efecte que explica l'arribada de muons a la superfície).

c) Valor Q

Usant masses atòmiques (que ja inclouen els electrons orbitals), en la desintegració β⁻ l'electró emès queda comptabilitzat per l'electró extra del níquel ($Z$ passa de 27 a 28), de manera que

$$Q = \big[M(\ce{^60Co}) - M(\ce{^60Ni})\big]c^2 = (59{,}933819 - 59{,}930789)\cdot 931{,}5 = 0{,}003030\cdot 931{,}5 = 2{,}82\ \mathrm{MeV}$$

(La massa de l'electró donada a l'enunciat no cal restar-la a banda: amb masses atòmiques es cancel·la automàticament.)

d) Energia cinètica i velocitat de l'electró

Amb la simplificació que el ⁶⁰Ni no s'emporta energia apreciable, l'energia disponible és per a l'electró (i l'antineutrí). En el cas límit en què l'electró s'emporta tota l'energia —la seua energia màxima de l'espectre β— $E_c \approx Q = 2{,}82\ \mathrm{MeV}$. La seua energia total és

$$E = E_c + m_e c^2 = 2{,}82 + 0{,}511 = 3{,}33\ \mathrm{MeV}, \qquad \gamma_e = \frac{E}{m_e c^2} = \frac{3{,}33}{0{,}511} = 6{,}52$$ $$v = c\sqrt{1 - \frac{1}{\gamma_e^2}} = c\sqrt{1 - \frac{1}{6{,}52^2}} = 0{,}988\,c$$

L'electró ix ultrarelativista, a $\approx 0{,}99\,c$. (En realitat l'energia es reparteix amb l'antineutrí, així que 2,82 MeV és l'extrem superior de l'espectre continu d'emissió β.)

e) Massa relativista

$$m = \gamma\,m_0 = 1{,}667\cdot 59{,}933819 = 99{,}9\ \mathrm{u}$$

Convé matisar que la física moderna prefereix parlar de massa invariant (la massa en repòs $m_0$, la mateixa en tots els sistemes) i descriure l'augment d'inèrcia amb l'energia relativista $E = \gamma m_0 c^2$; la «massa relativista» $\gamma m_0$ és una forma clàssica, hui en desús, d'expressar eixe mateix fet.