Supòsit 50

Enunciat

En un experiment sobre l'efecte fotoelèctric, una làmina metàl·lica és il·luminada amb radiació monocromàtica de longitud d'ona $\lambda = 350$ nm. S'observa que els electrons emesos tenen una energia cinètica màxima d'1,20 eV.

a) Calcula la freqüència de la radiació incident. (3 punts) b) Determina l'energia dels fotons incidents en eV. (3 punts) c) Calcula la funció de treball del metall. (4 punts) d) Determina la freqüència llindar del metall. (5 punts) e) Si es repeteix l'experiment amb una radiació de $\lambda = 500$ nm, indica si es produirà efecte fotoelèctric i justifica-ho quantitativament. (6 punts)

(Dades: $h = 6{,}626\cdot 10^{-34}$ J·s; 1 eV $= 1{,}602\cdot 10^{-19}$ J; $c = 3\cdot 10^{8}$ m·s⁻¹)

Solució

a) Freqüència.

$$f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3\cdot 10^{8}}{350\cdot 10^{-9}} = 8{,}57\cdot 10^{14}\ \mathrm{Hz}$$

b) Energia del fotó.

$$E = hf = 6{,}626\cdot 10^{-34} \cdot 8{,}571\cdot 10^{14} = 5{,}68\cdot 10^{-19}\ \mathrm{J} = \frac{5{,}679\cdot 10^{-19}}{1{,}602\cdot 10^{-19}} = 3{,}55\ \mathrm{eV}$$

c) Funció de treball. L'equació d'Einstein $E = W + E_{c,\text{màx}}$ dona

$$W = 3{,}545 - 1{,}20 = \boxed{2{,}35\ \mathrm{eV}} = 3{,}76\cdot 10^{-19}\ \mathrm{J}$$

d) Freqüència llindar.

$$f_0 = \frac{W}{h} = \frac{3{,}757\cdot 10^{-19}}{6{,}626\cdot 10^{-34}} = 5{,}67\cdot 10^{14}\ \mathrm{Hz}$$

que correspon a $\lambda_0 = c/f_0 = 529$ nm, en el verd-groc: el metall respon a tot el visible per damunt d'eixa longitud d'ona (potassi i cesi tenen valors d'este ordre).

e) Amb $\lambda = 500$ nm. La freqüència és

$$f' = \frac{3\cdot 10^{8}}{500\cdot 10^{-9}} = 6{,}00\cdot 10^{14}\ \mathrm{Hz} > f_0 = 5{,}67\cdot 10^{14}\ \mathrm{Hz}$$

Sí que es produeix efecte fotoelèctric, encara que just per damunt del llindar. Quantitativament, $E' = hf' = 3{,}98\cdot 10^{-19}$ J $= 2{,}48$ eV, i

$$E_{c,\text{màx}}' = 2{,}482 - 2{,}345 = 0{,}14\ \mathrm{eV} = 2{,}2\cdot 10^{-20}\ \mathrm{J}$$

Els electrons ixen, però amb una energia cinètica 8,8 vegades menor que amb 350 nm. Convé subratllar el que això il·lustra: augmentar la intensitat de la llum de 500 nm produiria més electrons però igual d'energètics; el que fixa $E_{c,\text{màx}}$ és només la freqüència. És l'argument que la física clàssica no podia explicar.