Supòsit 2

El tir parabòlic és l'exemple canònic de composició de moviments i el millor banc de proves del principi d'independència de Galileu: un moviment uniforme horitzontal i un uniformement accelerat vertical que transcorren sense interferir-se. Aquest supòsit exercita aquesta descomposició i tanca cada resultat amb una comprovació creuada.

Enunciat

Des del sòl es llança un projectil amb una velocitat inicial $v_0 = 20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ que forma un angle $\theta = 30^\circ$ amb l'horitzontal. Es menysprea el fregament amb l'aire i es pren $g = 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$.

Es demana:

• a) Descompondre la velocitat inicial i justificar el plantejament a partir del principi d'independència de moviments.
• b) El temps total de vol fins que el projectil torna al sòl.
• c) L'altura màxima que assoleix.
• d) L'abast horitzontal, comprovant-lo per dues vies independents.
• e) La velocitat d'impacte (mòdul i direcció) i la seua verificació mitjançant el principi de conservació de l'energia.

Resolució

Descomposició del moviment

El principi d'independència de Galileu afirma que les components horitzontal i vertical del moviment són independents: la gravetat només actua en vertical i no altera la velocitat horitzontal. Prenent l'origen en el punt de llançament, l'eix $x$ horitzontal i l'eix $y$ vertical cap amunt, el moviment es compon d'un M.R.U. en $x$ i un M.R.U.A. en $y$ amb acceleració $-g$:

$$x(t) = v_{0x}\,t, \qquad y(t) = v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^2$$

Les components de la velocitat inicial són:

$$v_{0x} = v_0\cos\theta = 20\cdot 0{,}866 = 17{,}32\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$ $$v_{0y} = v_0\sin\theta = 20\cdot 0{,}500 = 10{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

Observeu que el resultat no depèn de la massa: la trajectòria queda fixada només per $v_0$, $\theta$ i $g$.

b) Temps de vol

En la vertical, el projectil descriu un tir cap amunt i torna a l'altura de partida ($y = 0$). Resolent $v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^2 = 0$ es descarta la solució trivial $t = 0$ i queda:

$$t_v = \frac{2\,v_{0y}}{g} = \frac{2\cdot 10{,}0}{9{,}8} = 2{,}04\ \mathrm{s}$$

c) Altura màxima

En el punt més alt la component vertical de la velocitat s'anul·la, $v_y = v_{0y} - g\,t = 0$, cosa que passa en $t_s = v_{0y}/g = 1{,}02\ \mathrm{s}$, just la meitat del temps de vol, com imposa la simetria de la paràbola. Substituint, o bé usant $v_y^2 = v_{0y}^2 - 2gH$ amb $v_y = 0$:

$$H = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{10{,}0^2}{2\cdot 9{,}8} = 5{,}10\ \mathrm{m}$$

d) Abast horitzontal

Com que en $x$ el moviment és uniforme, l'abast és la distància recorreguda en el temps de vol:

$$R = v_{0x}\,t_v = 17{,}32\cdot 2{,}04 = 35{,}3\ \mathrm{m}$$

Comprovació per la fórmula de l'abast. Combinant les expressions anteriors s'obté $R = \dfrac{v_0^2\,\sin 2\theta}{g}$, que constitueix una via independent:

$$R = \frac{20^2\cdot \sin 60^\circ}{9{,}8} = \frac{400\cdot 0{,}866}{9{,}8} = 35{,}3\ \mathrm{m}$$

Ambdós camins coincideixen. El valor és de l'ordre de magnitud esperable per a un llançament a $20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ (unes desenes de metres).

e) Velocitat d'impacte

La component horitzontal es conserva durant tot el vol, mentre que la vertical, per simetria, arriba al sòl amb el mateix mòdul que tenia en eixir però amb sentit oposat:

$$v_x = v_{0x} = 17{,}32\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad v_y = -v_{0y} = -10{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

El mòdul i l'angle respecte a l'horitzontal són:

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{17{,}32^2 + 10{,}0^2} = 20{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$ $$\alpha = \arctan\!\frac{|v_y|}{v_x} = \arctan 0{,}577 = 30^\circ \ \text{(per davall de l'horitzontal)}$$

Comprovació per conservació de l'energia. En menysprear el fregament, l'única força és el pes, conservatiu. Com que el projectil parteix i arriba a la mateixa altura, l'energia potencial no varia i tota l'energia cinètica es conserva:

$$\tfrac{1}{2}mv_0^2 = \tfrac{1}{2}mv^2 \ \Rightarrow\ v = v_0 = 20{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

El mòdul d'impacte coincideix amb el de llançament, i l'angle de caiguda ($30^\circ$) reprodueix el d'eixida, com exigeix la simetria de la paràbola.

Comentari didàctic

Aquest supòsit és el vehicle natural per al principi d'independència de moviments (Tema 4) i permet fer-lo tangible: la coordenada $x$ ignora per complet allò que succeeix en $y$. Convé explicitar a l'aula que la massa no intervé —font habitual de la concepció alternativa que "allò més pesat cau abans"— i aprofitar les dues comprovacions creuades com a mètode d'autoavaluació: l'abast per doble via cinemàtica i la velocitat d'impacte per energia. Aquest hàbit de contrastar un resultat amb una segona estratègia, independent de la primera, és exactament la competència que l'opositor ha de mostrar i transmetre, més valuosa que memoritzar les fórmules d'$H$, $t_v$ i $R$ com a receptes aïllades.