Supòsit 63

Enunciat

Un punt material de massa $M$ es mou sense fregament i sota l'acció de la gravetat sobre una esfera de radi $R$, secundada sense possibilitat de desplaçar-se sobre un pla horitzontal. Parteix del repòs des d'un punt infinitesimalment pròxim al més alt de l'esfera.

• a) Mòdul de la velocitat en funció de l'altura a terra $h$ i de l'angle $\theta$ amb la vertical (abans de deixar el contacte). (20 %)
• b) Mòdul del moment angular. (15 %)
• c) Angle al qual perd el contacte. (25 %)
• d) Amb fregament, l'angle seria més gran o més xicotet? (10 %)
• e) Distància entre el punt d'impacte al pla i el punt de contacte de l'esfera amb el pla, si $R = 3\ \mathrm{m}$. (20 %)
• f) Com canviarien c i e si la massa fóra una esfera de radi $r = 0{,}1\ \mathrm{m}$ que roda ($I = \tfrac{2}{5}Mr^2$)? (10 %)

Problema 3

Desenganxada en θ i trajectòria parabòlica fins al terra (R = 3 m)

θ

inici

desenganxada

contacte

impacte

paràbola

Solució

a) Velocitat

L'esfera té el centre a altura $R$; el punt més alt és a $2R$. En un angle $\theta$ mesurat des de la vertical, la partícula és a altura $h = R + R\cos\theta = R(1+\cos\theta)$, havent baixat $\Delta h = 2R - h = R(1-\cos\theta)$. Com que no hi ha fregament, es conserva l'energia:

$$\tfrac{1}{2}Mv^2 = Mg\,\Delta h \;\Longrightarrow\; v = \sqrt{2gR(1-\cos\theta)} = \sqrt{2g(2R - h)}$$

b) Moment angular

Respecte al centre de l'esfera, la velocitat és tangent a la circumferència (perpendicular al radi $R$), de manera que

$$L = M v R = M R\sqrt{2gR(1-\cos\theta)}$$

c) Angle de desenganxada

La partícula abandona la superfície quan la força normal s'anul·la. La component radial del pes és la que aporta la força centrípeta:

$$Mg\cos\theta - N = \frac{Mv^2}{R}; \qquad N = 0 \;\Longrightarrow\; v^2 = gR\cos\theta$$

Igualant amb $v^2 = 2gR(1-\cos\theta)$:

$$2gR(1-\cos\theta) = gR\cos\theta \;\Longrightarrow\; \cos\theta = \tfrac{2}{3} \;\Longrightarrow\; \theta = 48{,}2^\circ$$

Notablement, no depèn de $R$, $M$ ni $g$.

d) Efecte del fregament

Amb fregament la partícula arriba a cada angle amb menys velocitat. La condició de desenganxada $v^2 = gR\cos\theta$ s'assoleix llavors més tard, quan $\theta$ és major (i $\cos\theta$ menor): el fregament fa que la massa es mantinga enganxada a l'esfera fins a un angle major que 48,2°.

e) Punt d'impacte ($R = 3\ \mathrm{m}$)

En la desenganxada, amb $\cos\theta = 2/3$ i $\mathrm{sen}\,\theta = \sqrt5/3 = 0{,}745$:

• Altura: $h = R(1+\cos\theta) = 3\cdot\tfrac{5}{3} = 5\ \mathrm{m}$.
• Distància horitzontal a l'eix: $x_0 = R\,\mathrm{sen}\,\theta = 2{,}24\ \mathrm{m}$.
• Rapidesa: $v = \sqrt{2gR(1-\cos\theta)} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 3\cdot\tfrac{1}{3}} = 4{,}43\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, dirigida $\theta$ per davall de l'horitzontal: $v_x = v\cos\theta = 2{,}95$, $v_y = -v\,\mathrm{sen}\,\theta = -3{,}30\ \mathrm{m\,s^{-1}}$.

Tir parabòlic fins a $y = 0$:

$$0 = 5 - 3{,}30\,t - 4{,}9\,t^2 \;\Longrightarrow\; t = 0{,}728\ \mathrm{s}, \qquad x = x_0 + v_x t = 2{,}24 + 2{,}95\cdot 0{,}728 = 4{,}39\ \mathrm{m}$$

Com que el punt de contacte de l'esfera és just davall del centre, la distància demanada és $\boxed{4{,}39\ \mathrm{m}}$.

f) Si la massa fóra una esfera que roda

En rodar sense lliscar, l'energia es reparteix entre translació i rotació, $Mg\Delta h = \tfrac{1}{2}Mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2 = \tfrac{7}{10}Mv^2$, i el centre de l'esfera descriu un cercle de radi $R+r$. La condició de desenganxada $v^2 = g(R+r)\cos\theta$ combinada amb l'energia dóna:

$$\tfrac{10}{7}(1-\cos\theta) = \cos\theta \;\Longrightarrow\; \cos\theta = \tfrac{10}{17} = 0{,}588 \;\Longrightarrow\; \theta = 54{,}0^\circ$$

L'angle de desenganxada augmenta (de 48,2° a 54,0°), perquè part de l'energia es «gasta» en rotació i la velocitat de translació creix més a poc a poc. Amb $r = 0{,}1\ \mathrm{m} \ll R$ l'efecte sobre l'altura i l'abast del punt e és menut (el radi efectiu passa de 3 a 3,1 m), però en desenganxar-se més tard i més avall el punt d'impacte es desplaça lleugerament; recalculant amb $\cos\theta = 10/17$ i $R+r = 3{,}1\ \mathrm{m}$, la distància resulta de l'ordre de $4{,}3\ \mathrm{m}$.