Supòsit 6

Aquest supòsit integra l'equació d'estat del gas ideal i el primer principi de la termodinàmica sobre un cicle tancat format per les tres transformacions més característiques —isòbara, isòcora i isoterma—. Permet calcular en cada tram el treball, la calor i la variació d'energia interna, i tancar amb una comprovació potent: que l'energia interna és una funció d'estat, de manera que la seua variació en un cicle complet és nul·la.

Enunciat

Una quantitat fixa de $n = 2{,}0\ \mathrm{mol}$ d'un gas ideal diatòmic (considereu aire, amb capacitats molars $C_V = \tfrac{5}{2}R$ i $C_p = \tfrac{7}{2}R$) descriu el cicle tancat $A\to B\to C\to A$:

• Estat $A$: $p_A = 1{,}0\times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$ i $V_A = 0{,}050\ \mathrm{m^3}$.
• $A\to B$: expansió isòbara fins a $V_B = 0{,}100\ \mathrm{m^3}$.
• $B\to C$: refredament isòcor fins a $p_C = 0{,}50\times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$.
• $C\to A$: compressió isoterma que retorna el gas a l'estat inicial.

Preneu $R = 8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ i el criteri de signes $\Delta U = Q - W$, on $W$ és el treball realitzat per el gas.

Es demana:

• a) Aplicar l'equació d'estat per a obtenir les temperatures d'$A$, $B$ i $C$.
• b) El treball, la calor i la variació d'energia interna en la isòbara $A\to B$.
• c) Les mateixes magnituds en la isòcora $B\to C$.
• d) Les mateixes magnituds en la isoterma $C\to A$.
• e) El balanç del cicle complet: comprovar que $\Delta U = 0$ i que la calor neta iguala el treball net, i estimar el rendiment.

Resolució

a) Equació d'estat i temperatures

De $pV = nRT$ s'aïlla $T = pV/(nR)$, amb $nR = 2{,}0\cdot 8{,}314 = 16{,}628\ \mathrm{J\,K^{-1}}$:

$$T_A = \frac{1{,}0\times 10^{5}\cdot 0{,}050}{16{,}628} = 301\ \mathrm{K}, \qquad T_B = \frac{1{,}0\times 10^{5}\cdot 0{,}100}{16{,}628} = 601\ \mathrm{K}$$ $$T_C = \frac{0{,}50\times 10^{5}\cdot 0{,}100}{16{,}628} = 301\ \mathrm{K}$$

Que $T_C = T_A$ confirma que $C$ i $A$ estan sobre la mateixa isoterma, coherent amb el fet que $C\to A$ siga isoterma. Noteu a més que $p_A V_A = p_C V_C = 5{,}0\times 10^{3}\ \mathrm{J}$.

b) Isòbara $A\to B$

A pressió constant el treball del gas és $W = p\,\Delta V$, amb $\Delta V = 0{,}100 - 0{,}050 = 0{,}050\ \mathrm{m^3}$:

$$W_{A\to B} = p_A\,\Delta V = 1{,}0\times 10^{5}\cdot 0{,}050 = 5{,}0\times 10^{3}\ \mathrm{J}$$

Com que $p\,\Delta V = nR\,\Delta T = 5{,}0\times 10^{3}\ \mathrm{J}$, la variació d'energia interna i la calor s'obtenen sense arrossegar l'arrodoniment de les temperatures:

$$\Delta U_{A\to B} = nC_V\,\Delta T = \tfrac{5}{2}\,nR\,\Delta T = \tfrac{5}{2}\cdot 5{,}0\times 10^{3} = 1{,}25\times 10^{4}\ \mathrm{J}$$ $$Q_{A\to B} = nC_p\,\Delta T = \tfrac{7}{2}\,nR\,\Delta T = \tfrac{7}{2}\cdot 5{,}0\times 10^{3} = 1{,}75\times 10^{4}\ \mathrm{J}$$

Comprovació: $Q = \Delta U + W = 12{,}5 + 5{,}0 = 17{,}5\ \mathrm{kJ}$, que coincideix amb $Q_{A\to B}$. El gas absorbeix calor, s'expandeix i s'escalfa.

