Supòsit 4

Un supòsit de dinàmica del sòlid rígid que integra el moment d'una força, l'equació fonamental de la rotació $\tau = I\alpha$ i la conservació de l'energia. El seu interès rau a mostrar que, quan la corriola té massa apreciable, les tensions als dos costats de la corda deixen de ser iguals: és precisament aquesta diferència la que proporciona el parell que fa girar la corriola.

Enunciat

Dos blocs de masses $m_1 = 4{,}0\ \mathrm{kg}$ i $m_2 = 2{,}0\ \mathrm{kg}$ estan units per una corda inextensible i de massa menyspreable que passa per una corriola. La corriola es modela com un disc homogeni de massa $M = 2{,}0\ \mathrm{kg}$ i radi $R = 0{,}10\ \mathrm{m}$, que gira sense fricció en el seu eix. La corda no rellisca sobre la corriola. El sistema s'allibera des del repòs. Preneu $g = 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$.

Es demana:

• a) El moment d'inèrcia de la corriola respecte al seu eix de gir.
• b) L'acceleració lineal de les masses i l'acceleració angular de la corriola.
• c) Les tensions $T_1$ i $T_2$ en cada tram de la corda, i per què no coincideixen.
• d) La velocitat de les masses quan $m_1$ ha descendit $h = 1{,}5\ \mathrm{m}$. Comprovar el resultat mitjançant un balanç d'energia.

Resolució

a) Moment d'inèrcia de la corriola

Per a un disc homogeni que gira al voltant del seu eix de simetria:

$$I = \tfrac{1}{2}MR^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot (0{,}10)^2 = 0{,}010\ \mathrm{kg\,m^2}$$

Convé retenir la combinació $I/R^2 = \tfrac{1}{2}M = 1{,}0\ \mathrm{kg}$, que actua com una massa equivalent de la corriola en la dinàmica traslacional del sistema.

b) Acceleracions lineal i angular

Com que la corda no rellisca, tots els punts del sistema comparteixen el mateix mòdul d'acceleració lineal $a$, lligat a l'acceleració angular per $a = \alpha R$. Escrivim la segona llei de Newton per a cada bloc (amb $m_1$ descendint) i l'equació de la rotació per a la corriola:

$$m_1 g - T_1 = m_1 a, \qquad T_2 - m_2 g = m_2 a, \qquad (T_1 - T_2)R = I\alpha$$

Substituint $\alpha = a/R$ en l'última, resulta $T_1 - T_2 = I\,a/R^2$. Sumant les tres equacions es cancel·len les tensions:

$$(m_1 - m_2)g = \left(m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}\right)a$$ $$a = \frac{(m_1 - m_2)g}{\,m_1 + m_2 + I/R^2\,} = \frac{(4{,}0 - 2{,}0)\cdot 9{,}8}{4{,}0 + 2{,}0 + 1{,}0} = \frac{19{,}6}{7{,}0} = 2{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$ $$\alpha = \frac{a}{R} = \frac{2{,}8}{0{,}10} = 28\ \mathrm{rad\,s^{-2}}$$

L'acceleració és menor que la de l'Atwood ideal ($a_\text{ideal} = 3{,}27\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ amb corriola sense massa), com calia esperar: la inèrcia de la corriola frena el conjunt.

c) Tensions als dos costats

Aïllant cada tensió de la segona llei de Newton de cada bloc:

$$T_1 = m_1(g - a) = 4{,}0\,(9{,}8 - 2{,}8) = 28\ \mathrm{N}$$ $$T_2 = m_2(g + a) = 2{,}0\,(9{,}8 + 2{,}8) = 25{,}2\ \mathrm{N}$$

Les tensions no coincideixen perquè la corriola té massa: la corda ha d'exercir sobre ella un parell net per a accelerar-la angularment. Aquest parell és justament el que produeixen les tensions desiguals:

$$(T_1 - T_2)R = (28 - 25{,}2)\cdot 0{,}10 = 0{,}28\ \mathrm{N\,m} = I\alpha = 0{,}010\cdot 28 = 0{,}28\ \mathrm{N\,m}$$

La coincidència confirma la coherència interna del sistema d'equacions. En el límit de corriola ideal ($I \to 0$) recuperaríem $T_1 = T_2$.

d) Velocitat després de descendir $h$ i balanç d'energia

Partint del repòs amb acceleració constant, apliquem $v^2 = 2ah$:

$$v = \sqrt{2ah} = \sqrt{2\cdot 2{,}8\cdot 1{,}5} = \sqrt{8{,}4} = 2{,}90\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

i la velocitat angular de la corriola és $\omega = v/R = 29{,}0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$.

Comprovació per balanç d'energia. No hi ha fregament, així que l'energia mecànica es conserva. En descendir $m_1$ una altura $h$, $m_2$ ascendeix la mateixa $h$; l'energia potencial neta alliberada es reparteix entre l'energia cinètica de translació d'ambdós blocs i la de rotació de la corriola:

$$(m_1 - m_2)gh = \tfrac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2$$

El primer membre val:

$$(m_1 - m_2)gh = 2{,}0\cdot 9{,}8\cdot 1{,}5 = 29{,}4\ \mathrm{J}$$

I el segon, amb $v^2 = 8{,}4\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}$ i $\omega^2 = 840\ \mathrm{rad^2\,s^{-2}}$:

$$\tfrac{1}{2}(6{,}0)(8{,}4) + \tfrac{1}{2}(0{,}010)(840) = 25{,}2 + 4{,}2 = 29{,}4\ \mathrm{J}$$

Ambdós membres coincideixen, cosa que valida els càlculs. Noteu que la corriola s'enduu $4{,}2\ \mathrm{J}$ d'energia cinètica rotacional: menysprear-la hauria falsejat el balanç.

Comentari didàctic

Aquest supòsit enllaça la dinàmica de rotació del sòlid rígid (Tema 6) amb el treball i l'energia (Tema 9). El seu major valor a l'aula és corregir dues concepcions alternatives molt esteses: creure que la tensió d'una corda és la mateixa als dos costats de qualsevol corriola —cert només si la corriola no té massa— i oblidar el terme rotacional $\tfrac{1}{2}I\omega^2$ en els balanços energètics. La doble via de resolució, dinàmica i energètica, permet a l'opositor exhibir domini d'ambdós formalismes i proposar a l'alumnat la comprovació creuada com a hàbit d'autoavaluació. La introducció de la massa equivalent $I/R^2$ és, a més, un recurs elegant per a connectar la magnitud rotacional amb la intuïció traslacional de l'estudiant.