Supòsit 3

Un supòsit que utilitza una única col·lisió frontal per a recórrer els tres casos canònics —perfectament inelàstic, perfectament elàstic i parcialment inelàstic— i separar amb claredat dues idees que l'alumnat sol confondre: el moment lineal es conserva sempre en el xoc, però l'energia cinètica només ho fa en el cas elàstic. El coeficient de restitució apareix com el paràmetre que ordena tots els casos intermedis.

Enunciat

Sobre un rail horitzontal, dos lliscadors es mouen pràcticament sense fregament. El cos 1, de massa $m_1 = 2{,}0\ \mathrm{kg}$, avança amb velocitat $v_1 = 4{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ i xoca frontalment (col·lisió unidimensional) amb el cos 2, de massa $m_2 = 3{,}0\ \mathrm{kg}$, que està inicialment en repòs ($v_2 = 0$). Totes les velocitats es mesuren en el sentit del moviment inicial del cos 1, pres com a positiu.

Es demana:

• a) Suposant que després de l'impacte ambdós cossos queden units (xoc perfectament inelàstic), la velocitat comuna, l'energia cinètica dissipada i la fracció de l'energia inicial que es perd.
• b) Suposant que el xoc és perfectament elàstic, les velocitats finals d'ambdós cossos. Comprovar que es conserva l'energia cinètica.
• c) En un assaig real es mesura que el cos 2 ix amb $v_2' = 2{,}4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. Determinar la velocitat del cos 1 després del xoc, el coeficient de restitució i classificar la col·lisió. Calcular l'energia dissipada i comprovar que el resultat és coherent amb els apartats anteriors.

Resolució

Principis i magnituds de partida

En absència de forces externes en la direcció del moviment, el moment lineal del sistema es conserva en qualsevol tipus de xoc:

$$p = m_1 v_1 + m_2 v_2 = 2{,}0\cdot 4{,}0 + 3{,}0\cdot 0 = 8{,}0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$$

L'energia cinètica inicial del sistema és:

$$E_{c,\text{ini}} = \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot 4{,}0^2 = 16{,}0\ \mathrm{J}$$

Aquest valor de $p$ ha de reaparèixer intacte en els tres apartats; l'energia cinètica, en canvi, només es conservarà en el cas elàstic.

a) Xoc perfectament inelàstic

Els cossos queden units i es mouen amb una velocitat comuna $v_c$. Conservant el moment lineal:

$$(m_1 + m_2)\,v_c = p \;\Rightarrow\; v_c = \frac{8{,}0}{5{,}0} = 1{,}6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

L'energia cinètica final i l'energia dissipada valen:

$$E_{c,\text{fin}} = \tfrac{1}{2}(m_1 + m_2)\,v_c^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 5{,}0\cdot 1{,}6^2 = 6{,}4\ \mathrm{J}$$ $$\Delta E_c = 16{,}0 - 6{,}4 = 9{,}6\ \mathrm{J}, \qquad \frac{\Delta E_c}{E_{c,\text{ini}}} = \frac{9{,}6}{16{,}0} = 0{,}60$$

Es perd un 60 % de l'energia cinètica inicial, el màxim possible per a aquestes dades. Com a comprovació creuada, quan el blanc està en repòs la fracció dissipada en un xoc perfectament inelàstic és exactament $m_2/(m_1 + m_2) = 3{,}0/5{,}0 = 0{,}60$, d'acord amb el càlcul.

b) Xoc perfectament elàstic

Ara es conserven simultàniament el moment lineal i l'energia cinètica. Per a un xoc frontal amb el cos 2 en repòs, la resolució del sistema condueix a les expressions conegudes:

$$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1 = \frac{2{,}0 - 3{,}0}{5{,}0}\cdot 4{,}0 = -0{,}8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$ $$v_2' = \frac{2\,m_1}{m_1 + m_2}\,v_1 = \frac{2\cdot 2{,}0}{5{,}0}\cdot 4{,}0 = 3{,}2\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

El signe negatiu de $v_1'$ indica que el cos 1 rebota cap enrere, cosa que és coherent amb el fet que xoque contra un cos més massiu ($m_1 < m_2$).

Comprovació del moment lineal:

$$m_1 v_1' + m_2 v_2' = 2{,}0\cdot(-0{,}8) + 3{,}0\cdot 3{,}2 = -1{,}6 + 9{,}6 = 8{,}0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$$

Comprovació de l'energia cinètica:

$$E_{c,\text{fin}} = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot 0{,}8^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 3{,}0\cdot 3{,}2^2 = 0{,}64 + 15{,}36 = 16{,}0\ \mathrm{J}$$

Ambdues magnituds coincideixen amb les de partida: el xoc és efectivament elàstic.

c) Xoc real i coeficient de restitució

El moment lineal es conserva també en l'assaig real. Amb $v_2' = 2{,}4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ conegut, s'aïlla la velocitat del cos 1:

$$v_1' = \frac{p - m_2 v_2'}{m_1} = \frac{8{,}0 - 3{,}0\cdot 2{,}4}{2{,}0} = \frac{0{,}8}{2{,}0} = 0{,}4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

El cos 1 continua avançant (més a poc a poc) i no rebota. El coeficient de restitució és el quocient entre la velocitat relativa de separació i la d'aproximació:

$$e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2} = \frac{2{,}4 - 0{,}4}{4{,}0 - 0} = \frac{2{,}0}{4{,}0} = 0{,}5$$

Com que $0 < e < 1$, la col·lisió és parcialment inelàstica. L'energia cinètica final i la dissipada són:

$$E_{c,\text{fin}} = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot 0{,}4^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 3{,}0\cdot 2{,}4^2 = 0{,}16 + 8{,}64 = 8{,}8\ \mathrm{J}$$ $$\Delta E_c = 16{,}0 - 8{,}8 = 7{,}2\ \mathrm{J}$$

Comprovació de coherència. El coeficient de restitució val $e = 0$ en l'apartat a) i $e = 1$ en el b); l'assaig real, amb $e = 0{,}5$, queda entre ambdós extrems. El mateix passa amb l'energia dissipada: $7{,}2\ \mathrm{J}$ és un valor intermedi entre els $9{,}6\ \mathrm{J}$ del cas perfectament inelàstic i els $0\ \mathrm{J}$ de l'elàstic. Els tres apartats encaixen en una mateixa escala ordenada per $e$.

Comentari didàctic

Aquest supòsit desenvolupa el nucli del Tema 7: la conservació del moment lineal i la seua aplicació als xocs. La seua principal virtut pedagògica és tractar els tres casos amb un únic joc de dades, cosa que permet a l'opositor subratllar davant del tribunal que el moment lineal ($8{,}0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$) és l'invariant comú a les tres situacions, mentre que l'energia cinètica distingeix entre elles. El coeficient de restitució apareix així no com una fórmula aïllada, sinó com el paràmetre que interpola de forma contínua entre el xoc perfectament inelàstic ($e = 0$) i l'elàstic ($e = 1$). A l'aula convé insistir en la concepció alternativa més estesa —creure que en tota col·lisió es conserva l'energia— i en l'hàbit de verificar cada resultat recomponent el moment total, una estratègia d'autoavaluació que redueix errors de signe i d'aïllament.