c) Isòcora $B\to C$

En no variar el volum, el gas no realitza treball: $W_{B\to C} = 0$. Ara $nR\,\Delta T = V\,\Delta p$, amb $\Delta p = 0{,}50\times 10^{5} - 1{,}0\times 10^{5} = -0{,}50\times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$:

$$V\,\Delta p = 0{,}100\cdot(-0{,}50\times 10^{5}) = -5{,}0\times 10^{3}\ \mathrm{J}$$ $$\Delta U_{B\to C} = \tfrac{5}{2}\,nR\,\Delta T = \tfrac{5}{2}\cdot(-5{,}0\times 10^{3}) = -1{,}25\times 10^{4}\ \mathrm{J}$$ $$Q_{B\to C} = \Delta U_{B\to C} + W_{B\to C} = -1{,}25\times 10^{4}\ \mathrm{J}$$

Tota la calor cedida ($12{,}5\ \mathrm{kJ}$) ix a costa de l'energia interna: el gas es refreda a volum constant.

d) Isoterma $C\to A$

En un gas ideal l'energia interna només depèn de la temperatura, així que $\Delta U_{C\to A} = 0$. El treball de la compressió isoterma és

$$W_{C\to A} = nRT\,\ln\frac{V_A}{V_C} = 5{,}0\times 10^{3}\cdot\ln\frac{0{,}050}{0{,}100} = 5{,}0\times 10^{3}\cdot(-0{,}693) = -3{,}47\times 10^{3}\ \mathrm{J}$$

on s'ha usat $nRT = p_C V_C = 5{,}0\times 10^{3}\ \mathrm{J}$. Pel primer principi,

$$Q_{C\to A} = \Delta U_{C\to A} + W_{C\to A} = -3{,}47\times 10^{3}\ \mathrm{J}$$

El treball és negatiu (es comprimeix, es fa treball sobre el gas) i, com que $\Delta U = 0$, el gas cedeix al focus exactament aquesta calor.

e) Balanç del cicle i rendiment

L'energia interna és funció d'estat; sumant els tres trams:

$$\Delta U_{\text{ciclo}} = 12{,}5 - 12{,}5 + 0 = 0\ \mathrm{kJ}$$

tal com exigeix que $A$ siga l'estat inicial i final. El treball net i la calor neta valen

$$W_{\text{net}} = 5{,}0 + 0 - 3{,}47 = 1{,}53\ \mathrm{kJ}, \qquad Q_{\text{net}} = 17{,}5 - 12{,}5 - 3{,}47 = 1{,}53\ \mathrm{kJ}$$

Comprovació creuada: en ser $\Delta U_{\text{ciclo}} = 0$, el primer principi imposa $Q_{\text{net}} = W_{\text{net}}$, i ambdós coincideixen en $1{,}53\ \mathrm{kJ}$. El signe positiu indica que el cicle, recorregut en sentit horari en el diagrama $p\text{-}V$, funciona com una màquina tèrmica. El seu rendiment, prenent com a calor absorbida únicament $Q_{A\to B}$:

$$\eta = \frac{W_{\text{net}}}{Q_{A\to B}} = \frac{1{,}53}{17{,}5} \approx 0{,}088 = 8{,}8\ \%$$

En ordre de magnitud és un rendiment modest, esperable en un cicle amb tan poca àrea tancada davant de la calor mobilitzada.

Comentari didàctic

El supòsit enllaça la teoria cineticomolecular del gas ideal (Tema 15) amb el primer principi de la termodinàmica (Tema 12) i obri la porta a l'estudi de les màquines tèrmiques i el segon principi (Tema 16). El seu major valor a l'aula és metodològic: obliga a distingir amb rigor les tres magnituds —$W$, $Q$ i $\Delta U$— i a recordar que només l'última és funció d'estat, mentre que calor i treball depenen del camí. Convé explotar les relacions $p\,\Delta V = nR\,\Delta T$ (isòbara) i $V\,\Delta p = nR\,\Delta T$ (isòcora) per a evitar l'arrossegament d'errors d'arrodoniment en les temperatures, i proposar a l'alumnat la doble comprovació del tancament del cicle ($\Delta U = 0$ i $Q_{\text{net}} = W_{\text{net}}$) com a estratègia d'autoavaluació. És també una ocasió natural per a assenyalar una concepció alternativa molt estesa: creure que un procés isoterm no intercanvia calor. La resolució mostra el contrari: en ser $\Delta U = 0$, tot el treball intercanviat es compensa amb calor.