Supòsit 51

Enunciat

En un dispositiu electrònic miniaturitzat, dos punts carregats generen un camp elèctric que pot afectar el moviment de partícules dins del sistema. Es disposa de dues càrregues puntuals en el buit:

• $q_1 = +2{,}0\ \mu\mathrm{C}$ situada al punt $(0, 0)$ cm
• $q_2 = -3{,}0\ \mu\mathrm{C}$ situada al punt $(40, 0)$ cm

Es considera un sistema de referència cartesià amb origen en $(0,0)$. Un punt $P$ es troba en $(20, 30)$ cm.

a) Dibuixa la situació indicant la posició de les càrregues, el punt $P$ i els vectors camp elèctric generats per cada càrrega en el punt $P$. (3 punts) b) Calcula els vectors camp elèctric creats per cada càrrega en el punt $P$. (6 punts) c) Determina el camp elèctric resultant (vectorialment) en el punt $P$. (3 punts) d) Calcula el mòdul del camp elèctric resultant. (2 punts) e) En el punt $P$ es col·loca una partícula amb càrrega $q = +2{,}5\ \mu\mathrm{C}$. Calcula la força elèctrica que actua sobre la partícula (vectorialment). (3 punts) f) Determina l'angle que forma el vector camp elèctric amb l'eix horitzontal. (3 punts)

(Dades: $k = 9{,}0\cdot 10^{9}$ N·m²·C⁻²)

Solució

a) Esquema. El punt $P$ està sobre la mediatriu del segment que uneix les càrregues (a 20 cm de cadascuna en horitzontal), de manera que les dues distàncies són iguals. $\vec{E}_1$ s'allunya de $q_1$ (positiva) i $\vec{E}_2$ apunta cap a $q_2$ (negativa):

Balears 2026 · A5

Camp elèctric en el punt P

b) Camps individuals. Els vectors de posició respecte de cada càrrega, en metres:

$$\vec{r}_1 = (0{,}20;\ 0{,}30), \qquad \vec{r}_2 = (0{,}20-0{,}40;\ 0{,}30) = (-0{,}20;\ 0{,}30)$$

Els dos tenen el mateix mòdul, $r = \sqrt{0{,}20^2+0{,}30^2} = \sqrt{0{,}13} = 0{,}3606$ m, amb $r^2 = 0{,}13\ \mathrm{m^2}$. Els unitaris són $\hat{u}_1 = (0{,}5547;\ 0{,}8321)$ i $\hat{u}_2 = (-0{,}5547;\ 0{,}8321)$.

Per a la càrrega positiva, el camp va en el sentit de $\hat{u}_1$ (allunyant-se):

$$\vec{E}_1 = k\frac{q_1}{r^2}\,\hat{u}_1 = \frac{9{,}0\cdot 10^{9}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-6}}{0{,}13}\,(0{,}5547;\ 0{,}8321) = (7{,}68\cdot 10^{4};\ 1{,}15\cdot 10^{5})\ \mathrm{N/C}$$

amb mòdul $1{,}38\cdot 10^{5}$ N/C. Per a la càrrega negativa, el camp va en sentit contrari a $\hat{u}_2$ (cap a la càrrega):

$$\vec{E}_2 = -k\frac{|q_2|}{r^2}\,\hat{u}_2 = \frac{9{,}0\cdot 10^{9}\cdot 3{,}0\cdot 10^{-6}}{0{,}13}\,(0{,}5547;\ -0{,}8321) = (1{,}15\cdot 10^{5};\ -1{,}73\cdot 10^{5})\ \mathrm{N/C}$$

amb mòdul $2{,}08\cdot 10^{5}$ N/C. Fixa't que les components $x$ se sumen (les dues apunten cap a $+x$, cap a la càrrega negativa) mentre que les $y$ es resten.

c) Camp resultant.

$$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = (7{,}68\cdot 10^{4} + 1{,}152\cdot 10^{5};\ 1{,}152\cdot 10^{5} - 1{,}728\cdot 10^{5})$$ $$\boxed{\vec{E} = (1{,}92\cdot 10^{5};\ -5{,}76\cdot 10^{4})\ \mathrm{N/C}}$$

d) Mòdul.

$$|\vec{E}| = \sqrt{(1{,}920\cdot 10^{5})^2 + (5{,}760\cdot 10^{4})^2} = 2{,}00\cdot 10^{5}\ \mathrm{N/C}$$

Compte amb l'error freqüent de sumar els mòduls: $1{,}38\cdot 10^{5} + 2{,}08\cdot 10^{5}$ donaria $3{,}46\cdot 10^{5}$ N/C, un 73 % de més.

e) Força sobre la càrrega de prova. Com que $q = +2{,}5\ \mu\mathrm{C}$ és positiva, $\vec{F}$ té la mateixa direcció i sentit que $\vec{E}$:

$$\vec{F} = q\vec{E} = 2{,}5\cdot 10^{-6}\,(1{,}920\cdot 10^{5};\ -5{,}760\cdot 10^{4}) = (0{,}480;\ -0{,}144)\ \mathrm{N}$$

amb mòdul $|\vec{F}| = 2{,}5\cdot 10^{-6}\cdot 2{,}005\cdot 10^{5} = 0{,}501$ N.

f) Angle amb l'eix horitzontal.

$$\tan\theta = \frac{E_y}{E_x} = \frac{-5{,}760\cdot 10^{4}}{1{,}920\cdot 10^{5}} = -0{,}300 \quad\Longrightarrow\quad \theta = -16{,}7^\circ$$

És a dir, 16,7° per davall de l'eix $+x$ (quart quadrant, coherent amb $E_x>0$ i $E_y<0$). Qualitativament té sentit: el camp resultant apunta cap a la càrrega negativa, que és la que domina per ser més gran en valor absolut.