Supòsit 42

Un supòsit sobre gravitació que parteix d'una condició física amb sentit quotidià —un satèl·lit que es manté sempre sobre el mateix punt de l'equador— per a deduir, sense memoritzar el resultat, el radi de la seua òrbita, la seua altura sobre la superfície i la seua velocitat. Permet treballar la segona llei de Newton aplicada al moviment circular sota la força gravitatòria.

Enunciat

Es vol situar un satèl·lit de comunicacions en una òrbita geoestacionària, és a dir, de manera que romanga sempre sobre el mateix punt de l'equador terrestre. Es demana:

• a) Justificar quin període ha de tenir la seua òrbita i deduir-ne el radi.
• b) L'altura del satèl·lit sobre la superfície de la Terra.
• c) La velocitat orbital del satèl·lit.

Dades: $G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$; $M_\mathrm{T} = 5{,}97\times 10^{24}\ \mathrm{kg}$; $R_\mathrm{T} = 6{,}37\times 10^{6}\ \mathrm{m}$.

Resolució

a) Període i radi de l'òrbita

Per a romandre sobre el mateix punt de l'equador, el satèl·lit ha de fer una volta en el mateix temps que la Terra fa una volta sobre el seu eix: un dia sideri, que a efectes d' aquest càlcul prenem com a $T = 24\ \mathrm{h} = 86\,400\ \mathrm{s}$.

La força gravitatòria és la força centrípeta que manté l'òrbita circular:

$$\frac{GM_\mathrm{T}m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r \;\Longrightarrow\; r = \left(\frac{GM_\mathrm{T}\,T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$$

La massa del satèl·lit es cancel·la. Substituint:

$$r = \left(\frac{6{,}67\times 10^{-11}\cdot 5{,}97\times 10^{24}\cdot (86\,400)^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = \left(7{,}53\times 10^{22}\right)^{1/3} = 4{,}22\times 10^{7}\ \mathrm{m}$$

És a dir, uns $42\,200\ \mathrm{km}$ mesurats des del centre de la Terra.

b) Altura sobre la superfície

L'altura es mesura des de la superfície, no des del centre:

$$h = r - R_\mathrm{T} = 4{,}22\times 10^{7} - 6{,}37\times 10^{6} = 3{,}58\times 10^{7}\ \mathrm{m} \approx 35\,800\ \mathrm{km}$$

c) Velocitat orbital

$$v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi\cdot 4{,}22\times 10^{7}}{86\,400} = 3{,}07\times 10^{3}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

Comprovació creuada. La mateixa velocitat ha d'eixir de $v = \sqrt{GM_\mathrm{T}/r}$:

$$v = \sqrt{\frac{6{,}67\times 10^{-11}\cdot 5{,}97\times 10^{24}}{4{,}22\times 10^{7}}} = \sqrt{9{,}44\times 10^{6}} = 3{,}07\times 10^{3}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

La coincidència de tots dos camins valida el resultat.

Comentari didàctic

Aquest supòsit il·lustra el patró central de la gravitació en 1r de Batxillerat: igualar la força gravitatòria a la força centrípeta i aïllar la magnitud demanada. El seu major valor formatiu és que el resultat no es memoritza, sinó que es dedueix a partir d'una condició amb significat físic (mateix període que la rotació terrestre). Convé insistir en dos matisos: que la massa del satèl·lit desapareix —totes les òrbites d'un radi donat tenen la mateixa velocitat, independentment de la massa— i que altura i radi orbital no són el mateix, un error molt freqüent. La comprovació de la velocitat per dues vies independents és una bona pràctica d'autoavaluació. Es connecta amb el Tema 36 (forces fonamentals: la interacció gravitatòria).