Supòsit 41

Un supòsit de convocatòria real que encadena tres blocs de la mecànica en un únic enunciat: la dinàmica de translació i rotació acoblades per una politja amb massa, i a continuació un moviment frenat per l'empenta dins d'un líquid. És un exemple excel·lent de com un tribunal integra rotació i fluids, i de com certes dades són deliberadament distractores.

Enunciat

Un cos de $0{,}445\ \mathrm{kg}$ està suspès d'una corda que passa per la gola d'una politja de $2{,}92\ \mathrm{kg}$ i radi $0{,}152\ \mathrm{m}$. Es deixa el sistema en llibertat i comença a moure's. Es demana:

• a) L'acceleració amb què davalla el cos.
• b) La tensió de la corda durant el moviment.
• c) En la davallada es trenca la corda i el cos (de densitat $8\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$) cau sobre un dipòsit que conté un líquid de densitat $13{,}6\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$. Si la velocitat del cos en entrar en contacte amb el líquid és de $20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, calcular la profunditat que assolirà en el dipòsit.

Dades: $g = 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$. Modelitze's la politja com un disc massís homogeni.

Resolució

a) Acceleració

Cal plantejar dues equacions —translació del cos i rotació de la politja— lligades per la condició que la corda no llisca, $a = \alpha R$. Amb $I = \tfrac{1}{2}MR^2$ per al disc massís:

$$mg - T = ma, \qquad T\,R = I\alpha = \tfrac{1}{2}MR^2\cdot\frac{a}{R} \;\Longrightarrow\; T = \tfrac{1}{2}Ma$$

Substituint la tensió en la primera equació:

$$a = \frac{mg}{m + \tfrac{M}{2}} = \frac{0{,}445\cdot 9{,}8}{0{,}445 + 1{,}46} = 2{,}29\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$

Observe's que el radi es cancel·la: només importa la relació entre la massa que penja i la meitat de la massa de la politja. La dada $R = 0{,}152\ \mathrm{m}$ és, en aquest apartat, un distractor.

b) Tensió de la corda

$$T = m(g - a) = 0{,}445\,(9{,}8 - 2{,}29) = 3{,}34\ \mathrm{N}$$

És menor que el pes ($mg = 4{,}36\ \mathrm{N}$), com ha de ser en una davallada accelerada: si fóra igual, no hi hauria acceleració.

c) Profunditat assolida en el líquid

La densitat $13{,}6\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$ correspon al mercuri. Com que el cos ($8\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$) és menys dens, acabarà surant, però entra amb $20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ i penetra per inèrcia. Dins del líquid actuen el pes (cap avall) i l'empenta (cap amunt), tots dos proporcionals al mateix volum $V$:

$$ma' = \rho_\ell V g - \rho_c V g \;\Longrightarrow\; a' = g\,\frac{\rho_\ell - \rho_c}{\rho_c} = 9{,}8\cdot\frac{13{,}6 - 8}{8} = 6{,}86\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$

És una desacceleració, perquè l'empenta supera el pes. Amb un moviment uniformement retardat fins a detenir-se ($v = 0$):

$$h = \frac{v^2}{2a'} = \frac{20^2}{2\cdot 6{,}86} = 29{,}2\ \mathrm{m}$$

La massa i el volum desapareixen: només intervé el quocient de densitats. El resultat —un dipòsit de mercuri de 29 m— és físicament inversemblant però matemàticament correcte; a més s'ha negligit el fregament viscós, que en mercuri seria enorme.

Comentari didàctic

Enunciat de la convocatòria de Galícia 2024. El seu valor d'aula està en tres idees. Primera: una politja amb massa no transmet la mateixa tensió a tots dos costats ni permet tractar la corda com a ideal; obliga a escriure l'equació de rotació i a acoblar-la amb $a=\alpha R$. Segona: convé entrenar l'alumnat a detectar dades distractores —ací el radi en l'apartat a) i el volum en el c)— perquè un bon problema rarament usa totes les dades en tots els apartats. Tercera: l'apartat c) és una aplicació directa del principi d' Arquimedes combinat amb cinemàtica, i mostra que el signe de $\rho_\ell - \rho_c$ decideix si el cos frena o s'enfonsa. Es connecta amb el Tema 7 (dinàmica de sistemes) i el Tema 10 (estàtica de fluids).